不確定參數(shù)快估反演自適應(yīng)最優(yōu)L2增益控制

谷志鋒, 朱長(zhǎng)青, 邵天章, 王文婷

(軍械工程學(xué)院車輛與電氣工程學(xué)院, 河北 石家莊 050003)

?

不確定參數(shù)快估反演自適應(yīng)最優(yōu)L2增益控制

谷志鋒, 朱長(zhǎng)青, 邵天章, 王文婷

(軍械工程學(xué)院車輛與電氣工程學(xué)院, 河北 石家莊 050003)

為了加快參數(shù)自適應(yīng)律微分方程求解速度和狀態(tài)變量的穩(wěn)定收斂速度,通過改進(jìn)常規(guī)反演自適應(yīng)L2增益控制算法和引入線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI),實(shí)現(xiàn)了參數(shù)自適應(yīng)律微分方程只需一步積分運(yùn)算即可求解,簡(jiǎn)化了不確定參數(shù)自適應(yīng)律計(jì)算求解,并保證了L2增益系數(shù)最小,給出了不確定參數(shù)快估反演自適應(yīng)最優(yōu)L2增益控制(rapid back-stepping adaptive optimalL2control, OP-L2-RBAC)的通式。軍用電站諧波勵(lì)磁系統(tǒng)的控制仿真結(jié)果表明,相對(duì)于傳統(tǒng)反演自適應(yīng)L2增益控制,該方法可加強(qiáng)軍用電站勵(lì)磁系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性。

反演自適應(yīng)L2增益控制; 自適應(yīng)最優(yōu)L2增益控制; 快速最優(yōu)L2增益控制; 軍用電站; 改進(jìn)反演控制

0　引　言

基于反演設(shè)計(jì)的非線性自適應(yīng)L2增益控制(nonlinear adaptiveL2-gain control,L2-NAC)方法不僅可以有效處理不滿足匹配條件的參數(shù)不確定性問題,還可以保證干擾至控制輸出的增益小于設(shè)定值,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定,因此,在勵(lì)磁控制[1-3]、柔性交流輸電[4-5]、交直流互聯(lián)系統(tǒng)控制[6-7]、高速飛行器[8-9]、移動(dòng)機(jī)器人[10]等眾多領(lǐng)域,反演自適應(yīng)L2-NAC有著廣泛的應(yīng)用。

文獻(xiàn)[2-5]在進(jìn)行反演L2-NAC 設(shè)計(jì)過程中,依據(jù)一種特殊的不等式關(guān)系實(shí)現(xiàn)了控制系統(tǒng)的L2增益控制;文獻(xiàn)[6-10]采用的反演L2-NAC方法通常要求未建模動(dòng)態(tài)、不確定非線性部分滿足一定的不等式關(guān)系;文獻(xiàn)[11-14]介紹的反演L2-NAC方法通常需要外部擾動(dòng)、不確定項(xiàng)的上界或上界函數(shù)已知;文獻(xiàn)[15-18]中的反演L2-NAC方法克服了過參數(shù)的問題,但同樣要求未建模動(dòng)態(tài)、不確定項(xiàng)以及外部干擾滿足一定的不等式關(guān)系或上界已知,另外,在反演設(shè)計(jì)過程中,由于虛擬函數(shù)的每一步設(shè)計(jì)都引入了不確定參數(shù)估計(jì)值[19-20],因此,最終導(dǎo)致參數(shù)自適應(yīng)律微分方程的求解運(yùn)算較慢。另外,上述反演L2-NAC均不具備最優(yōu)控制功能。文獻(xiàn)[2]提出一種具有狀態(tài)參數(shù)最優(yōu)約束的反演自適應(yīng)控制方法,并將該方法應(yīng)用到了軍用電站勵(lì)磁控制中,在實(shí)現(xiàn)參數(shù)自適應(yīng)、二次性能指標(biāo)最優(yōu)的同時(shí)可以保證干擾至功角、轉(zhuǎn)速等狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)積分最小,但該方法不具備最優(yōu)L2增益干擾抑制功能,同時(shí)該方法與以往L2-NAC相似,在每一次虛擬函數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)都引入了不確定參數(shù)估計(jì)值,導(dǎo)致參數(shù)自適應(yīng)律求解運(yùn)算較慢。

