由一道高考題引出的圓錐曲線切線的性質(zhì)

王麗爽

隨著素質(zhì)教育的施行，高中教育中對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)比較重視。尤其是在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，受到高中數(shù)學(xué)邏輯思維與形象思維要求較多的影響，一些學(xué)生在幾何圖形的學(xué)習(xí)中比較困難。比如，關(guān)于圓錐曲線方面的知識(shí)掌握不夠扎實(shí)，特別是對(duì)圓錐曲線切線性質(zhì)的理解方面存在一定誤區(qū)。主要針對(duì)一道高考題中對(duì)圓錐曲線切線性質(zhì)的涉及進(jìn)行探討，以此為高中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供積極的意見與建議，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與發(fā)展。

近些年來，高考數(shù)學(xué)中對(duì)圓錐曲線切線性質(zhì)題型比較多，主要集中在圓錐曲線的切線問題與定點(diǎn)定直線問題上，這也使高考專家對(duì)圓錐曲線的研究更加注重。圓錐曲線是高考中的重要題型，這需要學(xué)生對(duì)其的掌握必須熟練。當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教材中，一些對(duì)圓錐曲線問題的研究?jī)H僅局限于簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)上，而且與切線問題相關(guān)的僅僅是位置關(guān)系的研究。但是，到目前為止，關(guān)于圓錐曲線切線性質(zhì)的問題多種多樣。而且高考中關(guān)于圓錐曲線的切線問題出現(xiàn)頻率比較高，這就引起了廣大數(shù)學(xué)老師與學(xué)生的普遍關(guān)注。

作為平面解析幾何中的核心內(nèi)容，圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。因此在高考中對(duì)其的考查也比較突出。其中，關(guān)于圓錐曲線問題的主要內(nèi)容是切線問題，這一問題往往會(huì)造成學(xué)生解題的困難，大部分學(xué)生一旦遇到關(guān)于切線問題的圓錐曲線圖形，就會(huì)在解題過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，而且在解題過程中往往會(huì)力不從心。因此，為了讓高中生能夠擺脫切線問題的困境，提高學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線問題的興趣與積極性，能夠讓學(xué)生深入了解圓錐幾何問題的解法，本文主要針對(duì)高考中的一道具體問題，對(duì)圓錐曲線的切線性質(zhì)進(jìn)行研究與分析，以此為高中生的圓錐曲線學(xué)習(xí)提供寶貴的意見。

圓錐曲線與很多知識(shí)都相互聯(lián)系，學(xué)生學(xué)好圓錐曲線方面的知識(shí)，不僅能夠有效培養(yǎng)自身的數(shù)學(xué)素質(zhì)，同時(shí)也會(huì)深刻地將數(shù)學(xué)知識(shí)相互聯(lián)系，最終提升自身的學(xué)習(xí)質(zhì)量以及思維判斷能力。所謂圓錐曲線，即利用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐面，其中得到的曲線就是圓錐曲線。這是從幾何觀念出發(fā)的。而從代數(shù)角度考慮，二元二次方程中Ax2+Bxy+Cy2+Dx+F=0的圖像表示的是圓錐曲線。對(duì)于不同的判別式，也具有不同的橢圓、雙曲線以及拋物線等。圓錐曲線是光滑的，所以有切線與法線之分。1822年的比利時(shí)數(shù)學(xué)家得出的冰淇淋定理，對(duì)圓錐曲線的幾何定義與焦點(diǎn)進(jìn)行了說明。這一定理在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了積極的運(yùn)用。在圓錐曲線的研究中，阿波羅對(duì)前人的工作進(jìn)行了總結(jié)，特別是歐幾里得的工作，對(duì)前人的成果通過加工、歸納與提煉使其成為一項(xiàng)系統(tǒng)的工作，并且在此基礎(chǔ)上，還進(jìn)行了自身的創(chuàng)新。書中共8篇，包括487篇命題，而且已經(jīng)容納了圓錐曲線的性質(zhì)與內(nèi)容，后來的學(xué)者已經(jīng)沒有任何余地進(jìn)行鉆研。

圓錐曲線的切線一直是高考、自主招生、各類競(jìng)賽的熱點(diǎn)問題，圓錐曲線切線的性質(zhì)頻繁出現(xiàn)在各級(jí)各類考試中，更多的圓錐曲線的切線性質(zhì)可以參看。筆者以一道高考題為載體，研究圓錐曲線的切線，得到一些結(jié)論，現(xiàn)整理成下文，以供參考。

（2013安徽）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的焦距為4，且過點(diǎn)P（，）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)Q（x0，y0）（x0y0≠0）為橢圓C上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為E。取點(diǎn)A（0，2），連接AE，過點(diǎn)作的垂線交x軸于點(diǎn)D。點(diǎn)D是點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線QG，問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)？并說明理由。

答案：（1）+=1。

（2）由題意可知，QG的直線方程：=，化簡(jiǎn)得x0y0x-（x02-8）y-8y0=0，又因?yàn)閤02+2y02=8，所以x0x+2y0y-8=0代入+=1。

最后求得Δ=0，所以直線QG與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。

本題以橢圓為載體，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，考查解析幾何的基本思想，綜合運(yùn)算能力、探究能力。本題難度適中，但筆者覺得本題還有很多工作可以做，因?yàn)槲覀冏匀粫?huì)提出以下問題。

問題1：QG為什么偏偏就是橢圓的切線？一般的橢圓有這種性質(zhì)嗎？

問題2：在仿射變換下，我們可以把橢圓變換成圓，圓的切線也會(huì)有類似的性質(zhì)嗎？

對(duì)于以上兩個(gè)問題，我們作了探究，得到以下結(jié)論：

結(jié)論1.已知橢圓C：+=1（a>b>0），設(shè)Q（x0，y0）（x0y0≠0）為橢圓C上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為E。取點(diǎn)A（0，a），連接AE，過點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D。點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線QG，則QG是橢圓的切線。

結(jié)論2.已知橢C：+=1（a>b>0），直線l1∶y=k1x，l2∶y=k2x，且k1k2=-，Q（x0，y0）（x0y0≠0）為橢圓D上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線y-y0=k2（x-x0）交l1于點(diǎn)E，l1交橢圓于點(diǎn)A。l1上點(diǎn)D滿足x2A=xExD，則QD是橢圓的切線。

通過以上例題可以充分發(fā)現(xiàn)圓錐曲線知識(shí)的重要性，這就需要教師在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中，要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，充分采取科學(xué)合理的措施，以此來提升學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，讓學(xué)生對(duì)圓錐曲線知識(shí)有一個(gè)深入的了解，同時(shí)也能夠與其他知識(shí)相互聯(lián)系，應(yīng)用到解題中，充分培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力?？傊疚闹饕槍?duì)圓錐曲線切線性質(zhì)的定義、概念以及前人的研究成果等進(jìn)行分析，并且以此為基礎(chǔ)對(duì)高中生在圓錐雙曲線的性質(zhì)學(xué)習(xí)、掌握與運(yùn)用中遇到的問題，提出合理的解決舉措，以此為高中數(shù)學(xué)老師與學(xué)生提供合理的意見與建議，從而使高中生在高考中獲得成功。

參考文獻(xiàn)：

廖永明.由一道2013年高考題引出的圓錐曲線的一個(gè)性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014（1）.

編輯 薛直艷