二階輸出反饋滑模極值搜索控制方法

左　斌, 李　靜, 張　雷

(1. 北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院, 北京 100191; 2. 海軍航空工程學(xué)院戰(zhàn)略導(dǎo)彈工程系,山東 煙臺 264001; 3. 海軍航空工程學(xué)院研究生管理大隊, 山東 煙臺 264001)

?

二階輸出反饋滑模極值搜索控制方法

左斌1, 李靜2, 張雷3

(1. 北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院, 北京 100191; 2. 海軍航空工程學(xué)院戰(zhàn)略導(dǎo)彈工程系,山東 煙臺 264001; 3. 海軍航空工程學(xué)院研究生管理大隊, 山東 煙臺 264001)

針對一類單輸入單輸出(single-input-single-output,SISO)非線性極值系統(tǒng)的控制問題,提出了一種二階輸出反饋滑模極值搜索控制方法?？紤]到此系統(tǒng)的狀態(tài)量不可測,利用斜坡函數(shù)作為輸出量的參考跟蹤信號,以系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差及其微分信號構(gòu)建切換函數(shù),設(shè)計出二階滑模極值搜索控制律。穩(wěn)定性分析證明了在任意初始條件下,該方法可使系統(tǒng)的輸出量全局收斂至其期望極值的任意小鄰域內(nèi)且所有狀態(tài)量均是一致范數(shù)有界。仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性。

非線性極值系統(tǒng); 輸出反饋; 極值搜索控制; 二階滑模控制

0　引　言

在許多的實際系統(tǒng)中,系統(tǒng)的參考輸入量與輸出量之間會存在一定的極值關(guān)系,但由于系統(tǒng)可能存在未建模動態(tài)、參數(shù)時變、外界干擾等因素的影響,導(dǎo)致這種極值關(guān)系是部分已知或者是未知的。然而,極值搜索控制方法[1-2]的出現(xiàn)解決了此類具有不確定性的非線性極值系統(tǒng)的控制問題。目前,極值搜索控制方法被廣泛地應(yīng)用到光伏系統(tǒng)功率轉(zhuǎn)換極值化控制[3-4]、能量電池的最大功率點跟蹤控制[5]、多關(guān)節(jié)魚類機(jī)器人控制[6]、FTU(Frascati Tokamak Upgrade)的射頻加熱最優(yōu)化控制[7]、微小型機(jī)電系統(tǒng)(micro-electromechanical systems,MEMS)振動陀螺儀模式匹配自動控制[8]、視覺放大器控制系統(tǒng)設(shè)計[9]等方面。

目前,所有的極值搜索控制方法[10-14]都是基于狀態(tài)反饋方式進(jìn)行設(shè)計的,而對于狀態(tài)量不易測量或者不可測量的非線性極值系統(tǒng)而言,現(xiàn)有的極值搜索控制方法將無法直接應(yīng)用。為了在不增加控制系統(tǒng)設(shè)計難度的情況下,確保實現(xiàn)對被控對象的極值控制,本文針對狀態(tài)不可測的單輸入單輸出(single-input-single-output,SISO)非線性極值系統(tǒng),提出了一種基于輸出反饋的二階滑模極值搜索控制方法。該方法不要求被控對象的狀態(tài)量可測,僅利用斜坡函數(shù)作為輸出量的參考跟蹤信號,以系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差及其微分信號構(gòu)建切換函數(shù),設(shè)計系統(tǒng)的滑模極值搜索控制律,不僅可以實現(xiàn)對被控對象的極值控制,更可以提高控制方法的魯棒性。穩(wěn)定性分析證明了無論在任何初始條件下,二階輸出反饋滑模極值搜索控制方法都可使系統(tǒng)的輸出量全局收斂至其期望極值的任意小鄰域內(nèi)且所有狀態(tài)量均是一致范數(shù)有界。

1　問題闡述

SISO非線性極值系統(tǒng)為

(1)