為此,本文提出一種不確定參數(shù)快估反演自適應(yīng)最優(yōu)L2增益控制(rapid back-stepping adaptive optimalL2control,OP-L2-RBAC)方法。OP-L2-RBAC對(duì)外部干擾、不確定部分的結(jié)構(gòu)和上界沒有要求,只要求外部干擾為L(zhǎng)2空間能量有限的信號(hào),因此適用范圍較廣,同時(shí)該方法對(duì)文獻(xiàn)[2]的計(jì)算方法進(jìn)行了改進(jìn),使得參數(shù)自適應(yīng)律在仿真過程中只需直接求解積分即可求解,因此計(jì)算速度較快。軍用電站勵(lì)磁控制仿真結(jié)果證明了OP-L2-RBAC的有效性和優(yōu)越性。

1　反演自適應(yīng)最優(yōu)L2增益控制原理

1.1問題描述

考慮以下具有外部干擾輸入和不確定參數(shù)的非線性系統(tǒng):

(1.1)

(1.2)

(1.i)

(1.n)

(2)

式中,y為評(píng)價(jià)信號(hào)。

1.2反演自適應(yīng)最優(yōu)L2增益控制實(shí)現(xiàn)

步驟 1取e1=x1,由式(1.1)得

(3)

(4)

式中,控制系數(shù)m1=f1(|e1|)+c1,f1(|e1|)為關(guān)于e1的K類函數(shù), c1>0。

將式(4)代入式(3)得

(5)

由式(1.2)和式(4)得

(6)

步驟 2取Lyapunov函數(shù):

(7)

對(duì)式(7)沿式(3)、式(6)求導(dǎo)得

(8)

(9)

式中,控制系數(shù)m2=f2(|e2|)+c2,f2(|e2|)為關(guān)于e2的K類函數(shù), c2>0。

將式(9)代入式(8)得

(10)

將式(9)代入式(6)得

(11)

步驟 i采用上述相同的計(jì)算方法得

(12)

(13)

(14)

式中,控制系數(shù)mi=fi(|ei|)+ci,fi(|ei|)為關(guān)于ei的K類函數(shù),ci>0。

步驟n取全系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù):

(15)

Vn求導(dǎo)得

(16)

將式(1.n)、式(13)代入式(16)得

(17)

(18)

(19)

將式(18)和式(19)代入式(17)得

(20)

采用以上Back-stepping方法可得誤差系統(tǒng):

(21.1)

(21.i)

(21.n)

其中

步驟 n+1式(21)通過直接反饋線性化得

(22.1)

(22.2)

(22.n)

或

(23)

當(dāng)取y=CZ,依據(jù)線性H∞控制相關(guān)知識(shí),對(duì)于式(23)當(dāng)反饋控制律v能夠使得不等式

成立,因此,當(dāng)將σ0γ1整體看作γ時(shí),可見采用反饋控制律v、控制律(18)及參數(shù)自適應(yīng)律(19)可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(1)的非線性自適應(yīng)最優(yōu)L2干擾抑制控制。

如果系統(tǒng)(23)的控制律v可求解,則代入式(24)可得uf1的值。將uf1代入式(18)可得控制律u的值。

(24)

控制律v的求解方法見下面的定理1。

定理 1對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(23)性能指標(biāo)為

的最優(yōu)L2增益干擾抑制反饋控制v的解為

v=WP-1Z

(26)

式中,W和P為以下LMI的解:

Minλ

(27)

(28)

P>0

(29)

(30)

(31.1)

(31.2)

取反饋控制律v=KZ時(shí),代入式(31)得

(32.1)

(32.2)

當(dāng)系統(tǒng)(32)漸近穩(wěn)定且滿足H∞<γ時(shí),不等式(33)存在解K和X1。

(33)

式中,X1為正定對(duì)稱矩陣。

當(dāng)式(33)左乘和右乘diag{γ1/2I,γ1/2I,γ-1/2I},取X=γX1,得

(34)

式(34)是有關(guān)K和X的非線性不等式。式(34)左乘和右乘diag{X-1,I,I}得

(35)

式中,P=X-1;W=KP。

式(35)為有關(guān)W和P的線性矩陣不等式,利用Matlab線性矩陣不等求解命令Mincx可得最小γ。此時(shí)的K=WP-1?？刂坡蔀関=KZ=WP-1Z。

