黃土微結(jié)構(gòu)的譜系聚類分析

王杏杏，潘　林，高凌霞，夏錦紅，李順群

1)天津城建大學(xué)土木工程學(xué)院, 天津 300384；2)新鄉(xiāng)學(xué)院土木工程與建筑學(xué)院, 河南新鄉(xiāng) 453003；3)大連民族大學(xué)土木建筑工程學(xué)院, 遼寧大連 116600

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黃土微結(jié)構(gòu)的譜系聚類分析

王杏杏1，潘林2，高凌霞3，夏錦紅2，李順群1

1)天津城建大學(xué)土木工程學(xué)院, 天津 300384；2)新鄉(xiāng)學(xué)院土木工程與建筑學(xué)院, 河南新鄉(xiāng) 453003；3)大連民族大學(xué)土木建筑工程學(xué)院, 遼寧大連 116600

摘要：為表述黃土濕陷前后的微結(jié)構(gòu)特征，引入譜系聚類分析法，對(duì)采集的21張黃土掃描電鏡圖像的微結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行研究.根據(jù)聚類原理，定義了最長(zhǎng)距離法、最短距離法以及Ward法的類間距離，給出了參數(shù)間具體的聚類過程.研究表明，對(duì)黃土濕陷前后微結(jié)構(gòu)進(jìn)行評(píng)估時(shí)，最長(zhǎng)距離法和Ward法具有較好的穩(wěn)定性和可重復(fù)性，最短距離法無(wú)法客觀評(píng)價(jià)其特征.采用的譜系聚類法，可以綜合評(píng)估域內(nèi)顆粒體幾何屬性方面的差別.

關(guān)鍵詞：巖土工程；譜系聚類分析；類間距離；黃土；微結(jié)構(gòu)；濕陷；幾何屬性

從工程角度出發(fā)，研究土的微結(jié)構(gòu)是為了解釋某些工程力學(xué)現(xiàn)象，以及建立與宏觀特性的定量聯(lián)系[1].在利用微結(jié)構(gòu)解釋工程力學(xué)現(xiàn)象方面國(guó)內(nèi)外已有了許多成果[2-4].李蘭[5]利用掃描電鏡(scanning electron microscope，SEM)技術(shù)研究黃土微結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)了黃土液化與黃土微結(jié)構(gòu)間的內(nèi)在聯(lián)系.高國(guó)瑞[6]闡述了黃土濕陷性的本質(zhì)和失陷變形的機(jī)制.宋章等[7]對(duì)黃土微結(jié)構(gòu)做了研究，同時(shí)分析了對(duì)黃土濕陷性狀的影響.孫強(qiáng)等[8]討論了濕陷性黃土的特征和微結(jié)構(gòu)失穩(wěn)之間的關(guān)系. Hu等[9]研究了強(qiáng)夯黃土的力學(xué)性能和微觀結(jié)構(gòu)變化.谷天峰等[10]利用技術(shù)處理后的掃描電鏡圖像，研究動(dòng)力作用對(duì)Q3黃土微結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響.在微結(jié)構(gòu)和宏觀特性間建立定量聯(lián)系方面，近幾年來(lái)展開了一些研究[11-13].田堪良等[14]為了黃土結(jié)構(gòu)性的定量描述，提出了一系列結(jié)構(gòu)性參數(shù).王蘭民等[15]結(jié)合掃描電鏡的相關(guān)數(shù)據(jù)，定量化分析了黃土的震陷性.這些研究揭示了黃土的濕陷性與其微結(jié)構(gòu)間的密切聯(lián)系.但是，由于研究微結(jié)構(gòu)的方法眾多，各方法得到的微結(jié)構(gòu)參數(shù)量大，參數(shù)攜帶的信息也多有重復(fù).以致利用微結(jié)構(gòu)參數(shù)描述黃土的宏觀特性(如濕陷性、結(jié)構(gòu)性等)時(shí)存在局限性.

統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用譜系聚類分析法將樣品按照親疏程度的不同進(jìn)行分類[16].為了利用較少的微結(jié)構(gòu)參數(shù)直觀表述黃土濕陷前后微結(jié)構(gòu)特征，避免信息重復(fù).本研究引入譜系聚類分析法對(duì)采集的微結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行研究.

