基于Riesz導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量

張　毅　周　燕

1. 蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院， 蘇州 215011； 2. 蘇州市工業(yè)園區(qū)婁葑學(xué)校， 蘇州 215021；? E-mail: zhy@mail.usts.edu.cn

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基于Riesz導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量

張毅1，?周燕2

1. 蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院， 蘇州 215011； 2. 蘇州市工業(yè)園區(qū)婁葑學(xué)校， 蘇州 215021；? E-mail: zhy@mail.usts.edu.cn

提出并研究 Riesz 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)的 Noether 對(duì)稱性與守恒量。分別在 Riesz-Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和 Riesz-Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下， 建立分?jǐn)?shù)階 Pfaff 變分問(wèn)題， 給出分?jǐn)?shù)階Birkhoff 方程?；诜?jǐn)?shù)階 Pfaff 作用量在無(wú)限小變換下的不變性， 建立分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)的 Noether 定理。定理的證明分成兩步: 一是在時(shí)間不變的無(wú)限小變換下給出證明； 二是利用時(shí)間重新參數(shù)化技術(shù)得到一般情況下的分?jǐn)?shù)階Noether定理。最后舉例說(shuō)明結(jié)果的應(yīng)用。

分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)； Noether對(duì)稱性； 分?jǐn)?shù)階守恒量； Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

北京大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）第52卷第4期2016年7月

Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis， Vol. 52， No. 4 （July 2016）

動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)對(duì)稱性的研究一直是分析力學(xué)的重要發(fā)展方向。1918 年， Noether［1］研究了Hamilton作用量在無(wú)限小變換下的不變性質(zhì)， 揭示了力學(xué)系統(tǒng)的守恒量與其內(nèi)在的動(dòng)力學(xué)對(duì)稱性之間的關(guān)系。Djuki? 等［2］將 Noether 定理推廣到完整非保守系統(tǒng)，李子平［3］、Bahar 等［4］和 Liu［5］進(jìn)一步將 Noether 定理推廣到非完整非保守系統(tǒng)。梅鳳翔［6］用 Pfaff 作用量代替 Hamilton 作用量， 通過(guò)研究 Pfaff 作用量在無(wú)限小變換的廣義準(zhǔn)對(duì)稱性， 建立了 Birkhoff 系統(tǒng)的 Noether 理論。近年來(lái)， 對(duì) Noether 對(duì)稱性的研究取得一些重要成果［6-10］。

分?jǐn)?shù)階微積分的概念最早出現(xiàn)在L'Hospital于1695年寫(xiě)給Leibniz的信中， 但是直到1974年， 第一本關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分理論的著作［11］才問(wèn)世。近20 余年來(lái)， 隨著分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用領(lǐng)域的不斷拓展， 分?jǐn)?shù)階微積分及其應(yīng)用研究有了很大的發(fā)展。1996 年， Riewe［12-13］首次將分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用于非保守系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模， 提出并初步研究了分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題。之后， Agrawal［14-15］、Baleanu等［16-17］、Atanackovi? 等［18-19］和El-Nabulsi 等［20-22］對(duì)分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題進(jìn)行了深入研究。Frederico 等［23-26］最早開(kāi)展分?jǐn)?shù)階 Noether 對(duì)稱性與守恒量的研究， 基于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義［23-24］、Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義［25］以及 Riesz-Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義［26］， 分別考慮時(shí)間不變和時(shí)間變化的無(wú)限小變換作用， 得到分?jǐn)?shù)階Noether定理。此外， Frederico等［27-28］基于El-Nabulsi動(dòng)力學(xué)模型研究了類分?jǐn)?shù)階作用變分的不變性問(wèn)題。近年來(lái)， 約束力學(xué)系統(tǒng)基于分?jǐn)?shù)階模型的 Noether 對(duì)稱性與守恒量的研究已經(jīng)取得一些重要成果［29-35］。但是， 這些研究主要限于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)。

本文基于 Riesz 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義， 研究分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱性。從分?jǐn)?shù)階 Pfaff 作用量在無(wú)限小變換下的不變性出發(fā)， 分別在時(shí)間不變和時(shí)間變化的無(wú)限小變換下， 研究分?jǐn)?shù)階 Pfaff 作用量的不變性， 建立分?jǐn)?shù)階 Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理。

1　分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

本節(jié)列出研究中涉及的 Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義， 以及 Riesz 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下的分部積分公式。具體的證明和討論可參見(jiàn)文獻(xiàn)［36-37］。

Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階左導(dǎo)數(shù)定義為

Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階右導(dǎo)數(shù)為

Caputo分?jǐn)?shù)階左導(dǎo)數(shù)定義為

Caputo分?jǐn)?shù)階右導(dǎo)數(shù)為

其中Γ （*）是 Euler Gamma 函數(shù)， α 是導(dǎo)數(shù)的階， 且m-1≤α＜m， m 為正整數(shù)。如果α 是整數(shù)， 上述分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)成為整數(shù)階導(dǎo)數(shù)， 有

Riesz-Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

Riesz-Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

由上述定義可知， Riesz-Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與 Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系為

Riesz-Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與 Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系為

Riesz-Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下的分部積分公式［15］為

Riesz-Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下的分部積分公式［15］如下:

2　Riesz-Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性

稱為基于 Riesz-Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階Pfaff作用量。等時(shí)變分原理

帶有交換關(guān)系

以及端點(diǎn)條件

稱為基于 Riesz-Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階Pfaff-Birkhoff原理。

由分?jǐn)?shù)階 Pfaff-Birkhoff 原理（13）～（15）容易導(dǎo)出如下方程［38］:

以及相應(yīng)的橫截性條件由端點(diǎn)條件（15）易知橫截性條件（17）恒成立。方程（16）稱為 Riesz-Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Birkhoff方程。

當(dāng)α →1時(shí)， 方程（16）成為

方程（18）是經(jīng)典的 Birkhoff 方程。因此， 經(jīng)典 Birkhoff 方程是 Riesz-Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階Birkhoff方程（16）的特例。

引進(jìn)時(shí)間不變的單參數(shù)無(wú)限小變換群:

下面， 定義 Riesz-Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階Birkhoff方程（16）在無(wú)限小變換（19）下的 Noether對(duì)稱性， 并給出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。

定義1如果分?jǐn)?shù)階Pfaff作用量（12）在無(wú)限小變換（19）作用下， 對(duì)于任意子區(qū)間

始終成立， 則稱這種不變性為 Riesz-Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)（16）在時(shí)間不變的無(wú)限小變換下的Noether對(duì)稱性。

定理 1對(duì)于 Riesz-Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)（16）， 如果時(shí)間不變的無(wú)限小變換（19）對(duì)應(yīng)于定義 1 意義下的 Noether 對(duì)稱性，那么成立。

證明由積分區(qū)間［T1， T2］的任意性， 通過(guò)式（20）可得

將式（22）兩邊對(duì)ε 求導(dǎo)， 然后令ε=0， 有

顯然式（23）即為式（21）。

下面引入 Riesz-Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階守恒量的概念［23-25］。

或

當(dāng)α =1時(shí)， 式（27）給出

定理 2對(duì)于 Riesz-Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)（16）， 如果時(shí)間不變的無(wú)限小變換（19）對(duì)應(yīng)于定義 1 意義下的 Noether 對(duì)稱性，那么

是系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。

證明由分?jǐn)?shù)階Birkhoff方程（16）可得

由于時(shí)間不變的無(wú)限小變換（19）相應(yīng)于定義 1 意義下的Noether對(duì)稱性， 故將式（30）代入式（21）， 得

化簡(jiǎn)得

即

由定義 2 可知， （29）式是所論分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。

下面， 考慮時(shí)間變化的單參數(shù)無(wú)限小變換群:

定義分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)（16）在無(wú)限小變換（34）下的 Noether 對(duì)稱性， 并給出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。

定義 3如果分?jǐn)?shù)階Pfaff作用量（12）在無(wú)限小變換（34）作用下， 對(duì)于任意的子區(qū)間

始終成立， 則稱這種不變性為 Riesz-Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)（16）在時(shí)間變化的無(wú)限小變換（34）下的Noether對(duì)稱性。

定理 3對(duì)于 Riesz-Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)（16）， 如果時(shí)間變化的無(wú)限小變換（34）對(duì)應(yīng)于定義3意義下的Noether對(duì)稱性，那么

是系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。

證明取關(guān)于時(shí)間t （t是獨(dú)立變量）的李普希茲變換:

當(dāng)0λ=時(shí)， 滿足

在變換（37）作用下， 分?jǐn)?shù)階Pfaff作用量（12）成為

其中， t （σ1）=t1， t （σ2）=t2，

將式（39）代入式（38）， 得

如果分?jǐn)?shù)階Pfaff作用量（12）在定義3意義下是不變的， 那么分?jǐn)?shù)階Pfaff作用量（38）在定義1意義下不變。由定理2可以得到

