Triangle軟件在自適應(yīng)剖分中的應(yīng)用

張衍林，梅　鋼，徐能雄

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 工程技術(shù)學(xué)院, 北京　100083)

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Triangle軟件在自適應(yīng)剖分中的應(yīng)用

張衍林，梅鋼，徐能雄

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京) 工程技術(shù)學(xué)院, 北京100083)

摘要：大型商業(yè)CAE/CAM軟件價(jià)格昂貴、操作復(fù)雜，且在生成大規(guī)模三角網(wǎng)格時(shí)速度較慢。Triangle軟件是一個(gè)開(kāi)源、功能強(qiáng)大、操作簡(jiǎn)單的二維三角網(wǎng)格生成器。該軟件能根據(jù)邊界的復(fù)雜程度，極其高效地生成高質(zhì)量的、自適應(yīng)的三角網(wǎng)格，但是該軟件在國(guó)內(nèi)應(yīng)用較少。闡述了利用該軟件進(jìn)行網(wǎng)格自適應(yīng)剖分的步驟，并通過(guò)工程實(shí)例對(duì)采用不同剖分方法得到的網(wǎng)格進(jìn)行質(zhì)量對(duì)比和數(shù)值計(jì)算。結(jié)果表明：Triangle軟件操作簡(jiǎn)單、實(shí)用性強(qiáng)；采用由加密區(qū)向非加密區(qū)過(guò)渡的自適應(yīng)剖分方法，產(chǎn)生的單元質(zhì)量較好，且計(jì)算效率和精度可以達(dá)到實(shí)際工程中數(shù)值計(jì)算的需要，值得在數(shù)值模擬領(lǐng)域推廣應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：Triangle軟件； 自適應(yīng)網(wǎng)格； 三角剖分； 數(shù)值計(jì)算； 效率

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的普及和發(fā)展，為了更準(zhǔn)確、真實(shí)地反映研究對(duì)象，人們對(duì)數(shù)值分析的復(fù)雜程度、效率和精度方面有了更高的要求[1]。據(jù)統(tǒng)計(jì)，在數(shù)值分析的3個(gè)階段中：前處理約占總時(shí)間的40%～60%；數(shù)值求解約占5%～20%；計(jì)算結(jié)果后處理約占30%[2]。如果對(duì)復(fù)雜的分析區(qū)域進(jìn)行人工布點(diǎn)、離散，工作繁雜，且容易出錯(cuò)。此外，在數(shù)值計(jì)算中，需要根據(jù)應(yīng)力、應(yīng)變的大小設(shè)置網(wǎng)格加密區(qū)和非加密區(qū)，為實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格的平穩(wěn)過(guò)渡，也需要使用網(wǎng)格自動(dòng)加密的自適應(yīng)剖分方法，準(zhǔn)確地表現(xiàn)出分析對(duì)象的幾何特征。

Delaunay三角網(wǎng)具有空外接圓性質(zhì)和最大的最小角性質(zhì)，是“最接近于規(guī)則化”的三角網(wǎng)[3]。目前很多學(xué)者對(duì)Delaunay剖分進(jìn)行了優(yōu)化，如將凸包法、逐點(diǎn)插入法、角度判別對(duì)角線法相結(jié)合[4]，對(duì)平面點(diǎn)集使用并行二維凸殼算法[5]，將無(wú)約束的Delaunay三角剖分與帶斷層約束的Delaunay三角剖分結(jié)合使用[6]，對(duì)各種平面、空間點(diǎn)云數(shù)據(jù)采用局部連接Delaunay邊、Delaunay 面的方法[7]，實(shí)現(xiàn)了高效率、高精度的Delaunay三角剖分。據(jù)此很多學(xué)者以Delaunay三角剖分為基礎(chǔ)，編制出網(wǎng)格剖分軟件，如北京大學(xué)研制的 AUTOMESH 軟件，可保證網(wǎng)格剖分的收斂，且剖分結(jié)果最優(yōu)[8]。EasyMesh[9]是簡(jiǎn)單易用的二維三角形網(wǎng)格產(chǎn)生器，能對(duì)折線圍成的多空洞、多介質(zhì)區(qū)域進(jìn)行局部加密的三角形剖分。Gmsh[10]和TetGen[11]能快速生成三維的高質(zhì)量網(wǎng)格，在國(guó)外的應(yīng)用較廣。