證畢

上述式(3)～式(35)的計(jì)算過程中,綜合采用了back-stepping和線性H∞控制方法,并在設(shè)計(jì)過程中省略了每次虛擬函數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)都要引入?yún)?shù)自適應(yīng)律的不足,具有計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)。該方法即為本文新出的OP-L2-RBAC。

評(píng)價(jià) 1當(dāng)采用控制律式(18)和參數(shù)自適應(yīng)律式(19)時(shí),由系統(tǒng)(1)可得閉環(huán)誤差控制系統(tǒng)(21)。系統(tǒng)(21)到系統(tǒng)(23)的變換是直接反饋等價(jià)變換,因此,在控制律式(18)和參數(shù)自適應(yīng)律式(19)作用下,系統(tǒng)(23)與系統(tǒng)(1)是等價(jià)的。

評(píng)價(jià) 2由L2控制定義可知,式(26)～式(29)得到的控制律v可以保證系統(tǒng)(23)漸近穩(wěn)定,由于系統(tǒng)(23)與系統(tǒng)(1)是等價(jià)的,所以由控制律v、式(18)和式(19)可以保證系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定。

評(píng)價(jià) 3在OP-L2-RBAC中,選用

而非

作為性能指標(biāo),可以在實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定的同時(shí),對(duì)控制輸入v進(jìn)行約束,防止v的波動(dòng)過大。

評(píng)價(jià) 4OP-L2-RBAC在保證系統(tǒng)穩(wěn)定和參數(shù)自適應(yīng)的同時(shí),還可以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)參數(shù)的最優(yōu)控制和L2增益最優(yōu)干擾抑制,克服了傳統(tǒng)L2增益控制缺乏最優(yōu)控制的不足。

2　諧波勵(lì)磁系統(tǒng)的反演自適應(yīng)最優(yōu)L2增益控制

(36.1)

(36.2)

(36.3)

式中

當(dāng)引入預(yù)反饋u時(shí),由式(32)可得

(37.1)

(37.2)

(37.3)

y=[q1x1q2x2]T

(37.4)

式(37.2)中,θ=D/M為不確定系數(shù)。

(38)

式中,m1=f1(|e1|)+c1,f1(|e1|)為關(guān)于e1的K類函數(shù), c1>0。

(39)

(40)

(41)

式中,m2=f2(|e2|)+c2,f2(|e2|)為關(guān)于e2的K類函數(shù), c2>0。

將式(41)代入式(39)、式(40)得

(42)

(43)

由式(41)得

(44)

(45)

將式(44)代入式(45),分別得以下控制律(46)和參數(shù)自適應(yīng)律(47):

(46)

(47)

將式(46)、式(47)和式(44)代入式(45)得

(48)

由以上計(jì)算可得閉環(huán)誤差系統(tǒng):

(48.1)

(48.2)

(48.3)

其中

采用直接反饋線性化,系統(tǒng)(48)可轉(zhuǎn)換為

(49.1)

(49.2)

(49.3)

其中

(50.1)

(50.2)

(50.3)

系統(tǒng)(49)可以表示為

(51.1)

(51.2)

式中

由OP-L2-RBAC計(jì)算原理可知,當(dāng)系統(tǒng)(49)的性能指標(biāo)為

時(shí),采用控制律(49)不僅可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定,還能夠?qū)崿F(xiàn)干擾抑制系數(shù)γ1最小。

(52)

式中,W,P的值可采用求解LMI不等式(27)～式(29)的方式求解。

成立,其中γ=σ0γ1,即實(shí)現(xiàn)干擾對(duì)功角變化和轉(zhuǎn)速變化的影響最小。因此,OP-L2-RBAC既能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定和實(shí)現(xiàn)外部干擾抑制、不確定參數(shù)自適應(yīng),還具有最優(yōu)控制功能。

