基于半?yún)?shù)Copula的金融資產(chǎn)組合風(fēng)險VaR測度

高　藝，王　璐，2

(1.西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610031； 2.西南交通大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，四川 成都 610031)

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基于半?yún)?shù)Copula的金融資產(chǎn)組合風(fēng)險VaR測度

高藝1，王璐1，2

(1.西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610031； 2.西南交通大學(xué) 經(jīng)濟管理學(xué)院，四川 成都 610031)

摘要：準(zhǔn)確測度風(fēng)險值VaR對投資組合選擇及金融風(fēng)險控制等提供了重要參考標(biāo)準(zhǔn)。Copula函數(shù)廣泛用于VaR的計算，但在邊緣分布建模參數(shù)、非參數(shù)及半?yún)?shù)方法的使用中存在較強的主觀性。為此，提出了一種混合參數(shù)和非參數(shù)的金融資產(chǎn)邊緣分布的半?yún)?shù)Copula建模方法，能將邊緣分布的參數(shù)、非參數(shù)及半?yún)?shù)方法有機結(jié)合起來，并利用分布函數(shù)誤差平方和最小準(zhǔn)則來選擇最優(yōu)的資產(chǎn)分布模型。通過實證分析將其應(yīng)用于資產(chǎn)投資組合的VaR計算中，并通過穩(wěn)健性檢驗等方法進一步驗證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：半?yún)?shù)；Copula；投資組合風(fēng)險；VaR

在金融風(fēng)險管理中，在險價值VaR(value at risk)已被廣泛用于資產(chǎn)選擇、風(fēng)險控制和業(yè)績評估等實務(wù)領(lǐng)域。但要合理應(yīng)用該指標(biāo)，其前提是準(zhǔn)確測度金融資產(chǎn)的VaR值。歷史模擬法、方差-協(xié)方差法和蒙特卡羅模擬法等作為VaR估計的傳統(tǒng)方法[1]，目前已得到了廣泛的應(yīng)用和研究?，F(xiàn)代金融研究表明，金融資產(chǎn)收益率具有尖峰厚尾特征，正態(tài)分布會低估資產(chǎn)的實際損失程度[2]；傳統(tǒng)的VaR計算中對金融資產(chǎn)線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)也不符合資產(chǎn)之間非線性、非對稱的真實相關(guān)結(jié)構(gòu)[3]。

目前Copula函數(shù)作為一種新的計算工具已廣泛用于VaR的計算。在Copula建模中，金融資產(chǎn)的邊緣分布建模多采用GARCH模型來描述收益率序列的自相關(guān)、異方差及非對稱等現(xiàn)象。從現(xiàn)有研究成果來看，參數(shù)方法、非參數(shù)方法及半?yún)?shù)方法等都有廣泛的應(yīng)用。參數(shù)方法是指引入正態(tài)分布、t分布等參數(shù)分布描述殘差分布；非參數(shù)方法利用核密度函數(shù)或經(jīng)驗分布函數(shù)來描述標(biāo)準(zhǔn)化殘差分布；半?yún)?shù)方法則結(jié)合上述兩種方法的特點。表1列出了部分文獻的相關(guān)研究方法。

從表1可知，不同文獻對收益率的邊緣分布設(shè)定類型均不相同。不同的研究目的會導(dǎo)致所選取分布類型的差異性，但是從計量建模的角度看，

表1　邊緣殘差分布研究分類

應(yīng)選擇最能反映金融資產(chǎn)分布特征的邊緣分布。若選擇的邊緣分布模型與實際資產(chǎn)分布特征有較大差異會給后續(xù)的Copula模型選擇、參數(shù)估計及VaR計算等帶來更大的誤差。此外，半?yún)?shù)方法中還存在兩點不足：①閾值的選取是主觀設(shè)定，缺乏客觀性；②考慮厚尾分布局限于GPD，未考慮尾部的非對稱性及其他類型的厚尾分布。

基于此，筆者提出了一種混合參數(shù)和非參數(shù)的金融資產(chǎn)邊緣分布的半?yún)?shù)Copula建模方法。該方法能將邊緣分布的參數(shù)、非參數(shù)及半?yún)?shù)方法有機結(jié)合起來，并利用分布函數(shù)誤差平方和最小準(zhǔn)則及AIC準(zhǔn)則等來選擇最優(yōu)的資產(chǎn)分布模型，同時克服半?yún)?shù)方法的兩點不足。通過實證分析將其應(yīng)用于資產(chǎn)投資組合的VaR計算中，并通過穩(wěn)健性檢驗等方法進一步說明筆者所提出方法的有效性。

1多維金融資產(chǎn)的半?yún)?shù)Copula模型

1.1基本思想

(1)

式中：μkt為均值；σkt為波動項；Ct(·|·)為n元Copula函數(shù)；Fi(eit)(i=1,2,…,n)為GARCH模型中eit序列的分布函數(shù)值。