Triangle軟件能進(jìn)行Delaunay三角剖分和限定Delaunay三角剖分，具有高效率自適應(yīng)剖分的強(qiáng)大優(yōu)勢(shì)，但是在現(xiàn)階段介紹該軟件的文獻(xiàn)較少。因此，本文介紹了Triangle軟件的功能及使用步驟。實(shí)例驗(yàn)證結(jié)果表明：使用該軟件進(jìn)行自適應(yīng)剖分產(chǎn)生的網(wǎng)格質(zhì)量較高，計(jì)算速度和計(jì)算精度滿足數(shù)值模擬的需要，對(duì)于提高數(shù)值分析前處理階段的工作效率和促進(jìn)該軟件在網(wǎng)格自適應(yīng)剖分中的應(yīng)用具有重要意義。

1　Triangle軟件介紹

Triangle軟件是由加州大學(xué)伯克利分校Jonathan Richard Shewchuk教授編制的、以C語(yǔ)言為基礎(chǔ)的、在Linux操作系統(tǒng)下運(yùn)行的平面三角剖分軟件，特別適用于以二維模型為基礎(chǔ)的數(shù)值模擬計(jì)算。與大型商業(yè)CAE/CAM軟件相比有如下優(yōu)勢(shì)：

1.1軟件規(guī)格小，操作簡(jiǎn)單

Triangle軟件大小不足1M，無(wú)需安裝，只需將代碼文件置于Linux操作系統(tǒng)下，通過(guò)gcc編譯器編譯運(yùn)行即可。操作命令是由研究區(qū)域的數(shù)據(jù)文件名和控制不同剖分方法的開(kāi)關(guān)組合構(gòu)成的，通過(guò)輸入一行命令即可實(shí)現(xiàn)剖分。

現(xiàn)有的大型商業(yè)CAE/CAM軟件集建模與計(jì)算功能于一體，規(guī)格動(dòng)輒1G，安裝步驟復(fù)雜，且不易成功；由于版權(quán)限制，使用這些軟件時(shí)需要付費(fèi)購(gòu)買(mǎi)；當(dāng)使用此類(lèi)軟件建模時(shí)，大多數(shù)需要通過(guò)手工繪制模型，對(duì)于邊界復(fù)雜區(qū)域只能簡(jiǎn)化模型，影響數(shù)值計(jì)算精度。

1.2軟件功能強(qiáng)大，剖分速度極快，剖分單元質(zhì)量好

Triangle軟件能對(duì)點(diǎn)集和平面區(qū)域進(jìn)行剖分和二次剖分，生成高質(zhì)量網(wǎng)格。該軟件能接受用戶自定義的約束條件，如角度和三角形面積，可對(duì)“洞”和“凹、凸”等實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格剖分[12]。該軟件剖分時(shí)占用內(nèi)存小，剖分時(shí)間以毫秒計(jì)算，可以根據(jù)邊界形狀添加節(jié)點(diǎn)和加密網(wǎng)格，實(shí)現(xiàn)單元的自適應(yīng)剖分和由加密區(qū)到非加密區(qū)的平穩(wěn)過(guò)渡。

現(xiàn)有的大型商業(yè)CAE/CAM軟件可以對(duì)體和殼進(jìn)行剖分。但是當(dāng)對(duì)復(fù)雜邊界進(jìn)行自適應(yīng)剖分和網(wǎng)格由加密區(qū)到非加密過(guò)渡時(shí)，需要在邊界處重新布點(diǎn)，操作步驟較為復(fù)雜，剖分時(shí)占用內(nèi)存較高，剖分速度相對(duì)較慢。