假設(shè) 1針對SISO非線性極值系統(tǒng)式(1),存在控制律u使得狀態(tài)量x1,x2以及輸出量y均穩(wěn)定且有界。

假設(shè) 2在SISO非線性極值系統(tǒng)式(1)中,光滑函數(shù)g(x1,x2)存在非零下界,即

式中,G為下界值。

式中

控制目標(biāo):針對SISO非線性極值系統(tǒng)式(1),設(shè)計一種基于輸出反饋的二階滑模極值搜索控制方法,使得閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定,且系統(tǒng)的狀態(tài)量和輸出量均一致范數(shù)有界,輸出量y全局收斂至極大值y*的有界鄰域內(nèi)。

2　二階輸出反饋滑模極值搜索控制方法設(shè)計

定義e為輸出量y的跟蹤誤差,其具體形式為

(2)

式中,yr為輸出量的參考信號,不失一般性,可定義其為斜坡函數(shù),即

(3)

式中,kr>0為設(shè)計參數(shù);yr的初值為yr(0)=yr0。

對跟蹤誤差e求取一階微分,并將式(1)、式(3)代入,可得

(4)

式中

同時,對跟蹤誤差e求取二階微分,可得

(5)

式中

(6)

(7)

(8)

(9)

評注 1由于函數(shù)h是關(guān)于狀態(tài)量x1的光滑極值函數(shù),且Γ0(x1,x2)，f(x1,x2)和Γ2(x1,x2)為關(guān)于狀態(tài)量x1和x2的局部Lipschitz連續(xù)函數(shù),根據(jù)Lipschitz函數(shù)的定義可知,假設(shè)4可以得到滿足。

根據(jù)式(6)和式(8),可得

(10)

根據(jù)假設(shè)2和假設(shè)3,對于?x1?DΔ,可得

(11)

針對SISO非線性極值系統(tǒng)(1),設(shè)計基于輸出反饋的二階滑模極值搜索控制律u為

(12)

式中,Σ為切換函數(shù),如式(13)所示;ρ為調(diào)節(jié)函數(shù),如式(14)所示;sgn(·)表示符號函數(shù);ε>0為設(shè)計常數(shù)。

切換函數(shù)Σ設(shè)計為

(13)

式中,λ>0為設(shè)計常數(shù)。

調(diào)節(jié)函數(shù)ρ設(shè)計為

(14)

式中,β>0為衰減指數(shù);δ>0為設(shè)計的任意小常數(shù)。

評注 2雖然在K∞函數(shù)φ1，φ2，φ3，φ4，φ5和φ6中涉及到狀態(tài)量x1和x2,但是基于被控對象式 (1),應(yīng)用所設(shè)計的控制律u式(12)和范數(shù)觀測器,可以在無需狀態(tài)量x1和x2可測的情況下,實現(xiàn)函數(shù)φ1，φ2，φ3，φ4，φ5和φ6。

3　控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

針對SISO非線性極值系統(tǒng)式(1),當(dāng)采取如式(12)～式(14)所示的控制律u時,構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1　SISO非線性極值搜索控制系統(tǒng)框圖

定理 1針對SISO非線性極值系統(tǒng)式(1),采用控制律u如式(12)～式(14)所示,那么在有限的時間內(nèi),系統(tǒng)的狀態(tài)量、輸出量和切換函數(shù)信號都不會出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象,且切換函數(shù)Σ會運動到滑模面kε,即Σ(t)=kε,其中k為正整數(shù)。

證明設(shè)計如下的積分型函數(shù)S1(Σ)和S2(Σ):

當(dāng)Σ(t)≥0時,設(shè)計S1(Σ)為

(15)

當(dāng)Σ(t)<0時,設(shè)計S1(Σ)為

(16)

同時,設(shè)計S2(Σ)為

(17)

函數(shù)S1(Σ)和S2(Σ)的曲線如圖2所示。

由圖2可知,函數(shù)S1(Σ)和S2(Σ)始終滿足S1(Σ)≥0，S2(Σ)≥0,而且它們關(guān)于零點都具有對稱性,在此主要對式(15)和式(17)進(jìn)行分析。

