分?jǐn)?shù)階SISV傳染病模型的穩(wěn)定性分析

葛　清，賀大奎，馬慧芳

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)， 烏魯木齊　830052)

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分?jǐn)?shù)階SISV傳染病模型的穩(wěn)定性分析

葛清，賀大奎，馬慧芳

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)， 烏魯木齊830052)

摘要：研究了具有雙線性發(fā)生率的分?jǐn)?shù)階SISV傳染病模型。首先分析了模型的無(wú)病平衡點(diǎn)及地方病平衡點(diǎn)的存在性，然后利用分?jǐn)?shù)階的Routh-Hurwitz準(zhǔn)則給出了各平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的條件，最后通過(guò)數(shù)值模擬進(jìn)一步驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階；Caputo 導(dǎo)數(shù)；Routh-Hurwitz準(zhǔn)則；基本再生數(shù)

傳染病模型在解釋傳染病的傳播規(guī)律及提供可行的策略等方面起著重要的作用，越來(lái)越多的學(xué)者參與到研究傳染病模型的工作中來(lái)并且做出了大量重要的優(yōu)秀成果[1-3]。

但是這些工作都局限于整數(shù)階傳染病模型。近些年來(lái)許多學(xué)者提出了采用分?jǐn)?shù)階模型研究傳染病模型的思想[4-10]，這是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階模型是整數(shù)階模型的推廣，而且分?jǐn)?shù)階模型在描述具有記憶及遺傳性的過(guò)程方面具有一定的優(yōu)越性。

本文研究一類具有雙線性發(fā)生率分?jǐn)?shù)階的 SISV 傳染病模型:

(1)

這里將總?cè)丝跀?shù)N分成了3部分：易感者S、 染病者I、 恢復(fù)者R。

本文假設(shè)模型(1)中所有參數(shù)均為正的常數(shù)，并且根據(jù)疾病的傳播發(fā)展機(jī)理，對(duì)參數(shù)做如下說(shuō)明：Λ為常數(shù)輸入率；β為S,I的傳播率系數(shù)；μ為S,I,V的自然死亡率；q為新生者被接種的比例；p為易感者被接種的比例；ε為因病死亡率；γ為恢復(fù)率系數(shù)；δ為免疫失去率系數(shù)。假設(shè)初始條件為：S(0)=S0,I(0)=I0,V(0)=V0。

1　預(yù)備知識(shí)

定義1令函數(shù)f∈Cn([0,+∞),R),α階Caputo導(dǎo)數(shù)定義為

其中Γ(·)為伽馬函數(shù)，n-1<α≤n。特別地，當(dāng)n=1時(shí)，

(2)

考慮系統(tǒng)

(3)

定義2常數(shù)x*為系統(tǒng)(3)的平衡點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)f(t,x*)=0。

2　平衡點(diǎn)的存在性及局部穩(wěn)定性

定理1當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)P0是局部漸近穩(wěn)定的。

證明系統(tǒng)(1)在P0處的雅可比矩陣為

(4)

則特征方程為

所以

定理2當(dāng)R0>1，且系統(tǒng)(1)滿足下列條件之一時(shí)，

系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)P*=(S*,I*,V*)是局部漸近穩(wěn)定的，這里：

ai(i=1,2,3)由式(7)確定。

(5)

所以特征方程為

(6)

令

(7)

從a1,a2,a3的表達(dá)式中很容易得出：a1>0,a2>0,a3>0且a1a2>a3，因此由文獻(xiàn)[4]的Routh-Hurwitz準(zhǔn)則知定理2成立。

3　數(shù)值模擬

例1為了驗(yàn)證定理2的第2個(gè)條件，令：α=0.5,Λ=0.58,β=0.2,μ=0.06,q=0.3,p=0.5,ε=0.23,γ=0.6,δ=0.35。初始條件：S0=2,I0=1,V0=3。此時(shí)地方病平衡點(diǎn)為(4.164 1, 0， 5.502 6),R0=0.935 8，且滿足定理1的條件。由圖1可以看出無(wú)病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。

圖1　例1

例2為了驗(yàn)證定理2的第1個(gè)條件，令：α=0.5,Λ=0.25,β=0.5,μ=0.06,q=0.3,p=0.5,ε=0.02,γ=0.6,δ=0.65。初始條件：S0=1.86,I0=1.407 5,V0=1.263 4。此時(shí)地方病平衡點(diǎn)為(1.36, 1.307 5， 1.063 4),且滿足定理2的條件(2)，由圖2可以看出地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。

圖2　例2

例3為了驗(yàn)證定理2的第2個(gè)條件，令：α=0.5,Λ=0.25,β=0.5,μ=0.06,q=0.3,p=0.5,ε=0.03,γ=0.6,δ=0.35。初始條件：S0=1.88,I0=0.713 9,V0=2.065 9。此時(shí)地方病平衡點(diǎn)為(1.38, 0.613 9， 1.865 9),且滿足定理2的第2個(gè)條件，由圖3可以看出地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定。

圖3　例3

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(責(zé)任編輯劉舸)

收稿日期：2016-04-18

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(11301451)

作者簡(jiǎn)介：葛清(1988—)，女，碩士，主要從事常微分方程及其動(dòng)力系統(tǒng)的研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.07.025

中圖分類號(hào)：O175

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-8425(2016)07-0146-03

Stability Analysis of Fractional Order SISV Epidemic Model

GE Qing, HE Da-kui, MA Hui-fang

(Xinjiang Agricultural University, Urumqi 830052, China)

Abstract:We mainly studied the rate of fractional SISV epidemic model with bilinear incidence. Firstly, we analyzed the existence of the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium, and then we showed conditions of local asymptotic stability for the equilibrium points by using the fractional Routh-Hurwitz criterion, finally by means of numerical simulation, the accuracy of conclusions was verified.

Key words:fractional order; Caputo derivative; Routh-Hurwitz criterion; basic reproductive number

引用格式：葛清，賀大奎，馬慧芳.分?jǐn)?shù)階SISV傳染病模型的穩(wěn)定性分析[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(7):146-148.

Citation format：GE Qing, HE Da-kui, MA Hui-fang.Stability Analysis of Fractional Order SISV Epidemic Model[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(7):146-148.