評(píng)價(jià) 6當(dāng)D12=[0001]T時(shí),由于滿足

所以O(shè)P-L2-RBAC可以防止控制輸入劇烈變化。

3　仿真結(jié)果與分析

采用PID控制時(shí),仿真結(jié)果分別如圖1所示。

圖1　采用PID控制時(shí)的狀態(tài)及控制變化曲線

采用常規(guī)L2-NAC時(shí),仿真參數(shù)為:f1(|e1|)=f2(|e2|)=f3(|e3|)=0,c1=5,c2=2,c3=9,Mh=1.4,q1=0.4,q2=0.6,γ=0.5,ρ=1,ε1和ε2均為白噪聲(噪聲功率分別為0.2和0.3)。仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2　采用L2-NAC控制時(shí)的狀態(tài)及控制變化曲線

圖3　采用OP-L2-RBAC時(shí)的狀態(tài)及控制變化曲線

4　結(jié)　論

本文針對(duì)一類含干擾輸入的嚴(yán)參數(shù)反饋非線性不確定系統(tǒng),提出了一種OP-L2-RBAC的L2增益干擾抑制的新方法, 并給出了計(jì)算通式。OP-L2-RBAC可以實(shí)現(xiàn)參數(shù)自適應(yīng)律通過積分運(yùn)算直接求解,簡(jiǎn)化了計(jì)算,提高了L2-NAC 運(yùn)算速度;同時(shí)由于無需知道外部干擾的上界和滿足的不等式,因此,具有通用性強(qiáng)的特點(diǎn);通過引入K類函數(shù),使得非線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量能夠快速恢復(fù)穩(wěn)定,提高了非線性不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定控制能力。軍用電站諧波勵(lì)磁系統(tǒng)的OP-L2-RBAC仿真結(jié)果證明了該方法的有效性和優(yōu)點(diǎn),為提高軍用電站勵(lì)磁系統(tǒng)的穩(wěn)定控制能力提供了一種新的方法。

[1] Hao J, Chen C, Shi L B, et al. Nonlinear decentralized disturbance attenuation excitation control for power systems with nonlinear loads based on the Hamiltonian theory[J].IEEETrans.onEnergyConversion, 2007,22(2): 316-324.

[2] Gu Z F, Zhu C Q, Shao T Z, et al. Robust adaptive control for the excitation system based on total-state-parameter optimum control[J].ControlTheory&Applications, 2013,30(7):856-862 (谷志鋒,朱長(zhǎng)青,邵天章,等.全狀態(tài)參數(shù)最優(yōu)控制的魯棒自適應(yīng)勵(lì)磁控制[J].控制理論與應(yīng)用,2013,30(7):856-862.)

[3] Wang K, Xin H, Gan D Q, et al. Non-linear robust adaptive excitation controller design in power systems based on a new back-stepping method[J].IETControlTheory&Applications, 2010,4(12):2947-2957.

[4] Hassan H A,Rao M. Novel robust adaptive controller based on non-quadratic Lyapunov functions for FACTS[C]∥Proc.ofthe8thIEEInternationalConferenceonACandDCPowerTransmission, 2006: 261-265.

[5] Mei S, Guan T, Lu Q, et al. Nonlinear disturbance attenuation control of static phase shifter in sense ofL2-gain[J].EuropeanTrans.onElectricalPower, 2003,13(2): 113-118.

[6] Fu J, Zhao J. Nonlinear robust control for parallel AC/DC transmission systems: a new adaptive back-stepping approach[J].CyberneticsandSystems, 2006,37(4):347-359.

[7] Murat K, Gokan P. Robust adaptive control of pulse-width modulated rectifiers based on adaptive super-twisting sliding-mode and state feedback controllers[J].ElectricPowerComponentsandSystems, 2015,43(11): 1289-1296.

[8] Ashfao A M,Wang D B. Modeling and backstepping based nonlinear control strategy for a 6 DOF quadrotor helicopter[J].ChineseJournalofAeronautics, 2008,21(3):261-268.

[9] Li Z J, Ge S S. Adaptive robust controls of biped robots[J].IETControlTheory&Applications, 2013,7(2):161-175.

[10] Sun H B, Li S H, Yang J, et al. Non-linear disturbance observer-based back-stepping control for airbreathing hypersonic vehicles with mismatched disturbances[J].IETControlTheory&Applications, 2014,8(17):1852-1865.

[11] Queiroz K, Araujo A, Dias S. Design and stability analysis of a variable structure adaptive backstepping controller[J].AsianJournalofControl, 2012, 14(3): 641-651.

