隨機(jī)市場(chǎng)需求下雙重易逝性產(chǎn)品的回收再造決策研究

曹 裕，鄭其昀

(中南大學(xué) 商學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083)

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【經(jīng)濟(jì)學(xué)研究】

隨機(jī)市場(chǎng)需求下雙重易逝性產(chǎn)品的回收再造決策研究

曹 裕，鄭其昀

(中南大學(xué) 商學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083)

閉環(huán)供應(yīng)鏈；雙重易逝性產(chǎn)品；隨機(jī)需求；消費(fèi)認(rèn)可差異

以閉環(huán)供應(yīng)鏈為研究基礎(chǔ)，在兼顧考慮回收價(jià)值的時(shí)間變化和消費(fèi)者認(rèn)可差異的情況下，探討雙重易逝性的產(chǎn)品在隨機(jī)市場(chǎng)需求中的經(jīng)營(yíng)再造決策。研究得出：無論在何種情況下，企業(yè)的回收率都與回收規(guī)模參數(shù)成反比，與再造品節(jié)余成本成正比；隨著再造品認(rèn)可度的提升，企業(yè)的利潤(rùn)越大，回收力度越大，但最優(yōu)回收時(shí)間卻越來越晚。

易逝品(perishable goods)，一般指具有很強(qiáng)時(shí)效性的產(chǎn)品，由于其本身的特性和消費(fèi)者的偏好，通常具有較短的銷售周期，未售出產(chǎn)品則會(huì)失效或價(jià)值大打折扣，例如牛奶，報(bào)紙，機(jī)票等。一方面來說，隨著一些高科技產(chǎn)品生命周期越來越短，更新?lián)Q代越來越快，表現(xiàn)出易逝品的特性，例如手機(jī)和電腦等；另一方面，企業(yè)實(shí)行可持續(xù)發(fā)展，建立正向物流和逆向物流結(jié)合的閉環(huán)供應(yīng)鏈，使得回收問題尤其是含有豐富科技元素和珍貴材料的高科技產(chǎn)品的回收受到重視。但是由于廢舊產(chǎn)品的可利用價(jià)值會(huì)隨時(shí)間迅速衰減，如果不能及時(shí)回收，則會(huì)喪失大部分再造價(jià)值，只剩下原材料殘值。我們將這種在銷售階段和回收階段都呈現(xiàn)出易逝特性的產(chǎn)品，稱為雙重易逝性產(chǎn)品(double-perishable goods)，也是本文研究的對(duì)象。

現(xiàn)有的關(guān)于廢舊產(chǎn)品回收的模型研究一般都將廢舊品的回收價(jià)值設(shè)為定值，沒有考慮到現(xiàn)實(shí)狀況下廢舊產(chǎn)品的時(shí)間敏感性；個(gè)別研究雖考慮到了此點(diǎn)，但是僅從回收這一個(gè)階段來構(gòu)建企業(yè)的成本最小化模型，很少將銷售階段和回收階段聯(lián)合在一起考慮，無法給予企業(yè)更加完整和完善的決策建議。

本文嘗試性地將銷售階段與回收階段結(jié)合在一起，考慮回收的時(shí)間因素和消費(fèi)者認(rèn)可差異，研究企業(yè)面對(duì)隨機(jī)市場(chǎng)需求該如何決定新產(chǎn)品的產(chǎn)量與定價(jià)，當(dāng)新產(chǎn)品銷售之后的一段時(shí)間，市場(chǎng)上開始出現(xiàn)廢舊的該類產(chǎn)品，這時(shí)企業(yè)又應(yīng)該如何通過選擇恰當(dāng)?shù)幕厥諘r(shí)點(diǎn)和回收努力來決定再造品的數(shù)量與價(jià)格，通過數(shù)學(xué)建模的方法將這些復(fù)雜的關(guān)系一一表示出來，并以利潤(rùn)最大化為導(dǎo)向，為企業(yè)提供更加完善詳盡的最優(yōu)決策建議。本文從回收時(shí)間和消費(fèi)者認(rèn)可度這兩個(gè)維度對(duì)制造企業(yè)的最優(yōu)決策展開探究，同時(shí)考慮到了產(chǎn)品銷售時(shí)和產(chǎn)品回收時(shí)的價(jià)值衰減性，并給出了計(jì)算公式。研究表明：(1)無論在何種情況下，企業(yè)的回收率都與回收規(guī)模參數(shù)成反比，與再造品節(jié)余成本成正比；(2)隨著再造品認(rèn)可度的提升，企業(yè)的利潤(rùn)越大，回收力度越大，但最優(yōu)回收時(shí)間卻越來越晚；(3)通過仿真計(jì)算驗(yàn)證結(jié)論的正確性。

