淺析引力半徑和軌道半徑的異同

匡海發(fā)

摘 要：《萬有引力與航天》這章的特點(diǎn)是公式多、模型多，學(xué)生很難區(qū)分引力半徑和軌道半徑。筆者通過萬有引力這章常見的3種模型來對(duì)引力半徑和軌道半徑加以區(qū)分。

關(guān)鍵詞：萬有引力；引力半徑；軌道半徑

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2016）7-0064-2

筆者在講解衛(wèi)星變軌問題時(shí)，學(xué)生提出：我們根據(jù)萬有引力F=G和牛頓第二定律F=ma可以推出a=G（如圖1）。在A點(diǎn)：r=r，所以，a=a。但是，衛(wèi)星要從軌道1變?yōu)檐壍?，衛(wèi)星必須在A點(diǎn)進(jìn)行一次瞬間加速，所以v

1 “中心天體+環(huán)繞天體”模型

如圖2所示，M為中心天體的質(zhì)量，R為中心天體的星球半徑，m為環(huán)繞天體的質(zhì)量，r為環(huán)繞天體的軌道半徑，周期為T，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)則有：G=mr。

引力半徑指計(jì)算任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間萬有引力時(shí)，質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)之間的距離，用r表示。軌道半徑指物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體到圓心之間的距離，用r表示。根據(jù)定義可知，在“中心天體+環(huán)繞天體”模型中，引力半徑r和軌道半徑r相同。

2 雙星天體模型

如圖3所示，兩顆星體質(zhì)量分別為M、m，它們之間的距離為L，現(xiàn)它們繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑分別為rM、rm，角速度為ω，則根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)有：

M：G=Mω2rM（1）

m：G=Mω2rm（2）

（1）和（2）式中，引力半徑是L，M和m的軌道半徑分別為rM、rm，可以看出引力半徑和軌道半徑在雙星系統(tǒng)中是不同的。

3 衛(wèi)星變軌模型

如圖4所示，軌道1是近圓軌道（停泊軌道），軌道2是橢圓軌道（轉(zhuǎn)移軌道），軌道3是遠(yuǎn)地圓軌道（預(yù)設(shè)軌道），如衛(wèi)星要從軌道1變?yōu)檐壍?，需要在圖4中的A位置瞬間加速，所以v

首先，要分析曲線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在曲線上某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，往往先要弄清楚曲線在這一點(diǎn)的切線方向及程度。切線方向可由切線的斜率反映出來，彎曲程度可用極限圓曲率半徑反映出來。如果在曲線上某點(diǎn)附近取一段，只要取得足夠短，那么，這一小段就可以看成一段很短的圓弧，此圓弧所在的圓叫做曲線在該點(diǎn)的極限圓，極限圓的半徑叫曲線在該點(diǎn)的曲率半徑（符號(hào)ρ）。

下面討論橢圓在A和B點(diǎn)的曲率半徑：

假設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為：+=1，如圖5所示，把質(zhì)點(diǎn)的橢圓運(yùn)動(dòng)看成兩個(gè)相互垂直的同頻率簡諧振動(dòng)的疊加，即：

根據(jù)公式an=計(jì)算向心加速度時(shí)，筆者認(rèn)為r應(yīng)指的是該點(diǎn)的曲率半徑（即軌道半徑），即使衛(wèi)星從軌道1變?yōu)檐壍?，在近地點(diǎn)有瞬間加速。但是，最后通過兩種方式計(jì)算出來加速度，也得出相同的結(jié)論：。

筆者認(rèn)為在講解《萬有引力與航天》這章內(nèi)容時(shí)，如果能抓住本章的一個(gè)中心（萬有引力提供向心為中心）、兩個(gè)半徑（引力半徑和軌道半徑）、多種變化（公式變形）進(jìn)行教學(xué)，也許會(huì)收到事半功倍的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]溫黎明.橢圓曲率半徑的四種求法[J].中學(xué)生數(shù)理化·教與學(xué)，2009（12）：121—122.（欄目編輯 鄧 磊）