對S1(Σ)和S2(Σ)分別求取一階微分,并代入式(4)、式(5)、式(12)、式(13)和式(14),可得

圖2　函數(shù)S1(Σ)和S2(Σ)的曲線圖

(18)

(19)

當(dāng)sgn(Γ3)<0時,考慮到λ>0、調(diào)節(jié)函數(shù)ρ≥0和-|Γ2|≤-kG,并將式(7)、式(9)、式(10)、式(14)代入式(18),可得

(20)

當(dāng)sgn(Γ3)>0時,存在

(21)

由于切換函數(shù)Σ是連續(xù)函數(shù),而結(jié)論“當(dāng)t∈[t3,t1)時,Σ(t)=kΣε”與前提假設(shè)“在時刻t1∈[0,∞)時,切換函數(shù)Σ(t)會出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象”是相互矛盾的。因此該假設(shè)不成立,Σ(t)，e(t)和y(t)在有限時間內(nèi)都不會出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。

(22)

定義如下的Lyapunov函數(shù):

(23)

對式(23)求取一階微分,并代入式(4)、式(5)和式(13),可得

(24)

(25)

(26)

證畢

證明(1) 采用反證法,證明狀態(tài)量x1將在有限時間內(nèi)全局收斂至鄰域DΔ內(nèi)。

顯然,結(jié)論“當(dāng)時間t足夠大時,狀態(tài)量x1會進(jìn)入鄰域DΔ內(nèi)”與前提假設(shè)“狀態(tài)量x1在所有時間內(nèi)都不能進(jìn)入鄰域DΔ內(nèi)”是相互矛盾的。因此,狀態(tài)量x1必將在有限時間內(nèi)全局收斂至鄰域DΔ內(nèi),輸出量y也將趨于極大值y*的很小鄰域內(nèi)。

(2) 證明輸出量y在極大值y*附近的振蕩幅值是關(guān)于參數(shù)ε2的無窮小量。

針對輸出量y在極大值y*附近的振蕩問題,分兩種情況進(jìn)行討論:情況1，狀態(tài)量x1一直在鄰域DΔ內(nèi)進(jìn)行振蕩運動;情況2，狀態(tài)量x1的振蕩運動會逃出鄰域DΔ,然后再返回進(jìn)入鄰域DΔ內(nèi)。

情況 2如果狀態(tài)量x1的振蕩運動會逃出鄰域DΔ,然后再返回進(jìn)入鄰域DΔ內(nèi),那么就需要證明輸出量y在此以外的振蕩范圍也是關(guān)于參數(shù)ε2的無窮小量。

由于參考軌跡yr是嚴(yán)格遞增的,且輸出量y存在極大值y*,那么一定存在時間t*>0,使得sgn(e)=-1。由切換函數(shù)Σ的定義式(13),可以推導(dǎo)出

(27)

假設(shè)當(dāng)時刻t=t1(t1>t*)時,狀態(tài)量x1從鄰域DΔ內(nèi)運動到其邊緣處。對于?t>t1,存在

(28)

(29)

將式(28)與式(29)相減,可得

(30)

求解微分方程式(30),可得

(31)

由式(31),可得

(32)

設(shè)定t2(t2>t1>t*)為切換函數(shù)Σ達(dá)到下一個滑模面的時刻,t3(t3>t1>t*)為切換函數(shù)Σ從鄰域DΔ外部再次返回鄰域DΔ邊緣的時刻。

(1) 如果t3>t2>t*,則可將時間分為兩個階段t∈[t1,t2)和t∈[t2,t3]。

根據(jù)式(4)、式(5)、式(12)、式(13)和式(14),可得

(33)

式中,t*可以適當(dāng)大,使得|y|exp(-βt)→0。

由于切換函數(shù)|Σ|是遞增函數(shù),對于?t∈[t1,t2),存在

(34)