1 問題描述和模型說明

雙重易逝性產(chǎn)品在銷售階段和回收階段都表現(xiàn)出價(jià)值易逝的特性，如果不能及時(shí)銷售或者回收，都將只剩下原料殘值。設(shè)產(chǎn)品的生命周期為T，初始企業(yè)以Pn的單價(jià)銷售新產(chǎn)品，單位成本cn為，產(chǎn)量為Qn，市場(chǎng)需求為Dn。當(dāng)市場(chǎng)上出現(xiàn)廢舊或損壞的該類產(chǎn)品時(shí)，企業(yè)選定t時(shí)間(0≤t≤T)開始回收，回收努力系數(shù)為e，最終回收率為r，回收的產(chǎn)品用來再造，成本為Cr(再造品的成本節(jié)余Δ=cn-cr>0)，再造品以Pr的單價(jià)銷售，產(chǎn)量為Qr，市場(chǎng)需求為Dr。此外，sn代表新產(chǎn)品單位殘值；sr代表再造品單位殘值；hn代表新產(chǎn)品單位缺貨成本；hr代表再造品單位缺貨成本；Π代表利潤(rùn)。其中，Pn，Pr，e，t，r為模型的決策變量，Π為目標(biāo)函數(shù)。

假設(shè) 1 雙重易逝性產(chǎn)品的生命周期為T，無論是新產(chǎn)品還是再造品在生命周期結(jié)束之后都被市場(chǎng)所淘汰，僅存原材料殘值。

如果新產(chǎn)品和再造品認(rèn)可度一致時(shí)，產(chǎn)品的總需求量也設(shè)為Dn，且此時(shí)根據(jù)線性的售價(jià)與需求量的關(guān)系來設(shè)定總需求量的表達(dá)式為：D=Q-pn。

假設(shè)4 參考Porteus和Zhou的設(shè)定，e表明企業(yè)為回收產(chǎn)品做出的努力程度，此時(shí)回收成本為ke2，k代表大于零的規(guī)模參數(shù)。本文假定回收價(jià)格比較穩(wěn)定，主要通過回收努力來影響回收數(shù)量。

假設(shè)5 無論是Minner等認(rèn)為廢舊產(chǎn)品是服從均勻分布的回收問題，還是Van等認(rèn)為廢舊產(chǎn)品的回收服從齊次泊松分布，都可以得出回收量是隨回收時(shí)間增長(zhǎng)的結(jié)論，故本文假設(shè)隨著時(shí)間的流逝，相同努力系數(shù)能夠回收到的廢舊品數(shù)量是遞增的，即回收率是回收努力和回收時(shí)間的增函數(shù)，又假設(shè)廢舊產(chǎn)品回收利用率為100%，故回收量等于再造品產(chǎn)量，并且假設(shè)模型為簡(jiǎn)單的線性結(jié)構(gòu)：Qr=(at+1)eQn,a為大于零的常系數(shù)，(at+1)e即為最終回收率，用r來代表最終回收率，且滿足0≤(at+1)e=r≤1。

假設(shè)6 新產(chǎn)品和再造品制造速度趨于無限大，不考慮庫存成本、運(yùn)送時(shí)間等因素。

2 模型構(gòu)建

2.1 不考慮時(shí)間和消費(fèi)者認(rèn)知差異的模型構(gòu)建

企業(yè)在生產(chǎn)新產(chǎn)品和回收再造的過程中，新產(chǎn)品與再造品的性能、售價(jià)和消費(fèi)者的認(rèn)可程度都是相同的，所以企業(yè)只需要確定一個(gè)售價(jià)、回收努力和產(chǎn)量就可以了。此時(shí)，需要將廢舊產(chǎn)品的回收易逝性也考慮到方程中，故企業(yè)的最終利潤(rùn)公式為：

(1)

式(1)中第一行公式代表過量生產(chǎn)情況下的收益，第二行公式代表缺貨情況下的收益，第三行是回收努力成本，其中回收廢舊產(chǎn)品而節(jié)約的總成本為rQnΔ，將節(jié)約的總成本分配到每個(gè)產(chǎn)品上，就會(huì)得到每個(gè)產(chǎn)品實(shí)際的平均生產(chǎn)成本，即為cn-rΔ，所以每個(gè)產(chǎn)品的收益為Pn-cn+rΔ。