2　Triangle軟件的應(yīng)用

Triangle軟件的使用流程分為輸入模型數(shù)據(jù)文件、剖分、輸出數(shù)據(jù)文件3步。其中輸入文件就是通過(guò)提取出構(gòu)成模型所有線段的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，制作出Triangle軟件可以識(shí)別的環(huán)文件；剖分就是選擇代表不同剖分方法的開(kāi)關(guān)，通過(guò)限制三角形單元的角度或面積實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格的生成；輸出的數(shù)據(jù)文件為網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)文件和單元文件。

2.1輸入數(shù)據(jù)文件

Triangle軟件進(jìn)行網(wǎng)格剖分所針對(duì)的模型是由若干閉合環(huán)組成的。圖1中共有2個(gè)閉合環(huán)，環(huán)上有12個(gè)節(jié)點(diǎn)，環(huán)內(nèi)部有1個(gè)指示點(diǎn)。指示點(diǎn)是表征孔洞位置的點(diǎn)，即包含指示點(diǎn)的最小環(huán)為孔洞。將圖1中所有點(diǎn)和線段的信息進(jìn)行整理生成環(huán)文件，作為T(mén)riangle軟件的輸入文件。

圖1　原始模型

將圖1中所有點(diǎn)和線段的信息整理生成名為example1.poly的環(huán)文件，具體內(nèi)容如下：

# 以“#”開(kāi)頭的行是注釋行

# 線段總數(shù) 邊界符號(hào)

# 孔洞數(shù)目

1

# 孔洞ID 指示點(diǎn)x坐標(biāo) 指示點(diǎn)y坐標(biāo)

1 65 68

2.2剖分

Triangle軟件是在Linux系統(tǒng)下運(yùn)行的，因此需要將Triangle軟件的源代碼放在名為Code的文件夾下，并將該文件夾放在系統(tǒng)主目錄Home文件夾下。通過(guò)在終端輸入cd Code命令索引源代碼，并分別輸入“gcc triangle.c-lmo triangle”和“./triangle”命令來(lái)編譯、運(yùn)行軟件，顯示軟件的功能開(kāi)關(guān)，如圖2所示。該軟件主要是借助不同開(kāi)關(guān)的相互組合實(shí)現(xiàn)不同的剖分效果。

對(duì)圖1所示的模型，通過(guò)在終端輸入“./triangle-pqa43.3 example1.poly”命令進(jìn)行網(wǎng)格剖分，結(jié)果如圖3所示。

圖2　Triangle軟件運(yùn)行界面

圖3　Triangle軟件剖分完畢界面

2.3輸出數(shù)據(jù)文件

如圖3所示，剖分完成之后產(chǎn)生新的節(jié)點(diǎn)文件、單元文件、環(huán)文件，并提示網(wǎng)格由53個(gè)節(jié)點(diǎn)和72個(gè)三角形單元組成。將點(diǎn)文件和單元文件進(jìn)行整合，輸入到第三方數(shù)值分析軟件中生成網(wǎng)格，如圖4所示。

圖4　生成的網(wǎng)格

3　應(yīng)用實(shí)例

3.1工程概況

某礦山地上部分的礦產(chǎn)已基本開(kāi)采完畢，即將轉(zhuǎn)入井下開(kāi)采。取該區(qū)域某一地質(zhì)剖面作為地質(zhì)模型的初始資料。如圖5所示，地表有約20 m厚的第四系覆蓋層，南坡主要為混合巖，北坡主要為千枚巖，中間區(qū)域?yàn)殍F礦石。

圖5　礦山開(kāi)采地質(zhì)剖面

隨著開(kāi)采深度的增加，將會(huì)在礦井兩側(cè)形成高邊坡，為保證生命財(cái)產(chǎn)安全和礦產(chǎn)的順利開(kāi)采，需要對(duì)邊坡的變形情況進(jìn)行研究。巖體的物理力學(xué)參數(shù)如表1所示。

表1　巖體物理力學(xué)參數(shù)

3.2網(wǎng)格剖分

網(wǎng)格大小主要根據(jù)數(shù)值計(jì)算需要的精度來(lái)確定。隨著礦產(chǎn)開(kāi)采深度的增加，邊坡潛在滑動(dòng)面與臨空面之間的的巖體應(yīng)力和應(yīng)變較為顯著。為提高數(shù)值計(jì)算精度，需要對(duì)該區(qū)域的單元進(jìn)行加密。根據(jù)其他區(qū)域是否進(jìn)行加密或者加密區(qū)與非加密區(qū)之間過(guò)渡方式的不同，主要有以下3種剖分方法:

1) 模型整體加密剖分

此次研究中,使用腹腔鏡檢查,有47例子宮漿膜下肌瘤,10例盆腔粘連,18例輸卵管堵塞,17例卵巢囊腫,14例子宮穿孔和腫塊。有46例輕度疼痛,49例中度疼痛,11例有迷走神經(jīng)刺激癥狀。患者平均手術(shù)花費(fèi)24.5 min,平均出血31.5 m L。對(duì)患者患者了半年的隨訪,有2例失聯(lián),共有40例子宮漿膜下肌瘤患者月經(jīng)正常,7例改善。10例盆腔粘連患者接受分離手術(shù)后,子宮形態(tài)恢復(fù),內(nèi)膜生長(zhǎng)良好。有17例卵巢囊腫患者癥狀改善。有12例輸卵管堵塞的患者均成功妊娠,有3例疏通。

將圖5中的模型整理生成名為example2.poly的環(huán)文件，通過(guò)在在Linux系統(tǒng)終端輸入“./triangle -pqa7 example2.poly”命令，將圖5中的全部區(qū)域剖分成單元面積不超過(guò)7 m2的網(wǎng)格，如圖6所示。將網(wǎng)格名稱命名為a，該網(wǎng)格共有節(jié)點(diǎn)196 513個(gè)、三角形單元391 354個(gè)。

圖6　整體加密剖分網(wǎng)格圖

2) 網(wǎng)格由加密區(qū)向非加密區(qū)自由過(guò)渡

為減少單元數(shù)量，對(duì)于應(yīng)力、應(yīng)變不顯著區(qū)域不進(jìn)行單元加密，即為非加密區(qū)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估算，當(dāng)開(kāi)采礦層至最后一層時(shí)為最危險(xiǎn)滑動(dòng)面的位置。在圖5中添加輔助線，即圖7中的粗虛線，該虛線將剖分區(qū)域分為加密區(qū)和非加密區(qū)。對(duì)于非加密區(qū)，不限制單元大小，在拓?fù)潢P(guān)系一致的前提下，Triangle軟件自由添加節(jié)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)剖分。

將圖7中的模型整理生成名為example3.poly的環(huán)文件，在Linux系統(tǒng)終端輸入“./triangle-pqa example3.poly”命令，將圖7中的粗虛線以內(nèi)的區(qū)域剖分成單元面積不超過(guò)7 m2的網(wǎng)格，其他區(qū)域的網(wǎng)格根據(jù)拓?fù)潢P(guān)系一致的原則自由過(guò)渡，最后生成的網(wǎng)格如圖8所示。將網(wǎng)格名稱命名為b，該網(wǎng)格共有節(jié)點(diǎn)34 668個(gè)、三角形單元68 930個(gè)。

圖7　自由過(guò)渡模型

圖8　自由過(guò)渡網(wǎng)格

3) 網(wǎng)格由加密區(qū)向非加密區(qū)穩(wěn)定過(guò)渡

圖8中從加密區(qū)到非加密區(qū)單元大小變化太大。為實(shí)現(xiàn)單元的穩(wěn)定過(guò)渡，對(duì)非加密區(qū)人為分成多個(gè)小區(qū)域，并限制每個(gè)小區(qū)域的單元大小，在拓?fù)潢P(guān)系一致的前提下，對(duì)非加密區(qū)實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)剖分。在圖7中添加細(xì)虛線作為輔助線，如圖9所示。

圖9　穩(wěn)定過(guò)渡模型

將圖9中的模型整理生成名為example4.poly的環(huán)文件。在Linux系統(tǒng)終端輸入“./triangle-pqa example4.poly”命令，將圖9中的粗虛線以內(nèi)的區(qū)域剖分成單元面積不超過(guò)7 m2的網(wǎng)格，其他區(qū)域的單元面積最大值以加密區(qū)為中心向兩邊逐漸過(guò)渡，依次為43.3，173.2，530.425，1 082.5 m2，如圖10所示。將網(wǎng)格名稱命名為c，該網(wǎng)格共有節(jié)點(diǎn)42 846個(gè)、三角形單元85 104個(gè)。