在估計Ct(·|·)時常采用IFM(inference functions for margins)法：首先估計邊緣分布Fi，得到Fi(eit)(i=1,2,…,n)的估計值；接著估計Copula函數(shù)的內(nèi)部參數(shù)。但在對標(biāo)準(zhǔn)化后的ekt序列進行估計時，目前沒有統(tǒng)一的建模思路，均可采用表1中的參數(shù)方法、非參數(shù)方法或半?yún)?shù)方法進行估計。

考慮到殘差ekt序列分布在尾部和肩部的特征不同，可以引入分段混合建模的方法：首先將ekt的分布劃分為左尾、肩部和右尾3個部分，接著在候選的參數(shù)和非參數(shù)分布模型中，按照分布函數(shù)擬合最優(yōu)原則選擇每個區(qū)間上的理想分布模型并估計其參數(shù)，同時計算Fi(eit)(i=1,2,…,n)的估計值。完成上述Copula的邊緣分布估計后，利用極大似然估計方法計算Copula的參數(shù)值。

1.2具體算法

(2)計算各個收益率序列的GARCH模型標(biāo)準(zhǔn)化殘差。

(2)

利用uR和uL可將殘差序列邊緣分布函數(shù)表示為：

(3)

(5)最優(yōu)分布選擇。在所有候選模型中，選擇最優(yōu)分布模型來表示在不同子區(qū)間上的邊緣殘差分布。筆者提出一種基于候選模型分布函數(shù)與經(jīng)驗分布函數(shù)誤差平方和最小化原則的選擇方法。以(uL,uR)為例，等間隔選取N個樣本點，記為(z1,z2,…，zN)。計算t分布等4類候選分布模型與殘差分布的經(jīng)驗分布函數(shù)在(z1,z2,…，zN)點處的誤差平方值：

(4)

(5)

根據(jù)誤差平方和越小擬合程度越高的原則，比較4類候選分布對應(yīng)的誤差平方和均值，均值最小值對應(yīng)的分布即為最優(yōu)擬合分布。

(6) Copula模型估計。計算得到Fi(εit)(i=1,2,…,n)后，再估計多維金融資產(chǎn)的Copula函數(shù)及參數(shù)。選擇Frank Copula、Clayton Copula、Gumbel Copula、t Copula和正態(tài)Copula等為候選類，利用極大似然方法估計上述Copula的參數(shù)；然后利用AIC和BIC準(zhǔn)則選擇最優(yōu)Copula模型。

2實證分析

2.1樣本數(shù)據(jù)

選取中房地產(chǎn)(X1)與中國國旅(X2)兩支代表性股票，時間從2008年7月14日至2014年5月16日，共計1 300個樣本點(數(shù)據(jù)來源：雅虎財經(jīng))。計算資產(chǎn)對數(shù)收益率，具體公式為Yt=100×ln(Pt/Pt-1)，Pt表示股票在t時刻的價格。

2.2標(biāo)準(zhǔn)化殘差

2.3邊緣分布的半?yún)?shù)模型

2.3.1閾值的估計

對邊緣分布估計前先要估計分布函數(shù)的上尾閾值和下尾閾值，將收益率標(biāo)準(zhǔn)化殘差分布分為3段，即上尾、下尾和中間部分。閾值估計按照具體算法中步驟(3)的峰值法，估計結(jié)果如表2所示。

表2　閾值估計結(jié)果

2.3.2候選分布的參數(shù)估計

由于收益率標(biāo)準(zhǔn)化殘差已分為3段，則在(-∞,uL)、(uL,uR)和(uR,+∞)子區(qū)間上分別用t分布、GPD分布、拉普拉斯分布及正態(tài)核密度函數(shù)來分別刻畫，并求出每一段數(shù)據(jù)對應(yīng)4種分布的參數(shù)，具體結(jié)果見表3～表6。其中，glow、gm和gup分別為(-∞,uL)、(uL,uR)和(uR,+∞)區(qū)間上的參數(shù)。

表3　t分布參數(shù)估計結(jié)果

表4　GPD分布參數(shù)估計結(jié)果

表5　拉普拉斯分布參數(shù)估計結(jié)果

表6　正態(tài)核密度參數(shù)估計結(jié)果

2.3.3最優(yōu)分布的選擇

為了獲得最優(yōu)邊緣分布函數(shù)模型，引入算法步驟(4)中提出的分布函數(shù)誤差平方和最小化作為選擇半?yún)?shù)模型的主要依據(jù)。利用式(4)與式(5)計算中房地產(chǎn)及中國國旅兩支收益率的殘差分布函數(shù)的誤差平方和，結(jié)果見表7。

表7　誤差平方和

由表7可知，在 (uR,+∞)中GPD分布對應(yīng)的誤差平方和最小，即上尾區(qū)間(uR,+∞)擬合度較好的是GPD分布。同理，(uL,uR)區(qū)間和(-∞,uL)區(qū)間的最優(yōu)分布模型為核密度函數(shù)及t分布。因此，最終確定了中房地產(chǎn)及中國國旅的邊緣分布建模均采用GPD、核密度及t分布的混合半?yún)?shù)模型。

