多孔吸聲矩形薄板聲振特性分析的一種新模型

袁麗蕓， 向　宇， 陸　靜

(1. 廣西科技大學 汽車與交通學院，廣西 柳州　545006；2．廣西科技大學 廣西汽車零部件與整車技術重點實驗室，廣西　柳州　545006)

多孔吸聲矩形薄板聲振特性分析的一種新模型

袁麗蕓1，2， 向宇1，2， 陸靜1，2

(1. 廣西科技大學 汽車與交通學院，廣西 柳州545006；2．廣西科技大學 廣西汽車零部件與整車技術重點實驗室，廣西柳州545006)

為了彌補現(xiàn)有多孔吸聲材料在數(shù)值建模以及解析建模上的不足，建立了一種全新的多孔材料矩形薄板聲振特性分析的半解析模型。利用薄板理論，引入與流體聲壓相關的薄膜力和力矩分量，由三維的Biot理論本退化導出了二維多孔材料矩形薄板的本構關系和內(nèi)力-位移關系。然后，結合多孔板的骨架的平衡方程和多孔薄板內(nèi)部流體的運動方程，通過Fourier變換和無量綱化處理，消去中間變量后建立了頻域內(nèi)多孔矩形薄板的聲振控制方程，并寫為一階常微分矩陣形式，可采用高精度的齊次擴容精細積分法進行求解。該模型充分考慮了薄板面內(nèi)振動與彎曲振動的相互耦合，比現(xiàn)有的解析模型更加接近多孔板的真實振動。同時，采用了一種高精度的齊次擴容精細積分法進行求解，可以在中高頻段保證其精確性。以兩端簡支的多孔矩形薄板為例，分析了薄板面內(nèi)振動與彎曲振動的耦合作用對聲振特性的影響。

多孔吸聲薄板；Biot理論；薄板理論；一階常微分矩陣控制方程；齊次擴容精細積分法

近年來，由于具有良好的吸聲性能，多孔材料板殼結構在航空航天，車輛工程，土木建筑等領域得到了廣泛的應用，因此，對其進行聲振性能的研究至關重要。然而，由于多孔材料既具有彈性骨架的固體特征，還具有內(nèi)部介質(zhì)的流體特點，給這類問題的研究帶來了相當大的難度。最初，學者們對無限尺度的多孔材料進行了理論建模，其數(shù)學模型從簡單的剛性模型，向柔性模型乃至彈性多孔模型演化[1]。剛性多孔模型將多孔材料的骨架視為靜止的剛體，其內(nèi)部流體視為等效流體，僅考慮流體黏性耗能，該模型建模比較簡單，但在骨架彈性模量與內(nèi)部流體的體積模量數(shù)量級相差不大時，忽略骨架的運動會產(chǎn)生較大的誤差。柔性多孔模型進一步考慮了骨架的剛性運動，并計及骨架慣性力對結構聲振特性的影響，在骨架剛度較大時具有較高的精度。但仍然存在一定的模型誤差?；贐iot理論的多孔材料模型則將骨架視為彈性結構，考慮了骨架與內(nèi)部流體介質(zhì)之間的相互耦合，更接近真實的多孔材料[2]。但是，該模型非常復雜，涉及到的物理參數(shù)較多，包括彈性參數(shù)(楊氏模量，泊松比，損耗因子，固體骨架密度)，聲學參數(shù)(流體介質(zhì)密度，定壓比容，定容比熱，流體動力黏度系數(shù)，流體熱傳導系數(shù))及毛孔參數(shù)(孔隙度，流阻系數(shù)，流體體積模量，扭轉率、黏滯長度和熱導長度)，方程涉及到的物理變量較多，包括骨架位移變量，流體介質(zhì)統(tǒng)計意義上的位移變量，流體聲壓變量，以及骨架應力張量，應變張量等等，在多孔材料板殼結構的聲振分析通常需要對Biot理論進行適當簡化，方可建立其聲振控制方程。