圖10　穩(wěn)定過(guò)渡網(wǎng)格圖

將a、b、c三種網(wǎng)格的信息進(jìn)行整理，結(jié)果如表2所示。

表2　網(wǎng)格剖分情況統(tǒng)計(jì)

圖6與圖8對(duì)比，對(duì)非加密區(qū)進(jìn)行網(wǎng)格剖分時(shí)，前者存在單元面積限制，Triangle軟件自動(dòng)在邊界添加節(jié)點(diǎn)，后者無(wú)單元面積限制，邊界上節(jié)點(diǎn)明顯較少。圖8與圖10對(duì)比，后者通過(guò)添加多條輔助線，限制非加密區(qū)網(wǎng)格剖分時(shí)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位置，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格的平穩(wěn)過(guò)渡。

3.3網(wǎng)格質(zhì)量

二維單元的主要質(zhì)量指標(biāo)包括單元長(zhǎng)度、翹曲角、單元邊長(zhǎng)比、內(nèi)角大小、扭曲角、雅可比比率等[13]。根據(jù)LEE C K和LO S H[14]提出的評(píng)價(jià)三角形質(zhì)量的公式(式(1))評(píng)價(jià)Triangle剖分后每一個(gè)三角形的質(zhì)量。

(1)

其中AB是以三角形頂點(diǎn)A為起點(diǎn)，以頂點(diǎn)B作為終點(diǎn)的向量，AC、BC亦如此。

根據(jù)平均值公式和均方差公式(式(2)和(3))計(jì)算上述3種網(wǎng)格質(zhì)量的平均值和均方差值，結(jié)果如表3所示。

(2)

(3)

式(1)中α值范圍為0～1，單元質(zhì)量隨著α值的增大而變好。對(duì)表3中的平均值λ和均方差值η做對(duì)比發(fā)現(xiàn)：a網(wǎng)格質(zhì)量最好；b網(wǎng)格質(zhì)量最差；c網(wǎng)格質(zhì)量居中。

3.4數(shù)值計(jì)算

將剖分之后的網(wǎng)格沿x軸方向拉伸20 m，模型由二維轉(zhuǎn)變成擬三維，三角形單元轉(zhuǎn)變成三棱柱單元。將模型導(dǎo)入FLAC3D軟件中進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，驗(yàn)證不同的剖分方法對(duì)計(jì)算效率和計(jì)算精度的影響，以此選擇最佳的剖分方式。為表述方便，a、b、c網(wǎng)格拉伸后的模型分別命名為a-a、b-b、c-c模型，其中c-c模型如圖11所示。

圖11　FLAC3D中c-c模型

數(shù)值計(jì)算采用位移約束邊界條件，對(duì)側(cè)面施加法向位移約束，對(duì)底面施加全約束，采用摩爾-庫(kù)倫本構(gòu)關(guān)系，重力加速度取值為9.80 m/s2，開(kāi)挖第1層礦產(chǎn)。當(dāng)計(jì)算不收斂時(shí)，即出現(xiàn)塑性區(qū)貫通時(shí)，停止計(jì)算。a-a、b-b、c-c模型數(shù)值計(jì)算結(jié)果分別如圖12～14所示，圖中A、B點(diǎn)為最危險(xiǎn)滑動(dòng)面在地表的位置。

圖12　整體加密塑性區(qū)圖

圖13　自由過(guò)渡塑性區(qū)圖

圖14　穩(wěn)定過(guò)渡塑性區(qū)圖

將計(jì)算時(shí)間和最危險(xiǎn)滑動(dòng)面在地表的位置分別作為計(jì)算效率和計(jì)算精度的判斷依據(jù)。計(jì)算精度是通過(guò)塑性區(qū)范圍確定的，如果計(jì)算得到的范圍偏小，則存在安全隱患，計(jì)算精度偏低。統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表4。