[12] Wang J H, Hu J B. Robust adaptive control for uncertain nonlinear systems with unknown control directions and actuator nonlinearity[J].JournalofControlTheoryandApplication, 2012,29(3):375-380.

[13] Anil K Y, Prerna G. Robust adaptive speed control of uncertain hybrid electric vehicle using electronic throttle control with varying road grade[J].NonlinearDynamics, 2013,76(1):305-321.

[14] Yang L B, Zhang W G, Huang D G.Robust trajectory tracking control for underactuated quadrotor UAV based on ESO[J].SystemsEngineeringandElectronics, 2015,37(9):2102-2108.(楊立本,章衛(wèi)國(guó),黃得剛.基于ESO的欠驅(qū)動(dòng)四旋翼飛行器軌跡魯棒控制[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2015,37(9): 2102-2108.)

[15] Nhan T N. Optimal control modification for robust adaptive control with large adaptive gain[J].Systems&ControlLetters, 2012,61(4):485-494.

[16] Mu X W, Yu J M, Bi W P. Robust adaptive control of nonholonomic systems with uncertainties[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2004,25(3):329-337.

[17] Xie W. QuadraticL2-gain performance linear parameter-varying realisation of parametric transfer functions and state-feedback gain scheduling control[J].IETControlTheory&Applications, 2012,6(11):1577-1582.

[18] Liu Y, Li X Y. Robust adaptive control of nonlinear systems with unmodelled dynamics[J].IEEProceedingD(ControlTheoryandApplication), 2004,15(1):183-188.

[19] Gu Z F, Zhu C Q, Yang G X, et al. Design of the multi-objective constrained nonlinear robust excitation control based on the all state parameters EKF estimate[J].InternationalJournalofRobustandNonlinearControl, 2015,25(6): 789-806.

[20] Huang X Y, Wang Q, Dong C Y. Robust adaptive control of hypersonic vehicles via backstepping method[J].SystemsEngineeringandElectronics,2011,33(6):1321-1326.(黃喜元,王青,董朝陽.基于Backstepping的高超聲速飛行器魯棒自適應(yīng)控制[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2011,33(6): 1321-1326.)

Back-stepping optimalL2-gain control with rapid adaptation of uncertain parameters

GU Zhi-feng, ZHU Chang-qing, SHAO Tian-zhang, WANG Wen-ting

(Vehicles and Electrical Engineering Department, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, China)

In order to improve the calculation speed of the parameters adaptive law and the convergence speed of the state variables, by modifying the traditional back-stepping adaptiveL2-gain control algorithm and adopting linear matrix inequality (LMI), the parameter adaptive differential equation can be resolved in one integration, and the solution of the adaptive laws for the uncertain parameters is simplified, then theL2gain of the adaptive robust control will be minimum, the common formulas for the rapid back-stepping adaptive optimalL2control (OP-L2-RBAC) is deduced. Simulation results of the harmonic excitation system for the military power station show that the OP-L2-RBAC, comparing with the traditional nonlinear adaptiveL2-gain control (L2-NAC) method, can enhance the dynamic stability of the excitation system for the military power station.

back-stepping adaptiveL2-gain control; adaptive optimalL2-gain control; rapid optimalL2-gain control; military power station; improved back-stepping control

2015-08-11；

2015-11-05；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-02-16。

國(guó)家自然科學(xué)基金(51407196)；軍械工程學(xué)院重點(diǎn)院基金(YJJXM12046)資助課題

TM 273

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.08.29

谷志鋒(1979-),男,博士,主要研究方向?yàn)楠?dú)立電力系統(tǒng)非線性穩(wěn)定控制。

E-mail:gzfgohappy@163.com

朱長(zhǎng)青(1963-),男,教授,博士,主要研究方向?yàn)橐皯?zhàn)電力支持技術(shù)。

E-mail:zhunei@163.com

邵天章(1967-),男,副教授,碩士,主要研究方向?yàn)檐娪秒娬緺顟B(tài)觀測(cè)與非線性控制算法分析。

E-mail:shaotz@163.com

王文婷(1979-),女,碩士,主要研究方向?yàn)檠b備電網(wǎng)絡(luò)仿真技術(shù)。

E-mail:W_wenting@163.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160216.1531.004.html