2.2 考慮時(shí)間因素但不考慮消費(fèi)者認(rèn)知差異的模型

當(dāng)企業(yè)開始考慮廢舊品的價(jià)值和回收率的時(shí)間變動(dòng)時(shí)，此時(shí)企業(yè)的最終利潤(rùn)公式變?yōu)椋?/p>

(2)

式(2)中第一行公式代表過量生產(chǎn)情況下的收益，第二行公式代表缺貨情況下的收益，第三行是回收努力成本，因?yàn)楦鶕?jù)假設(shè)3，廢舊品的衰減率為cn/T，當(dāng)企業(yè)在t時(shí)開始回收時(shí)，廢舊品仍然剩余的價(jià)值為cn(T-t)/T，從t時(shí)開始回收直到T時(shí)生命周期為止，用平均值來衡量廢舊品的價(jià)值，即為cn(T-t)/2T，又回收率的表達(dá)為r=e(at+1)，所以得到了在考慮時(shí)間情況下產(chǎn)品的收益公式Pn-cn+e(at+1)cn(T-t)/2T。

2.3 考慮消費(fèi)者認(rèn)知差異但不考慮時(shí)間因素的模型

新產(chǎn)品和再造品雖然有時(shí)功能無差異，但是消費(fèi)的心理認(rèn)知程度還是有很大不同的，這就導(dǎo)致新產(chǎn)品和再造品得分開定價(jià)，同時(shí)還得考慮兩者的替代作用和不同的需求情況，所以在不考慮時(shí)間因素的情況下，企業(yè)的最終利潤(rùn)公式為：

(3)

式(3)中第一行和第三行公式分別代表新產(chǎn)品和再造品過量生產(chǎn)情況下的收益，第二行和第四行公式分別代表新產(chǎn)品和再造品缺貨情況下的收益，第五行是回收努力成本。因?yàn)樾庐a(chǎn)品和再造品需要分開定價(jià)和預(yù)估需求量，所以不能采用上述平均成本思想來建模。

2.4 考慮消費(fèi)者認(rèn)知差異和時(shí)間因素的模型

跟2.2的情況一致，企業(yè)需要考慮回收率隨時(shí)間的變化和廢舊品的衰減情況，這里引入了不同認(rèn)可度的新產(chǎn)品和再造品，情況就變得更加復(fù)雜，所以企業(yè)的最終利潤(rùn)公式為：

(4)

式(4)中第一行和第三行公式分別代表新產(chǎn)品和再造品過量生產(chǎn)情況下的收益，第二行和第四行公式分別代表新產(chǎn)品和再造品缺貨情況下的收益，第五行是回收努力成本。

公式中同樣采用平均生產(chǎn)成本思路來計(jì)算跟時(shí)間變化有關(guān)的再造品成本。當(dāng)企業(yè)t時(shí)刻開始回收時(shí)，此刻的廢舊品剩余的回收價(jià)值為cn(T-t)/T，平均節(jié)余成本為cn(T-t)/2T，將原成本減去節(jié)余的生產(chǎn)成為即為再造品的平均制造成本，即為cn-cn(T-t)/2T，所以經(jīng)化簡(jiǎn)，再造品的收益公式為Pr-cn(T+t)/2T。

3 結(jié)果探究

結(jié)論1 對(duì)于企業(yè)的最大利潤(rùn)和各變量的最優(yōu)解，可以通過KKT條件給出結(jié)果，但無明確的公式解，只能通過模型仿真來計(jì)算與驗(yàn)證。

證明 根據(jù)企業(yè)的最終利潤(rùn)公式(4)可以得出相應(yīng)的海塞矩陣，這是一非常復(fù)雜的5×5矩陣，但是此海塞矩陣中含有決策變量，故無法作為判斷式(4)是否有最優(yōu)解的充分條件，只能作為最終解的驗(yàn)證條件，而現(xiàn)在一般的數(shù)學(xué)軟件都可以直接判斷出解是否是最優(yōu)解，因此，本文不再單獨(dú)討論海塞矩陣。而是根據(jù)公式(4)和其約束條件得出拉格朗日乘式：

KKT優(yōu)化條件如下：

聯(lián)立式(5)-(10)，可以解得各決策變量的最優(yōu)解，但由于非線性規(guī)劃相當(dāng)復(fù)雜，無法用公式表達(dá)出結(jié)果，因此下面用四組算例給出最優(yōu)數(shù)值結(jié)果。