式（41）是系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。當(dāng)λ=0時(shí)， 有

因此， 可以得到

以及

將式（44）和（43）代入式（41）， 得到守恒量式（36）。

定理 2 和定理 3 稱為 Riesz-Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階 Noether 定理。顯然， 當(dāng)1α=時(shí)， 定理 2 和定理 3 給出經(jīng)典Birkhoff系統(tǒng)的Noether定理。

3　Riesz-Caputo導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性

積分

稱為基于 Riesz-Caputo 導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階 Pfaff 作用量。等時(shí)變分原理

帶有交換關(guān)系

以及端點(diǎn)條件

稱為基于 Riesz-Caputo 導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階 Pfaff-Birkhoff原理。

設(shè)0＜1α＜， 由分?jǐn)?shù)階 Pfaff-Birkhoff 原理（46）～（48）容易導(dǎo)出如下方程［38］:以及相應(yīng)的橫截性條件

由端點(diǎn)條件（48）易知橫截性條件（50）恒成立。方程（49）稱為 Riesz-Caputo 導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Birkhoff方程。

當(dāng)1α→時(shí)， 方程（49）成為經(jīng)典的 Birkhoff 方程（18）。因此， 經(jīng)典Birkhoff方程是 Riesz-Caputo導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階Birkhoff方程（49）的特例。

下面定義 Riesz-Caputo 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 方程（49）在無(wú)限小變換（19）下的 Noether 對(duì)稱性， 并給出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。

定義4如果分?jǐn)?shù)階Pfaff作用量（45）在無(wú)限小變換（19）作用下， 對(duì)于任意的子區(qū)間始終成立

則稱這種不變性為 Riesz-Caputo 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階Birkhoff 系統(tǒng)（49）在時(shí)間不變的無(wú)限小變換下的Noether 對(duì)稱性。

定理 4對(duì)于 Riesz-Caputo 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階Birkhoff方程（49）， 如果時(shí)間不變的無(wú)限小變換（19）相應(yīng)于定義4意義下的Noether對(duì)稱性， 那么

成立。

證明由積分區(qū)間［T1， T2］的任意性， 通過(guò)式（51）可得

將式（53）兩邊對(duì)ε 求導(dǎo)， 然后令ε =0， 有

顯然， 式（54）即為式（52）。

下面引入Riesz-Caputo導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階守恒量的概念［25］。

其中 r 是任意整數(shù)， 對(duì)于每一組函數(shù)1iI和2iI （i = 1，2， …， r）， 滿足

或

當(dāng)α =1時(shí)， 式（58）給出

， 但是一般情況下，

定理 5對(duì)于 Riesz-Caputo 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階Birkhoff 系統(tǒng)（49）， 如果時(shí)間不變的無(wú)限小變換（19）相應(yīng)于定義4意義下的Noether對(duì)稱性， 則

是系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。

證明由分?jǐn)?shù)階Birkhoff方程（49）可得

由于時(shí)間不變的無(wú)限小變換（19）相應(yīng)于定義 4 意義下的Noether對(duì)稱性， 故將式（61）代入式（52）， 得

化簡(jiǎn)得

即

由定義 5 可知， 式（60）是所論分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)（49）的分?jǐn)?shù)階守恒量。

下面， 定義 Riesz-Caputo 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 方程（49）在時(shí)間變化的無(wú)限小變換（34）下的Noether對(duì)稱性， 并給出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。

定義6如果分?jǐn)?shù)階Pfaff作用量（45）在無(wú)限小變換（34）作用下， 對(duì)于任意子區(qū)間成立， 則稱這種不變性為 Riesz-Caputo 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)（49）在時(shí)間變化的無(wú)限小變換（34）下的Noether對(duì)稱性。

定理 6對(duì)于 Riesz-Caputo 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階Birkhoff 系統(tǒng)（49）， 如果時(shí)間變化的無(wú)限小變換（34）相應(yīng)于定義6意義下的Noether對(duì)稱性， 則

是系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階守恒量。

證明取關(guān)于時(shí)間 t （t 是獨(dú)立變量）的李普希茲變換

當(dāng)0λ=時(shí)， 滿足

在變換（67）作用下， 分?jǐn)?shù)階Pfaff作用量（45）成為

將式（69）代入式（68），

得如果分?jǐn)?shù)階 Pfaff 作用量（45）在定義 6 意義下是不變的， 那么分?jǐn)?shù)階Pfaff作用量（68）在定義4意義下不變。由定理5可以得到