目前，多孔材料板殼結構聲振特性分析多采用有限元法?；贐iot理論和變分法建立的多孔材料結構的三維有限元模型，每個結點的自由度為7個，包括骨架位移變量3個，流體介質(zhì)的位移變量3個，以及聲壓變量1個，單元自由度較大，計算所耗內(nèi)存大，效率不高。為此，Atalla等[3]提出一種混合位移-聲壓方程，并建立了一種新型的多孔材料結構的有限元模型，大大減小了計算規(guī)模。胡瑩等[4]進一步將該方程運用到含多孔材料的有源聲學結構的聲學性能研究上，取得了與實驗值較吻合的數(shù)值結果。Manuel等[5]從位移-聲壓方程出發(fā)，結合Galerkin逼近方法，對多孔吸聲板的骨架撓度和內(nèi)部氣體聲壓進行了求解，從而得到了多孔板平均二次速度的響應曲線。然而，有限元法是一種純數(shù)值解法，其計算精度依賴于網(wǎng)格劃分，在中高頻時計算精度無法得到保證。因此，需要尋求一種高精度的半解析方法，對多孔吸聲板殼結構進行聲振分析。

在多孔吸聲板結構的理論建模方面，近年來的研究并不多見。Theodorakooulos等[6]從Biot理論出發(fā)，結合Kirchhoff薄板理論，推導得到了一種描述多孔滲流板的彎曲振動的解析模型。該模型用多孔板骨架的撓度和與內(nèi)部聲壓相關的力矩變量作為變量，得到了兩個相互耦合的運動微分方程組。由于多孔材料骨架的振動響應對其表面聲阻抗的計算有直接關聯(lián)，因此，文獻[6]分析了矩形簡支多孔薄板在橫向荷載諧激勵下的頻響，并討論了慣性，孔隙度以及流體滲透率對該響應的影響。Leclaire等[7]在文獻[6]的基礎上，以骨架撓度，骨架與流體在厚度方向的相對流動撓度作為變量，推導得到了多孔吸聲板的另一種形式的運動控制耦合方程組，該方程組中的以骨架撓度和骨架與流體介質(zhì)的相對撓度作為變量，具有明晰的物理意義，而不再含有與聲壓相關的力矩變量，更便于求解。隨后，Leclaire等[8]將該控制方程的應用擴展到四邊固支的多孔板的彎曲振動問題，并得到了與實驗結果比較接近的數(shù)值解。然而，這些研究均忽略了多孔骨架與流體的面內(nèi)相對流動，且均采用梁函數(shù)法對耦合微分方程組進行求解，對邊界條件要求較嚴苛。

綜上所述，目前對多孔材料板殼結構的聲振特性分析的研究仍然比較匱乏，且現(xiàn)有的方法均存在一定的缺陷，如基于混合位移——聲壓方程的有限元法在中高頻段的計算精度無法得以保證，而現(xiàn)有的解析模型多采用了一些簡化手段，仍然存在一定的模型誤差，且對邊界條件有較嚴苛的要求?；?，本文將從Biot理論出發(fā)，結合薄板振動理論，計及多孔骨架與流體介質(zhì)的面內(nèi)相對流動，嘗試對多孔矩形薄板的聲振特性分析建立一種新的數(shù)學模型，將其運動控制方程寫成一階常微分矩陣方程的形式，并采用我們提出的高精度的齊次擴容精細積分法[9]進行求解。本文所建立的模型具有較高的精度，且齊次擴容精細積分法在中高頻段內(nèi)可以保持較高的精度和穩(wěn)定性，可以為現(xiàn)有多孔吸聲板的聲振分析提供一種新的思路和方法。

1　多孔矩形薄板運動控制方程

1.1多孔彈性薄板的幾何關系和本構關系

(1)

與文獻[6-7]不同的是，式(1)中骨架和流體介質(zhì)的中面面內(nèi)位移不為零，且骨架和流體介質(zhì)在中面處的位移不一定相同，也即是，骨架和流體介質(zhì)在面內(nèi)也存在相對流動。

圖1　多孔材料矩形薄板結構示意圖Fig.1 Schematic diagram for a thin rectangular porous plate

將式(1)代人應變——位移關系有

(2)

式中，ei,(i=x,y,z)為彈性骨架沿x,y,z三個方向的正應變分量；e,ε分別為彈性骨架與內(nèi)部流體的膨脹應變。

采用Biot理論的開孔模型，在三維直角坐標系下，多孔材料的應力——應變關系[2]如下：

(3)