1SEM圖像微結(jié)構(gòu)參數(shù)的提取

黃土樣品取自陜西省西安市灞橋鎮(zhèn)灞河北岸，電鏡掃描下的黃土骨架顆粒結(jié)構(gòu)多為支架結(jié)構(gòu)和鑲嵌結(jié)構(gòu)，顆粒體間的連接方式多為焊接連接，如圖1.

圖1　黃土骨架的顆粒結(jié)構(gòu)及連接方式(2 000×)Fig.1　(Color online) Structure and connection of the loess skeleton particles(2 000×)

Leica QWin圖像處理系統(tǒng)可以提取域(field)微結(jié)構(gòu)參數(shù)和特征(feature)微結(jié)構(gòu)參數(shù).前者提取的是整個(gè)分析域的微結(jié)構(gòu)參數(shù)，而后者提取的是每個(gè)顆粒單元的微結(jié)構(gòu)參數(shù).本研究在Leica QWin圖像處理系統(tǒng)提取的域微結(jié)構(gòu)參數(shù)的基礎(chǔ)上，給出21張黃土SEM照片有關(guān)數(shù)據(jù)的譜系聚類分析.提取的域微結(jié)構(gòu)參數(shù)反映的為整個(gè)分析域，共有12個(gè)，包含9個(gè)原始參數(shù)和3個(gè)導(dǎo)出參數(shù).本研究主要研究9個(gè)原始參數(shù).提取所有照片同一分析域的信息，使所得數(shù)據(jù)具有一般性和可比性．分析域具體大小和位置如圖2.圖2中截取的分析域?yàn)?00 μm×600 μm的矩形，其中， pi表示第i個(gè)顆粒體； εi表示垂直長(zhǎng)度； νi表示水平長(zhǎng)度.長(zhǎng)度單位為像素，1 μm=20像素.

圖2　分析域及參數(shù)定義Fig.2　(Color online) Analysis field and parameter definition

每個(gè)顆粒體提取的9個(gè)原始參數(shù)，組成1個(gè)9維向量，9維向量中每個(gè)元素指代的含義如下.水平截距為x1， 表示顆粒體水平投影長(zhǎng)度之和；垂直截距為x2， 表示顆粒體垂直投影長(zhǎng)度之和；顆粒體的周長(zhǎng)之和為x3； 顆?？倲?shù)為x4； 總孔隙面積百分比為x5； 各向異性系數(shù)為x6； 填充比為x7； 平均弦為x8； 256灰度自適應(yīng)閾值為x9[17].

2類間距離

聚類的目的是將數(shù)據(jù)歸類，減少研究對(duì)象數(shù)目并方便獲取對(duì)象的相關(guān)關(guān)系.目前，已有學(xué)者將聚類分析方法引入土體研究[18-19].蔡國(guó)軍等[20]證明在劃分土類時(shí)，結(jié)合聚類分析原理，能更可靠有效地劃分地質(zhì)土層.本研究引入統(tǒng)計(jì)學(xué)中譜系聚類分析法的最長(zhǎng)距離法、最短距離法和Ward法，定義了3種方法的類間距離及其遞推公式.

本研究的每個(gè)顆粒體都是1個(gè)9維向量，且這9個(gè)原始參數(shù)物理意義和量綱各不相同.為了比較數(shù)據(jù)間的差別，在系統(tǒng)聚類前，需將每一參數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化.此次譜系聚類分析對(duì)象可看作9維空間中的21個(gè)樣品點(diǎn)，故標(biāo)準(zhǔn)化后所得的參數(shù)矩陣應(yīng)為9×21矩陣，即

a=(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9)T

(1)

標(biāo)準(zhǔn)化過程舉例說(shuō)明.每個(gè)樣品點(diǎn)對(duì)應(yīng)1個(gè)9維的列向量(即每個(gè)樣品點(diǎn)觀察9個(gè)指標(biāo))，假設(shè)4個(gè)樣品點(diǎn)數(shù)據(jù)為

n*1=(1,2,3,4,5,6,7,8,9)T

(2)

n*2=(0.8,2.1,3.2,4.2,4.8,6.1,7.2,

8.0,9.3)T

(3)

n*3=(1.2,2.2,2.8,4.2,5.3,6.2,6.9,

8.4,8.9)T

(4)

n*4=(1.4,2.2,2.7,3.9,5.0,6.5,7.0,

8.2,9.4)T

(5)