式（71）是系統(tǒng)（49）的分?jǐn)?shù)階守恒量。當(dāng)0λ=時(shí)， 有

因此， 可以得到

以及

將式（74）和（73）代入式（71）， 得到守恒量式（66）。

4　算例

例 1已知四階分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)在 Riesz-Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)下的Pfaff作用量為試研究該系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階 Noether 對(duì)稱性與分?jǐn)?shù)階守恒量。

從作用量（75）可知， 系統(tǒng)的 Birkhoff 函數(shù)和Birkhoff函數(shù)組為

取無(wú)限小變換（34）的生成元為

由定義 3， 生成元（77）對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的 Noether 對(duì)稱性。根據(jù)定理3， 得到

式（78）是該系統(tǒng)的一個(gè)分?jǐn)?shù)階守恒量。

例2已知四階分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)在Riesz-Caputo導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階Pfaff作用量為試研究該系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階 Noether 對(duì)稱性與分?jǐn)?shù)階守恒量。

如取生成元為

由定義 4， 生成元（80）相應(yīng)于分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)（79）的Noether對(duì)稱性。因此， 由定理5得到

式（81）是該分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)的一個(gè)守恒量。

5　結(jié)論

Birkhoff 力學(xué)是 Hamilton 力學(xué)的推廣， 對(duì) Birk-hoff 力學(xué)的研究是近代分析力學(xué)的一個(gè)重要發(fā)展方向。由于應(yīng)用分?jǐn)?shù)階模型可以更準(zhǔn)確地描述復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為， 因此對(duì)分?jǐn)?shù)階 Birkhoff 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的研究具有重要意義。本文提出并研究了分?jǐn)?shù)階Birkhoff系統(tǒng)在 Riesz-Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和 Riesz-Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下的 Noether 對(duì)稱性與守恒量問(wèn)題， 建立了分?jǐn)?shù)階 Noether 定理。定理的證明分成兩步: 首先在時(shí)間不變的無(wú)限小變換下給出證明； 然后利用時(shí)間重新參數(shù)化技術(shù)， 得到一般情況下的分?jǐn)?shù)階 Noether 定理。分?jǐn)?shù)階 Noether定理揭示了分?jǐn)?shù)階 Noether 對(duì)稱性與分?jǐn)?shù)階守恒量之間的內(nèi)在聯(lián)系。由于求解 Riemann-Liouville 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階微分方程與求解 Caputo 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階微分方程所伴隨的初始條件的形式不同， 后者僅涉及整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的初始條件， 因此， Riesz-Caputo導(dǎo)數(shù)下的結(jié)果更易于應(yīng)用。當(dāng)然， 兩者都以經(jīng)典Birkhoff 系統(tǒng)的 Noether 定理作為其特例。因此，本文研究的方法和結(jié)果具有普遍意義。

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Noether Symmetry and Conserved Quantity for Fractional Birkhoffian Systems in Terms of Riesz Derivatives

ZHANG Yi1，?， ZHOU Yan2
1. College of Civil Engineering， Suzhou University of Science and Technology， Suzhou 215011； 2. Suzhou Industrial Park Loufeng School， Suzhou 215021； ? E-mail: zhy@mail.usts.edu.cn

The Noether symmetry and the conserved quantity for a fractional Birkhoffian system in terms of Riesz fractional derivatives are studied. The fractional Pfaff variational problems are presented and the fractional Birkhoff's equations are established within Riesz-Riemann-Liouville fractional derivatives and Riesz-Caputo fractional derivatives， respectively. Based on the invariance of the Pfaff action under the infinitesimal transformations， the Noether theorems for the fractional Birkhoffian system are given. The proof of the Noether theorem is done in two steps: first， the Noether theorem under a special one-parameter group of infinitesimal transformations without transforming the time is proved； second， by using a technique of time-reparameterization，the Noether theorem in its general form is obtained. Two examples are given to illustrate the application of the results.

fractional Birkhoffian system； Noether symmetry； fractional conserved quantity； Riesz fractional derivative

O316

10.13209/j.0479-8023.2016.068

國(guó)家自然科學(xué)基金（10972151， 11272227， 11572212）和江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃（CXZZ11_0949）資助

2015-10-07；

2016-02-10； 網(wǎng)絡(luò)出版日期: 2016-07-14