(4)

當板很薄時，可視為平面問題進行求解，此時，應力分量γxz=γyz=σz-φp=0。結合式(4)可將骨架厚度方向的應變分量表示為：

(5)

將式(5)代入式(3)，并結合式(2)，三維多孔材料的應力——應變關系退化為：

(6)

由式(6)的前三個方程可以看出，與一般彈性薄板相比，多孔吸聲材料的骨架應力不僅僅與骨架應變相關，還與內(nèi)部流體介質(zhì)的聲壓變量p相關。在后文推導中，骨架的平衡方程需要用骨架中面的薄膜內(nèi)力進行表示，因此，要對應力分量進行厚度方向的積分，得到其中面內(nèi)力表達式。為了方便下文的推導，引入與聲壓相關的力變量P和力矩變量MP：

(7)

同時，注意到結合式(1)，將式(6)的第四式等式兩邊分別沿厚度方向積分，可得與聲壓相關的力變量P滿足的等式：

(8)

同理，將式(6)左右兩邊乘以厚度z并沿厚度方向積分可得：

(9)

由式(8)和式(9)可以看出，合力P與骨架和流體介質(zhì)的中面面內(nèi)位移相關，合力矩MP與骨架和流體介質(zhì)的橫向位移相關。

1.2多孔彈性薄板的內(nèi)力——位移關系

結合式(1)和式(6)，以多孔材料中的骨架為研究對象，將其內(nèi)力向中面簡化可得：

(10)

1.3多孔骨架和內(nèi)部流體的運動控制方程

以多孔板的骨架部分為對象，進行受力分析，如圖2所示，可得平衡方程：

圖2　多孔骨架的受力分析圖Fig.2 Force diagram for the porous frame

(11)

對于多孔薄板內(nèi)部流體，根據(jù)Biot理論，可得其運動控制方程[2]如下：

(12)

結合式(1)和式(7)，將式(12)左右分別沿厚度方向進行積分可得：

(13)

式(13)即為用與聲壓相關的薄膜力P表示的流體介質(zhì)滿足的平衡方程。

1.4多孔矩形薄板的一階常微分矩陣方程

(14)

此時，由式(13)可得多孔材料內(nèi)部流體介質(zhì)的位移表達式

(15)

以兩邊簡支(x=0,x=a兩端簡支)的平板為例，將各物理量幅值沿x方向進行Fourier級數(shù)展開，并進行無量綱化，可得：

(16)

(17)

(18)

內(nèi)力——位移關系式(10)可化為：

(19)

平衡方程式(11)可轉化為

(20)

等效剪力公式可化為：

(21)

并引入無量綱轉角狀態(tài)變量的Fourier級數(shù)展開分量

(22)

消去式(17)～(22)中的中間變量，經(jīng)推導整理后，多孔吸聲板的控制方程可寫為：

(23)

為了與文獻[6-8]做更好的對比，忽略流體介質(zhì)和骨架中面的面內(nèi)振動，此時，由式(15)可得到流體位移以及聲壓合力分量P的偏導分量表達形式，將其代入多孔材料骨架的控制方程，采用同樣的方法，可得到一種簡化模型。該簡化模型的控制方程與方程式(23)形式類似，但狀態(tài)變量由10個退化為了4個。由于篇幅有限，其具體的推導過程我們不再給出，僅在附錄C給出其對應的控制方程的矩陣表達形式。值得注意的是，方程式(23)和附錄C中的方程(C1)的形式均為一階常微分矩陣的形式，可參照文獻[9]給出的齊次擴容精細積分法進行高精度求解。此類控制方程的具體求解步驟可參見文獻[11]。

2　數(shù)值算例

為了驗證本文所提出的模型的正確性，考慮一尺寸為4.00 m×4.00 m×0.20 m四邊簡支的矩形薄板，其材料參數(shù)列表如表1所示，耦合系數(shù)Q,R采用文獻[6-7]的計算方法計算。參照文獻[6-7]，在板的上端施加1 400 Pa的入射聲壓，觀察其中心點處的撓度響應。頻響函數(shù)取為FRF=|w|。取板的孔隙度為φ=0.30，圖3給出了本文簡化模型與文獻[6]給出的數(shù)值結果的對比。由圖中可以看出，二者結果吻合度非常高。