可得9×4矩陣，按照以下關(guān)系

i=1,2,…,n; j=1,2,…,p

(6)

(7)

(8)

n1=(-0.39,-0.78,0.34,-0.50,-0.12,

-0.93,-0.20,-0.78,-0.63)T

(9)

n2=(-1.16,0.26,1.24,0.83,-1.09,

-0.46,1.39,-0.78,0.63)T

(10)

n3=(0.39,-0.78,-0.56,0.83,1.33,

0,-0.99,1.30,-1.05)T

(11)

n4=(1.16,1.30,-1.02,-1.16,-0.12,

1.39,0.20,0.26,1.05)T

(12)

基于歐氏距離，定義元素ai與aj之間的距離為lij=d(ai, aj)， 即

(13)

計(jì)算4個(gè)樣品點(diǎn) n1、 n2、 n3和 n4相互間的距離如表1，組成距離矩陣N(0).

表1　樣品兩兩之間的距離

2.1類間距離定義

系統(tǒng)聚類方法有很多，選用不同的方法對(duì)應(yīng)不同的距離，現(xiàn)定義最長(zhǎng)距離法、最短距離法以及Ward法的類間距離．

1)最長(zhǎng)距離法

(14)

2)最短距離法

(15)

3)Ward法中的類間距離

(16)

4)類的直徑

(17)

2.2類間距離的遞推

已知類Gp與類Gk之間的距離為Dpk， 類Gq與類Gk之間的距離為Dqk， 則類Gp和Gq合并為新類Gr后，與類Gk間的距離Drk為

1)最長(zhǎng)距離

Drk=max{Dpk,Dqk}

(18)

2)最短距離

Drk=min{Dpk,Dqk}

(19)

3)Ward法中的類間距離

(20)

4)直徑

(21)

3黃土微結(jié)構(gòu)參數(shù)的譜系聚類方法

3.1聚類的一般原則

研究選用最長(zhǎng)距離法、最短距離法和Ward法，對(duì)300 kPa壓力作用下黃土濕陷前后的微結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行評(píng)估，具體步驟如下.

1)本次譜系聚類分析針對(duì)21個(gè)樣品，初始時(shí)將每一個(gè)樣品的微結(jié)構(gòu)特征當(dāng)作獨(dú)立的一個(gè)類，即共有21個(gè)類.利用式(13)，計(jì)算21個(gè)類相互間的距離，得到一個(gè)21×21的距離方陣，為

(22)

2)從21階方陣D(0)中選擇最小非零距離，將其對(duì)應(yīng)的類Gp和Gq合并為一個(gè)新類Gr， 同時(shí)用新類Gr替換D(0)中的類Gp和Gq， 新類與剩下的類之間的距離組成新的行列，從而得到一個(gè)新的20階方陣D(1).

3)從D(1)出發(fā)，按照所選用的系統(tǒng)聚類方法，結(jié)合步驟2)，將20階方陣更新為19階距離方陣D(2). 按照上述方法遞推，當(dāng)所有的類全部聚為一類時(shí)，聚類結(jié)束.

4)由具體聚類情況，按順序?yàn)楹喜⒌念惥幪?hào)，最后繪制聚類譜系圖.

基于上述4個(gè)樣品n1、 n2、 n3和n4的數(shù)據(jù)，描述最長(zhǎng)距離法、最短距離法和Ward法的聚類過程.

3.2最長(zhǎng)距離法

將 n1、 n2、 n3和 n4每個(gè)樣品當(dāng)作獨(dú)立的一類，由表1可知所有距離中l(wèi)12=4.77最小.由于 n1和 n2距離最短，將其合并為新類，按順序定為第5類.

按式(14)和(18)計(jì)算類5與當(dāng)前類的距離

d53=max{d13,d23}=max{5.64,12.8}=12.8

d54=max{d14,d24}=

max{9.23,11.28}=11.28

得到新距離矩陣為

(23)

繼續(xù)合并距離最短的兩類n3和n4為新類，定為第6類，計(jì)算新類與當(dāng)前類的距離

d65=max{d35,d45}=max{12.8,11.28}=12.8

此時(shí)所有元素已聚為一個(gè)大類，聚類結(jié)束.