綜合t∈[t1,t2)和t∈[t2,t3]的分析情況,可以得到對于?t∈[t1,t3],|y(t)-y(t1)|=O(ε2)。

(2) 如果t2≥t3>t*,分析輸出量y從t1運動到t3的情況。由于此時切換函數(shù)Σ不處于滑模面上,那么對于?t∈[t1,t3],輸出量y的運動情況可以同比于式(1)中t∈[t1,t2)的情況,因而,可知此時|y(t)-y(t1)|=O(ε2)。

證畢

4　仿真分析

考慮如下的SISO非線性極值系統(tǒng):

(35)

式中,x1∈R和x2∈R為系統(tǒng)的狀態(tài)量;u∈R和y∈R分別為系統(tǒng)的輸入量和輸出量。此非線性極值系統(tǒng)模型源于汽車的ABS控制系統(tǒng)[16],當(dāng)x1=2時,輸出量y存在極大值y*=2.5。

圖3　狀態(tài)量x1的仿真結(jié)果(本文方法)

圖4　狀態(tài)量x2的仿真結(jié)果(本文方法)

圖5　輸出量y的仿真結(jié)果(本文方法)

圖6　控制量u的仿真結(jié)果(本文方法)

采用文獻(xiàn)[16]的方法,選取參數(shù)C=2、σ=0.5t,在相同的初始條件下,得到仿真結(jié)果分別如圖7～圖10所示。

圖7　狀態(tài)量x1的仿真結(jié)果(文獻(xiàn)[16]方法)

圖8　狀態(tài)量x2的仿真結(jié)果(文獻(xiàn)[16]方法)

圖9　輸出量y的仿真結(jié)果(文獻(xiàn)[16]方法)

圖10　控制量u的仿真結(jié)果(文獻(xiàn)[16]方法)

圖11　狀態(tài)量x1的仿真結(jié)果

如圖11和圖12所示,雖然,被控對象(35)受到各種干擾,但在原有控制器的作用下,輸出量y仍然能夠較快速度的收斂至極大值y*的有界鄰域內(nèi),由此說明本文方法確實具有很好的魯棒性。

圖12　輸出量y的仿真結(jié)果

5　結(jié)　論

針對SISO非線性極值系統(tǒng),當(dāng)狀態(tài)量不具備可測性時,提出了一種基于輸出反饋的二階滑模極值搜索控制方法。該方法利用斜坡函數(shù)作為輸出量的參考跟蹤信號,以跟蹤誤差及其微分信號設(shè)計切換函數(shù),并構(gòu)建相應(yīng)的周期滑模面,從而確保切換函數(shù)在任何時刻都可以全局收斂至滑模面上,提升了控制方法的魯棒性。該方法屬于一種在線反饋控制方法,在許多狀態(tài)量不易測量或者不可測量的極值系統(tǒng)中有著廣泛應(yīng)用前景。

[1] Krstic M, Wang H H. Stability of extremum seeking feedback for general nonlinear dynamic systems[J].Automatica, 2000, 36 (4): 595-601.

[2] Krstic M. Performance improvement and limitations in extremum seeking control[J].SystemandControlLetters, 2000, 39 (5): 313-326.

[3] Cid-Pastor A, Martinez-Salamero L, Leyva R, et al. Design of photovoltaic-based current sources for maximum power transfer by means of power gyrators[J].IETPowerElectronics, 2011, 4(6): 674-682.

[4] Bratcu A I, Munteanu I, Bacha S, et al. Cascaded DC-DC converter photovoltaic systems: power optimization issues[J].IEEETrans.onIndustrialElectronics, 2011, 58(2): 403-411.

[5] Bizon N. On tracking robustness in adaptive extremum seeking control of the fuel cell power plants[J].AppliedEnergy, 2010, 87(10): 3115-3130.

[6] Cochran J, Kanso E, Kelly S D, et al. Source seeking for two nonholonomic models of fish locomotion[J].IEEETrans.onRobotics, 2009, 25(5): 1166-1176.