表1　 多孔吸聲板的材料參數(shù)

圖3　簡化模型下多孔吸聲板撓度響應曲線對比圖Fig.3 Comparison for the response curves of the porous plate between the presented simple model and Ref

為了考察流體介質(zhì)和骨架中面的面內(nèi)振動的影響，圖4給出了本文的精細模型與文獻[6]模型的計算對比。從圖中可以看出，二者的共振波峰的頻率基本重合，在第一個共振頻率處，兩種模型的峰值差別不大，但在第二個共振頻率處，波峰處的數(shù)值明顯不同，差別達到20%以上。由此可見，流體介質(zhì)和骨架中面的面內(nèi)振動對共振頻率的影響不大，但在中高頻段內(nèi)對位移有較大的影響，因此，在多孔薄板板的聲振分析中不應忽略橫向振動和面內(nèi)流動之間的耦合作用。文獻[8]亦給出，忽略橫向振動和面內(nèi)流動之間的耦合作用的模型在高頻段與實驗值有較大出入，這種簡化的模型僅適用較低頻段內(nèi)，該結論與本文的研究結果是一致的。然而，吸聲材料常用于高頻吸聲，因此，本文所建立的精細模型具有較高的理論和應用價值。

圖4　多孔吸聲板撓度響應曲線對比圖Fig.4 Comparison for the response curves of the porous plate between the presented complex model and Ref

3　結　論

本文從Biot理論出發(fā)，結合板殼振動理論，充分考慮板的面內(nèi)振動和橫向振動的耦合，提出了一個多孔吸聲矩形薄板的聲振分析的新模型。與現(xiàn)有模型相比，由于考慮了這種耦合效應，本文所建立的模型更加精細。該模型的運動控制方程為一階常微分矩陣方程，狀態(tài)向量中的各物理量均具有明晰的物理意義，更利于各種邊界條件的應用，且采用高精度的齊次擴容精細積分法求解多孔吸聲矩形薄板的運動方程，保證了數(shù)值計算在中高頻段內(nèi)的計算精度，因此，本文所提的方法應用范圍較廣，精度較高，可適用于較高的頻段范圍。此外，本文所得的模型，還可進一步用于含多孔薄板的層合板結構的聲振特性分析。

[1] Allard J F, Atalla N. Propagation of sound in porous media: Modelling sound absorbing materials[M]. John Wiley & Sons, Ltd, 2009.

[2] Biot M A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid[J]. I. Low-frequency range. Journal of The Acoustical Society of America,1956,28(2):168-178.

[3] Atalla N, Panneton R, Debergue P. A mixed displacement-pressure formulation for poroelastic materials[J]. Journal of The Acoustical Society of America,1998,104(3):1444-1452.

[4] 胡瑩, 陳克安, Galland M A et al. 基于(u,p)方程含多孔材料有源聲學結構的聲學性能研究[J]. 聲學學報, 2011, 36(3): 271-280.

HU Ying, CHEN Ke-an, Galland M A et al. Sound transmission of double-wall active sound package with porous materials based on (u,p) formulation[J]. Acta Acoustica, 2011, 36(3): 271-280.

[5] Manuel E, Sohbi S, Bruno B. Bending vibrations of a rectangular poroelastic plate[J]. C.R. Acad. Sci. Paris, 2001, 329: 615-620.

[6] Theodorakooulos D D, Beskos D E. Flexural vibrations of poroelastic plates[J]. Acta Mechanica,1994,103:191-203.

[7] Leclaire P, Horoshenkov K V. Transverse vibrations of a thin rectangular porous plate saturated by a fluid[J]. Journal of Sound and Vibration, 2001, 247(1): 1-18.

[8] Leclaire P, Horoshenkov K V, Swift M J, et al. The vibrational response of a clamped rectangular porous plate[J]. Journal of Sound and Vibration,2001,247(1):19-31.

[9] 向宇,黃玉盈,黃健強.一種新型齊次擴容精細積分法[J].華中科技大學學報:自然科學版,2002, 30(11):74-76.

