基于影長(zhǎng)的數(shù)學(xué)建模分析及其在地理定位方面的應(yīng)用～以2015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的數(shù)據(jù)為依托

■李昂

（吉林大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院吉林長(zhǎng)春130021）

基于影長(zhǎng)的數(shù)學(xué)建模分析及其在地理定位方面的應(yīng)用～以2015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的數(shù)據(jù)為依托

■李昂

（吉林大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院吉林長(zhǎng)春130021）

在地質(zhì)工作乃至其他各行各業(yè)，定位技術(shù)都有著廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)有的定位方式以衛(wèi)星定位為主要技術(shù)手段，通過GPS接收裝置接收位置信息，完成所在經(jīng)緯度和其他位置信息的采取。本文則在衛(wèi)星定位之外，以天體運(yùn)行的軌道內(nèi)在規(guī)律為理論基礎(chǔ)，借助太陽(yáng)光照射角度及其產(chǎn)生的影子長(zhǎng)度，通過枚舉法，最小方差模型，以及二次擬合等方法對(duì)于數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，最終得出定位模型。

太陽(yáng)高度 角影長(zhǎng) 最小方差 枚舉 經(jīng)緯度

1　基于已知時(shí)間地點(diǎn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行影長(zhǎng)的預(yù)測(cè)

在建立地理定位模型之前，本文首先做了一個(gè)逆推的模型，即在地點(diǎn)和時(shí)間已知的情況下計(jì)算影長(zhǎng)，為后續(xù)研究做理論基礎(chǔ)。

通過前人的研究，我們已知太陽(yáng)照射地面所形成的角度，即太陽(yáng)高度角符合一個(gè)基本的數(shù)學(xué)關(guān)系。

太陽(yáng)高度角模型

其中a為緯度，c為赤緯，w為太陽(yáng)時(shí)角。

1.1對(duì)于上述公式的分析和計(jì)算

（1）赤緯δ計(jì)算方法：

sinδ=0.39795cos[0.98563(N～173)]式中N為日數(shù)，自每年1月1日開始計(jì)算。

（2）真太陽(yáng)時(shí)：是以真太陽(yáng)視圓面中心的時(shí)角來(lái)計(jì)量的，它的起算點(diǎn)是真太陽(yáng)上中天。由于在中國(guó)境內(nèi)普遍使用的時(shí)間是北京時(shí)間，即東經(jīng)120度位置處的真太陽(yáng)時(shí)。由于地球自轉(zhuǎn)一圈時(shí)間為24 h,自轉(zhuǎn)角度為360度，我們可以得出地球每小時(shí)的自轉(zhuǎn)角度為15度。由此，我們可以計(jì)算出經(jīng)度為b的地區(qū)的真太陽(yáng)時(shí)。

根據(jù)太陽(yáng)時(shí)角（ω）計(jì)算公式

可以得出太陽(yáng)時(shí)角ω的值。

根據(jù)以上數(shù)值，我們可以較容易的計(jì)算出太陽(yáng)高度角h

1.2考慮大氣折射影響，對(duì)太陽(yáng)高度角進(jìn)行修正

參考斯涅爾定律，得修正后的太陽(yáng)高度角

為了印證上述模型，進(jìn)行模型演繹，即預(yù)測(cè)2015年10月22日北京時(shí)間9:00～15:00之間天安門廣場(chǎng)（北緯39度54分26秒,東經(jīng)116度23分29秒）3米高的直桿的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的變化曲線。將影長(zhǎng)變化模型在MATLAB中編程實(shí)現(xiàn)，時(shí)間從9點(diǎn)到15點(diǎn)，步長(zhǎng)取0.001。

上述預(yù)測(cè)結(jié)論在全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽云南總審核階段結(jié)論得到印證。

2　反演上述模型，在已知影長(zhǎng)及時(shí)刻的基礎(chǔ)上，獲得地理位置信息

要根據(jù)物體影子頂點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)確定投射影子的直桿所處的地點(diǎn)，即找到直桿所在的經(jīng)緯度，實(shí)際上就是對(duì)第一章內(nèi)容的反推，包括以下經(jīng)度獲取和緯度獲取兩個(gè)方面。

（1）計(jì)算經(jīng)度：固定直桿在太陽(yáng)光照射下產(chǎn)生的影長(zhǎng)從上午到正午再到下午是先變短后變長(zhǎng)的，與二次函數(shù)曲線吻合，所以我們采用二次擬合法。建立物體影長(zhǎng)與時(shí)間的擬合曲線，通過微分法找到最短影長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，即為當(dāng)?shù)貢r(shí)間正午。同時(shí)根據(jù)當(dāng)?shù)貢r(shí)間正午所對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間和北京的經(jīng)度，通過時(shí)差轉(zhuǎn)換，即可得當(dāng)?shù)氐慕?jīng)度值。

（2）計(jì)算緯度：采用近似逼近法求緯度?，F(xiàn)已知當(dāng)?shù)氐慕?jīng)度，將緯度從～90度到90度，取步長(zhǎng)為1°遍歷。在每次遍歷下，假設(shè)當(dāng)?shù)啬骋恢睏UL,可以利用問題1中所建立的模型求出其在已知經(jīng)度下21個(gè)時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的影長(zhǎng)。在21個(gè)時(shí)刻下直桿L影長(zhǎng)與題目所給數(shù)據(jù)影長(zhǎng)二者比值的方差最小值所對(duì)應(yīng)的緯度即為當(dāng)?shù)氐木暥?，此過程由MATLAB7.8編程實(shí)現(xiàn)。