[7] Carnevaleb D, Astolfi A, Centioli C, et al. A new extremum seeking technique and its application to maximize RF heating on FTU[J].FusionEngineeringandDesign, 2009, 84(2): 554-558.

[8] Antonello R, Oboe R, Prandi L, et al. Automatic mode mat-ching in MEMS vibrating gyroscopes using extremum-seeking control[J].IEEETrans.onIndustrialElectronics,2009,56(10):3880-3891.

[9] Dower P M, Farrell P M, Nesic D. Extremum seeking control of cascaded raman optical amplifiers[J].IEEETrans.onControlSystemsTechnology, 2008, 16(3): 396-407.

[10] Krstic M. Toward faster adaptation in extremum seeking control[C]∥Proc.ofthe39thIEEEConferenceonDecisionandControl, 1999: 4766-4771.

[11] Tan Y, Nesic D, Mareels I. On stability properties of a simple extremum seeking scheme[C]∥Proc.ofthe45thIEEEConferenceonDecision&Control, 2006: 2807-2812.

[12] Zuo B, li J, Hu Y A.Researchonextremumseekingalgorithmanditsapplication[M].Beijing: National Defence Industry Press, 2014.(左斌, 李靜, 胡云安.極值搜索算法研究及其應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社, 2014.)

[13] Ariyur K B, Krstic M. Slope seeking: a generalization of extremum seeking[J].InternationalJournalofAdaptiveControlSignalProcessing, 2004, 18 (1): 1-22.

[14] Zuo B, Hu Y A,li J. Research on extremum seeking algorithm based on chaotic annealing recurrent neural network with parameter disturbances and its application[J].ActaElectronicaSinica, 2009, 37 (12): 2651-2656.(左斌, 胡云安, 李靜. 基于混沌退火的參數(shù)擾動遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)極值搜索算法及其應(yīng)用研究[J]. 電子學(xué)報, 2009, 37 (12): 2651-2656.)

[15] Filippov A F. Differential equations with discontinuous right-hand side[J].AmericanMathematicalSocietyTranslations, 1964, 42 (2): 199-231.

[16] Drakunov S, Ozguner U, Dix P, et al. ABS control using optimum search via sliding modes[J].IEEETrans.onControlSystemsTechnology, 1995, 3 (1): 79-85.

Output-feedback extremum seeking control method with second-order sliding mode

ZUO Bin1, LI Jing2, ZHANG Lei3

(1. School of Instrument Science and Opto-Electronics Engineering, Beihang University, Beijing 100191, China;2. Department of Strategic Missile Engineering, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China;3. Graduate Students’ Brigade, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China)

A output-feedback extremum seeking control method with second-order sliding mode is proposed for a class of single-input-single-output (SISO) nonlinear extremum systems. Considering the system’s states are unmeasurable, the control method uses a simple ramp time function as the reference signal of the system’s output, constructs the sliding mode manifold by using the output tracking error and its derivative, and designs the extremum seeking control law with second-order sliding mode. The stability analysis shows that a nonlinear extremum system with the proposed control method is possible to achieve an arbitrarily small neighborhood of the desired optimal point under all initial conditions, and all the states in the closed-loop system remain uniformly bounded. Simulation results are presented to illustrate the good performance of the proposed control method.

nonlinear extremum system; output-feedback; extremum seeking control; second-order sliding mode control

2015-04-04；

2015-07-01；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015-12-29。

國家自然科學(xué)基金(60674090)；中國博士后科學(xué)基金(2013M542480)資助課題

TP 273.23

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.08.27

左斌(1979-),男,助理研究員,博士,主要研究方向為非線性控制、智能控制。

E-mail:zuobin97117@163.com

李靜(1982-),男,講師,博士,主要研究方向為非線性控制、迭代學(xué)習(xí)控制。

E-mail:lijing7292013@163.com

張雷(1988-),男,博士研究生,主要研究方向為非線性控制、極值搜索控制。

E-mail:zhanglei090@aliyun.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20151229.1153.006.html