表4　數(shù)值計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)

由圖12～14及表4可以得出：a-a、b-b、c-c 模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的時(shí)間關(guān)系為a-a>c-c>b-b；精度關(guān)系為a-a>c-c>b-b。

將表2、表3、表4進(jìn)行對(duì)比分析得出：c網(wǎng)格剖分用時(shí)、單元數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)均小于a網(wǎng)格；c網(wǎng)格單元質(zhì)量高于b網(wǎng)格；c-c模型數(shù)值計(jì)算效率和精度均優(yōu)于b-b模型。因此采用穩(wěn)定過(guò)渡的自適應(yīng)剖分是一種較為合適的剖分方法。

4　結(jié)論

Triangle軟件是一款高效的二維剖分軟件，規(guī)格小、操作簡(jiǎn)單，其優(yōu)勢(shì)完全能與大型商業(yè)軟件擁有的前處理功能媲美。

1) 該軟件能根據(jù)邊界的復(fù)雜程度進(jìn)行自適應(yīng)剖分，自動(dòng)添加節(jié)點(diǎn)、加密網(wǎng)格，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格由加密區(qū)到非加密區(qū)的穩(wěn)定過(guò)渡。

2) 該軟件對(duì)大規(guī)模網(wǎng)格剖分用時(shí)較短，剖分形成的網(wǎng)格總體質(zhì)量較好，將模型導(dǎo)入數(shù)值計(jì)算軟件后計(jì)算時(shí)間較短、精度較高。

雖然該軟件具有強(qiáng)大的剖分功能，但是仍有不足之處，影響該軟件的推廣使用。該軟件通過(guò)輸入代表模型信息的環(huán)文件進(jìn)行網(wǎng)格剖分，當(dāng)?shù)刭|(zhì)情況復(fù)雜時(shí)，尤其模型中點(diǎn)的數(shù)量較多時(shí)，難以手工制作環(huán)文件，需要通過(guò)自己編制程序處理數(shù)據(jù)。因此建議開(kāi)發(fā)出通過(guò)輸入CAD模型直接生成Triangle軟件可以識(shí)別的環(huán)文件的程序，從而提高生成數(shù)值計(jì)算模型的效率。

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(責(zé)任編輯楊文青)

收稿日期：2016-02-18

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(40602037，40872183)

作者簡(jiǎn)介：張衍林(1988—)，男，河北石家莊人，碩士研究生，主要從事地質(zhì)工程數(shù)值模擬方面的研究。

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.07.019

中圖分類(lèi)號(hào)：TP319

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-8425(2016)07-0112-07

Application of Triangle Packge in Adaptive Mesh Generation

ZHANG Yan-lin, MEI Gang, XU Neng-xiong

(School of Engineering and Technology,China University of Geosciences (Beijing), Beijing 100083, China)

Abstract:Large commercial CAE/CAM software is typically quite expensive; and the operations in the use of the large software are in general complex. In addition, the computational efficiency in the cases of generating large-scale triangular meshes is low. The package triangle is an open source, powerful, easy-to-use 2D triangular mesh generator. This package has the capability of producing high-quality adaptive triangular mesh extremely fast for the target regions that are represented with complex boundaries. However, there are few references published in China that are focused on introducing the applications of this package. This paper first described the detailed steps of employing this package for generating high-quality adaptive meshes, and then presented a real-world engineering application to demostrate the effectiveness and efficiency of this package. The application results indicate that: the package triangle is effective and easy to use; It uses adaptive subdivision method to make the transition from encryption area to the non-encryption section, through which the unit quality is better; in addition, the computational efficiency and accuracy when using the high-quality adaptive triangular meshes can reach the requirements in practical numerical applications.

Key words:Triangle software; adaptive mesh; triangulation; numerical calculation; efficiency

引用格式：張衍林，梅鋼，徐能雄. Triangle軟件在自適應(yīng)剖分中的應(yīng)用[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(7):112-118.

Citation format：ZHANG Yan-lin, MEI Gang, XU Neng-xiong.Application of Triangle Packge in Adaptive Mesh Generation[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(7):112-118.