3.3最短距離法

與最長(zhǎng)距離法類似，將距離最短的兩類，即 n1和 n2， 合并為新類，按順序定為第5類.按式(15)和(19)計(jì)算新類5與當(dāng)前類的距離，如

d53=min{d13,d23}=min{5.64,12.8}=5.64

d54=min{d14,d24}=min{9.23,11.28}=9.23

得到新距離矩陣為

(24)

繼續(xù)合并距離最近的兩類為新類.因d35=5.64最小，合并為新類第6類，其與當(dāng)前類的距離如下

d65=min{d35,d45}=min{5.64,9.23}=5.64

此時(shí)所有元素已聚為一個(gè)大類，聚類結(jié)束.

3.4Ward最小方差法

(25)

得到新距離矩陣

(26)

此時(shí)所有元素已聚為一個(gè)大類，聚類結(jié)束.

4聚類結(jié)果

對(duì)黃土微結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，選取不同的譜系聚類方法，得到的聚類結(jié)果不同.本研究選取3種譜系聚類方法分析黃土微結(jié)構(gòu)參數(shù).

4.1最長(zhǎng)距離法的聚類結(jié)果

采用最長(zhǎng)距離法對(duì)21個(gè)樣品微結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，具體步驟類比4個(gè)樣品示例.首先利用式(13)，計(jì)算21個(gè)類相互間的距離，得到一個(gè)21×21的距離方陣D(0). 從D(0)中可以發(fā)現(xiàn)類B6和B7對(duì)應(yīng)的距離最短，將它們聚為新類，命名為CL20.此時(shí)原有的21階方陣D(0)更新為20階方陣D(1). 從D(1)中觀察到類B8和B9對(duì)應(yīng)距離最短，聚為新類，命名為CL19.聚類完成后方陣D(1)更新為19階方陣D(2).

比較D(2)中的元素，發(fā)現(xiàn)類CL19和B10間的最長(zhǎng)距離最小，將其聚為新類，命名為CL18.聚類完成后方陣D(2)更新為18階方陣D(3). 觀察D(3)， 發(fā)現(xiàn)類B4和B5對(duì)應(yīng)最長(zhǎng)距離最小，聚為新類，命名為CL17.按照此種方法類推，直到所有的類全部聚為一類為止.聚類完成后，根據(jù)具體的聚類情況，繪制聚類譜系圖，如圖3.

圖3　最長(zhǎng)距離法的譜系聚類結(jié)果Fig.3　Pedigree clustering results of the longest distance method

圖3所示的聚類結(jié)果中，A1至A10表示的是黃土濕陷前的樣品微結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以聚為一類(CL2)；B1至B11為黃土濕陷后的樣品微結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以聚為一類(CL3).從圖3可發(fā)現(xiàn)黃土濕陷前后的微結(jié)構(gòu)特征聚類效果明顯.也就是說(shuō)，基于最長(zhǎng)距離法的譜系聚類分析可以反映濕陷這一特征，該類間距離可以作為合成微結(jié)構(gòu)參數(shù)評(píng)價(jià)黃土濕陷性.為使圖形清晰，圖中略去任意兩類間的最長(zhǎng)距離，僅給出SAB表示濕陷前后兩大類間的最長(zhǎng)距離.

4.2最短距離法的聚類結(jié)果

結(jié)合4個(gè)樣品的示例以及類比最長(zhǎng)距離的聚類過程，利用最短距離法分析21個(gè)樣品的微結(jié)構(gòu)參數(shù)，聚類譜系圖如圖4.

觀察圖4，發(fā)現(xiàn)聚類結(jié)果沒有規(guī)律，濕陷前的樣品微結(jié)構(gòu)參數(shù)和濕陷后的樣品微結(jié)構(gòu)參數(shù)不能各聚為一類，聚類結(jié)果與實(shí)際差距較大.主要原因是土顆粒體微結(jié)構(gòu)間以及不同類間的距離無(wú)法依據(jù)最短距離來(lái)評(píng)價(jià).因此最短距離法無(wú)法客觀評(píng)估黃土濕陷前后的微結(jié)構(gòu)特征.