2.1經(jīng)度的求解

二次擬合就是把已知的數(shù)據(jù)用二次曲線近似的表示出來(lái)，由于影長(zhǎng)隨太陽(yáng)高度及方位的變化先變長(zhǎng)再變短再變長(zhǎng)，因此可以采用二次曲線進(jìn)行擬合。

（1）首先我們把影子長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)導(dǎo)入矩陣中(以2015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的數(shù)據(jù)為例，長(zhǎng)度由坐標(biāo)投影方法獲得)。

得=[1.1496 1.1822 1.2153 1.2491 1.2832 1.3180 1.3534 1.3894 1.4262 1.4634 1.5015 1.5402 1.5799 1.6201 1.6613 1.7033 1.7462 1.7901 1.8350 1.8809 1.9279]

（2）數(shù)據(jù)源信息是，時(shí)間是從14點(diǎn)42分一直到15點(diǎn)42分，每隔3分鐘記錄一次。本文用MATLAB對(duì)時(shí)間和影長(zhǎng)進(jìn)行二次擬合，得到擬合系數(shù)A。

A=[0.1489～3.7519 24.1275]

（3）利用系數(shù)A進(jìn)行擬合，得到擬合曲線。

通過微分法找到最短影長(zhǎng)為0.4936m,所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻為15.599時(shí)，即為太陽(yáng)直射此經(jīng)度的北京時(shí)間。然后以北京的經(jīng)度（120度）為基準(zhǔn)，按每隔1小時(shí)經(jīng)度相差15度進(jìn)行換算，得到所在地的經(jīng)度為°，即東經(jīng)111°0'51''。

2.2緯度的求解

（1）現(xiàn)已知當(dāng)?shù)氐慕?jīng)度，可假設(shè)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，將緯度從～90度到90度，取步長(zhǎng)為1°(可在MATLAB中不斷縮小范圍調(diào)節(jié)經(jīng)度）進(jìn)行遍歷。

（2）利用第一章中所建立的模型求出其在東經(jīng)111.015度下L在每一緯度所對(duì)應(yīng)的影長(zhǎng)。

（3）在緯度i情況下，對(duì)21個(gè)L影長(zhǎng)與實(shí)際影長(zhǎng)求方差，最小方差對(duì)應(yīng)的緯度即為當(dāng)?shù)鼐暥取?/p>

但此解法中L的長(zhǎng)度會(huì)帶來(lái)較大誤差，為了除去桿長(zhǎng)的影響，改進(jìn)解法如下：

（1）由于同一時(shí)刻同一地點(diǎn)，物體的高度與其影長(zhǎng)成正比，故L的影長(zhǎng)與實(shí)際數(shù)據(jù)影長(zhǎng)的比值等于L與實(shí)際桿的比值，即

（2）在緯度i情況下，求出每個(gè)時(shí)刻的影長(zhǎng)比值，再求得21個(gè)時(shí)刻影長(zhǎng)比值的方差。

（3）對(duì)每個(gè)緯度下的方差進(jìn)行比較，最小方差對(duì)應(yīng)的緯度即為當(dāng)?shù)氐木暥?，此過程由MATLAB7.8編程實(shí)現(xiàn)。

具體模型如下：

通過遍歷微分法令S2達(dá)到最小，則可得到最佳的緯度點(diǎn)。最佳緯度點(diǎn)為北緯20°，相應(yīng)數(shù)據(jù)結(jié)果如下（假設(shè)L=1m)：

1m桿對(duì)應(yīng)的21個(gè)影長(zhǎng)（m)：l=[1.1551.1821.211

1.2411.2711.303 1.3351.3691.4031.439 1.4761.5151.5551.5961.6391.684 1.730 1.7791.8291.8821.937]

實(shí)際物體的21個(gè)影長(zhǎng)（m):S=[1.1501.1821.215

1.2491.2831.318 1.3531.3891.4261.463 1.5011.5401.5801.6201.6611.703 1.746 1.7901.8351.8811.928]

影長(zhǎng)的比值：l=[1.001.00 1.00 0.99 0.99 0.99 0.99 S 0.99 0.980.98 0.98 0.98 0.98 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00]

最小方差為min S2=0.0010267,求得相應(yīng)的緯度為北緯24.4121度，即北緯24°24'44''。

綜上所述，可能的地點(diǎn)為東經(jīng)111°0'51''，北緯20°。結(jié)論后由2015年全國(guó)數(shù)學(xué)建模評(píng)審委員會(huì)印證。

注釋：

[1]本文數(shù)據(jù)來(lái)源于2015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，本文獲得全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽二等獎(jiǎng)。

[1]張文華，司德亮，徐淑通，祁東婷，太陽(yáng)影子倍率的計(jì)算方法及其對(duì)光伏陣列布局的影響，內(nèi)蒙古光伏電力有限公司，2011.9。

[2]林根石，利用太陽(yáng)視坐標(biāo)的計(jì)算進(jìn)行物高測(cè)量與定位，南京林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，第15卷第3期，1991.9。

P2[文獻(xiàn)碼]B

1000～405X（2016）～4～227～2

李昂（1995～），男，吉林大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院地質(zhì)學(xué)專業(yè)，在讀本科。