結(jié)論2 在保證利潤(rùn)公式有最優(yōu)解的情況下，企業(yè)的回收率都與規(guī)模參數(shù)k成反比，與再造品節(jié)余的成本Δ成正比。

證明 因?yàn)楸疚难芯康氖欠蔷€性規(guī)劃問題，很難求得解析解，因?yàn)闊o法給出回收的臨界值分析，只能進(jìn)行趨勢(shì)分析。

對(duì)于上述研究的四種情況，由于式(2)和式(4)是將回收率分析成兩個(gè)變量來研究的，不利于結(jié)果討論，本文只討論式(1)和式(3)，且這兩種情況參數(shù)設(shè)定與(2)(4)是一致的，討論的結(jié)果也是具有代表性的。

針對(duì)式(1)進(jìn)行關(guān)于回收率r的求導(dǎo)，得：

針對(duì)式(3)進(jìn)行關(guān)于回收率r的求偏導(dǎo)，得：

結(jié)論3 消費(fèi)者對(duì)新產(chǎn)品的認(rèn)可程度越高，企業(yè)的利潤(rùn)越大，回收力度越大，但回收時(shí)間卻越來越短。

證明 本文對(duì)式(4)進(jìn)行討論分析，是因?yàn)樵?4)的情況下，考慮的條件最為全面，能夠提供更加詳盡完整的參考建議。本文用數(shù)值仿真的方法Lingo軟件進(jìn)行計(jì)算。

算例如下：令x與y均服從在(0，4)上的均勻分布，k=120,α=3,T=10,hn=sn=6,hr=sr=2,Q=100,cn=25，結(jié)果如表1所示。

表1 再造品不同的認(rèn)可度對(duì)企業(yè)各個(gè)變量的影響分析

根據(jù)上表的結(jié)果顯示：①消費(fèi)者對(duì)再造品的認(rèn)可度越高，企業(yè)回收率越高，利潤(rùn)越大；②同時(shí)，新產(chǎn)品售價(jià)會(huì)略微上下浮動(dòng)，變化不顯著，而再造品的售價(jià)卻隨著認(rèn)可度上升而顯著提高；③企業(yè)新產(chǎn)品產(chǎn)量顯著下降，但銷售規(guī)模(新產(chǎn)品和再造品的總銷售量)卻有所上升；④值得注意的是，再造品的認(rèn)可度越高，企業(yè)就越應(yīng)相對(duì)晚些實(shí)行回收策略，而不是越有價(jià)值就越早回收，這對(duì)企業(yè)成本不一定有利。這是由于雖然損失部分回收價(jià)值，但在回收率上有所提高，這樣企業(yè)可以通過回收再制造而出售更多的再造品，從而獲得利潤(rùn)。所以，對(duì)于企業(yè)回收來說，如果再造產(chǎn)品的認(rèn)可度比較低，企業(yè)應(yīng)該更關(guān)注回收的可用價(jià)值，而如何再造品的認(rèn)可度非常高，企業(yè)應(yīng)該更關(guān)注回收的數(shù)量，這樣才能獲得最高收益。

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責(zé)任編輯：陸廣品

Recycling and remanufacturing strategies of double-perishable products under the stochastic market demand

CAO Yu，ZHENG Qi-yun

(SchoolofBusiness,CentralSouthUniversity,Changsha410083,China)

closed-loop supply chain;double-perishable products;stochastic market demand;consumer recognition differences

Discussed the business operational decision of the double-perishable products in the stochastic market demand,which is based on the closed-loop supply chain as the research foundation,in considering both the recovery value of time variation and consumer acceptance of different circumstances. Conclusions: through the KKT condition given by nonlinear constrained optimization model and mathematical software,the optimal strategy of enterprise in various situations can be solved; in any case,the recovery is inversely proportional to the recycling of scale parameter ,but proportional to the remanufactured product cost saving; with the promotion of acceptance of remanufactured products,the profits of enterprise increase,the recovered strength enhances,but the optimal recovery time is postponed.

10.14182/j.cnki.j.anu.2016.06.012

2016-03-24；

2016-05-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71573281)；湖南省自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(12JJ2042)

曹裕(1985-)，女，湖南桃江人，副教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槠髽I(yè)可持續(xù)運(yùn)作管理、企業(yè)生命周期；鄭其昀(1991-)，女，安徽宣城人，碩士研究生，研究方向?yàn)楣?yīng)鏈可持續(xù)運(yùn)作管理。

F224;274

A

1001-2435(2016)06-0743-07