圖4　最短距離法的譜系聚類結(jié)果Fig.4　Pedigree clustering results of the shortest distance method

4.3Ward最小方差法的聚類結(jié)果

結(jié)合4個(gè)樣品示例，利用Ward法分析微結(jié)構(gòu)參數(shù)，A1至A10具體聚類結(jié)果如圖5.其中，自然地聚為一類，B1至B11也聚為一類.因此說(shuō)明，基于該距離的譜系聚類法能很好地評(píng)估黃土濕陷前后的微結(jié)構(gòu)特征，并進(jìn)行合理分類，該類間距離可作為合成微結(jié)構(gòu)參數(shù)評(píng)價(jià)黃土濕陷性.比較圖3和圖5的聚類結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其利用Ward法與最長(zhǎng)距離法得到的聚類過程和結(jié)果基本一致.但是Ward法得到的聚類結(jié)果中各小類之間的距離與最終兩大類之間的距離相差較多.

圖5　Ward法的譜系聚類結(jié)果Fig.5　Pedigree clustering results of the square method

結(jié)語(yǔ)

本研究利用譜系聚類分析法表述黃土微結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)聚類原理，定義了最長(zhǎng)距離法、最短距離法以及Ward法的類間距離，并給出了參數(shù)的聚類過程.由聚類結(jié)果可得：基于最長(zhǎng)距離法和Ward法的聚類方法具有較好的穩(wěn)定性和可重復(fù)性，而最短距離法無(wú)法客觀評(píng)價(jià)微結(jié)構(gòu)特征.本研究給出的譜系聚類法，可以用于綜合評(píng)估域內(nèi)顆粒體在幾何屬性方面的差別.

引文：王杏杏，潘林，高凌霞，等．黃土微結(jié)構(gòu)的譜系聚類分析[J]. 深圳大學(xué)學(xué)報(bào)理工版，2016，33(4)：394-400.

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【中文責(zé)編：坪梓；英文責(zé)編：之聿】

中圖分類號(hào)：TU 411.92

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3724/SP.J.1249.2016.04394

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51178290，41472253)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(201502040402)

作者簡(jiǎn)介：王杏杏(1992—)，女，天津城建大學(xué)碩士研究生.研究方向：土的本構(gòu)關(guān)系.E-mail：964479377@qq.com

Pedigree clustering analysis of the microstructure of loess

Wang Xingxing1, Pan Lin2, Gao Lingxia3, Xia Jinhong2, and Li Shunqun1?

1) School of Civil Engineering, Tianjin Chengjian University, Tianjin 300384, P.R.China 2) School of Civil Engineering and Architecture, Xinxiang University, Xinxiang 453003,Henan Province, P.R.China 3) School of Civil and Architecture Engineering, Dalian Nationalities University,Dalian 116600, Liaoning Province, P.R.China

Abstract：In order to visually describe the microstructure characteristics of loess wet depression, the microstructure parameters of the twenty-one SEM images of loess were studied by clustering analysis method. According to the clustering principle, the three types of inter-class distance in the longest distance method, the shortest distance method and the Ward method were defined respectively, and the specific clustering process was given. The research shows that, when the microstructure characteristics of loess wet depression were evaluated, the longest distance method and the Ward method have good stability and repeatability, but the shortest distance method cannot objectively evaluate its characteristics. The pedigree clustering method can be used to evaluate the difference of the geometrical properties of the particles in the region.

Key words：geotechnical engineering; pedigree clustering analysis; inter-class distance; loess; microstructure; collapsible; geometric properties

Received：2015-12-02；Accepted：2016-05-27

Foundation：National Natural Science Foundation of China (51178290, 41472253); Fundamental Research Funds for the Central Universities (201502040402)

? Corresponding author：Professor Li Shunqun. E-mail: lishunqun@yeah.net

Citation：Wang Xingxing, Pan Lin, Gao Lingxia, et al. Pedigree clustering analysis of the microstructure of loess[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2016, 33(4): 394-400.(in Chinese)

【土木建筑工程 / Architecture and Civil Engineering】