XIANG Yu, HUANG Yu-ying, HUANG Jian-qiang. A novel extended homogeneous capacity integration method[J]. J. Huazhong Univ. of Sci.& Tech:Nature Science Edition,2002, 30(11):74-76.

[10] 曹志遠.板殼振動理論[M]. 北京: 中國鐵道出版社,1989.

[11] 袁麗蕓,向宇,黃玉盈,等.主動約束層阻尼圓柱殼動力學分析的新傳遞矩陣法[J].振動與沖擊,2010,29(5):58-61.

YUAN Li-yun, XIANG Yu, HUANG Yu-ying, et al. A novel transfer matrix method for dynamic analysis of circular cylindrical shell treated with active constrained layer damping[J]. Vibration and Shock, 2010,29(5):58-61.

附錄A系數(shù)矩陣[A]和向量{F}中的非零元素

A2,1=μnπ,A2,5=1,

A9,10=1;

式中：

附錄B控制方程的詳細推導過程

由式(19)第三式可直接得出：

(B1)

由式(19)第2式有：

(B2)

可將(22)改寫為：

(B3)

由(19)中第5式有：

(B4)

(B5)

由式(20)中第二式可得：

(B6)

結合式(21)，式(20)中的第三式和第五式，并將(B5)式中的第二式代入有：

(B7)

將(B5)式中第一式代入式(20)中第一式可得：

(B8)

將(B5)式中的第三式，以及(21)式代入(20)中第四式可得：

(B9)

記

(B10)

則將(B2)式代入(17)式可得：

(B11)

將式(B3)，式(B4)代入式(18)可得：

(B12)

則式(B4)和式(B7)可轉化為：

(B13)

(B14)

(B15)

附錄C簡化模型的一階常微分矩陣控制方程

通過引入與文獻[6-8]采用的假設，忽略多孔吸聲板的介質(zhì)和骨架的面內(nèi)相對流動，可得簡化模型下多孔吸聲板的控制方程如下：

(C1)

B1,2=-1,

(C2)

(C3))

A new model for analyzing vibroacoustic performance of a thin rectangular porous plate

YUAN Li-yun1,2, XIANG Yu1,2, LU Jing1,2

(1. College of Automobile and Transportation, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China;2. Guangxi Key Laboratory of Automobile Component and Vehicle Technology, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China)

In order to make up deficiencies of the present numerical and analytical modeling of porous material, a new semi-analytical model was established for vibroacoustic analysis of a thin rectangular porous plate. In this model, by applying the elastic theory of thin plate and introducing membrane force and moment related to acoustic pressure of fluid media in a porous plate, based on 3D Biot theory, the constitutive equations and the corresponding relationship between internal force and displacement of 2D porous material plates were derived. Then, combining equilibrium equations of a porous plate with governing motion equations of fluid media inside the porous plate, using Fourier transformation and dimensionless processing to eliminate intermediate variables, a vibroacoustic governing matrix equation for the porous plate in frequency domain was established in the form of a first order ordinary differential matrix equation. It was solved with the extended homogeneous capacity high precision integration method. The coupled motion effects between in-plane vibration and transverse vibration were considered in this model, it was more close to the actual situation of a porous plate. Moreover, employing the extended homogeneous capacity high precision integration method, the computational accuracy for the vibroacoustic problem of a porous plate in medium-high frequency range could be ensured. Taking a thin rectangular porous plate with two-side simply-supported as an example, the coupled effects between in-plane vibration and bending vibration of the plate on its vibroacoustic performance were analyzed.

thin rectangular porous plate; Biot theory; thin plate elastic theory; one first order ordinary differential matrix equation; extended homogeneous capacity high precision integration method

10.13465/j.cnki.jvs.2016.13.018

國家自然科學基金(11162001;51105083；11502056)；廣西自然科學基金(2015GXNSFBA139007)；廣西科技大學博士基金(院科博12Z09)；廣西重點實驗室建設項目(1404544)

2014-12-31修改稿收到日期：2015-06-28

袁麗蕓 女，博士，副教授，1980年12月生

向宇 男，博士，教授，1963年6月生

TH113

A