2.3.4Copula函數(shù)的估計

確定邊緣分布后，接著估計Copula參數(shù)。利用極大似然方法估計Frank Copula等備選Copula參數(shù)，然后利用AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則進行擬合優(yōu)度檢驗。

表8所示為64種最優(yōu)Copula模型的參數(shù)估計結(jié)果，為了表示方便，表8中用“1”表示t分布，“2”表示GPD分布，“3”表示拉普拉斯分布，“4”表示核密度分布，例如(1,4,2)表示(uR,+∞)區(qū)間用t分布，(uL,uR)采用核密度分布及(-∞,uL)區(qū)間采用GPD分布?！白顑?yōu)函數(shù)”列出了在不同邊緣分布建模下，F(xiàn)rank等5類候選Copula函數(shù)中的最優(yōu)Copula。log(L)表示最優(yōu)Copula對應(yīng)的似然函數(shù)值，AIC和BIC表示最優(yōu)Copula的赤池信息準(zhǔn)則和貝葉斯信息準(zhǔn)則。

由表8可知，半?yún)?shù)模型7(2,4,1)選擇的Gumbel函數(shù)對應(yīng)的AIC和BIC值最小，說明在所有混合模型中，其邊緣分布模型擬合效果最好。同時該結(jié)果與利用分布函數(shù)誤差平方和方法選出的最優(yōu)邊緣分布的結(jié)果是一致的，進一步說明了該方法的有效性。

表8　64種最優(yōu)Copula模型的參數(shù)估計結(jié)果統(tǒng)計

注：由于篇幅限制，僅列出部分結(jié)果

根據(jù)表8結(jié)果，利用Gumbel Copula來描述中房地產(chǎn)及中國國旅投資組合的相關(guān)結(jié)構(gòu)，其Gumbel系數(shù)等于3.227，具體數(shù)學(xué)表達式見式(6)。

(6)

2.4投資組合的VaR計算

利用蒙特卡洛模擬法計算投資組合的風(fēng)險值VaR。其基本步驟為：①利用Gumbel Copula模型模擬產(chǎn)生投資組合的二維隨機樣本；②通過邊緣混合分布函數(shù)經(jīng)過逆概率變換為對數(shù)收益率X1和X2；③設(shè)定兩類資產(chǎn)的投資組合權(quán)重相等，將其代入資產(chǎn)組合收益率公式，可得到資產(chǎn)組合收益率的樣本值；④計算資產(chǎn)組合收益率樣本的分位數(shù)，即為一定置信度下的VaR值；⑤重復(fù)以上步驟1 000次，計算得到投資組合VaR值。

表9列出了邊緣分布分別選取最優(yōu)參數(shù)模型、最優(yōu)非參數(shù)模型及最優(yōu)半?yún)?shù)模型的VaR計算結(jié)果及穩(wěn)健性檢驗的失敗天數(shù)[21]。可以看出在95%置信水平下，中房地產(chǎn)的失敗天數(shù)要低于中國國旅的失敗天數(shù)，投資組合的失敗天數(shù)介于中房地產(chǎn)與中國國旅之間，說明了組合投資能有效降低風(fēng)險。在99%的置信水平下，中房地產(chǎn)和中國國旅的失敗天數(shù)是一致的，但其組合資產(chǎn)的失敗天數(shù)要低于單個資產(chǎn)的天數(shù),這也證實了投資組合能降低金融系統(tǒng)風(fēng)險，提高穩(wěn)健性。表9結(jié)果說明半?yún)?shù)模型要優(yōu)于非參數(shù)模型和參數(shù)模型，3種模型下的失敗天數(shù)中，組合資產(chǎn)的失敗天數(shù)要小于單個資產(chǎn)的失敗天數(shù),表明組合資產(chǎn)可以降低風(fēng)險。

表9　3種模型VaR值比較

3結(jié)論

筆者研究了基于半?yún)?shù)Copula理論的金融市場風(fēng)險VaR測度，在對金融資產(chǎn)收益率進行邊緣分布建模時，通過選取恰當(dāng)?shù)拈撝蛋呀鹑跁r間序列的標(biāo)準(zhǔn)殘差分布劃分為上尾區(qū)間、下尾區(qū)間和中間區(qū)間3個部分，對每一子區(qū)間分別采取3種常見的厚尾分布和非參數(shù)核密度函數(shù)刻畫其分布，最后利用分布函數(shù)誤差平方和最小的原則來選取每一子區(qū)間上的最優(yōu)擬合分布。新的邊緣分布建模方法將參數(shù)模型、半?yún)?shù)模型及非參數(shù)模型有機結(jié)合，推廣了表1中已有文獻半?yún)?shù)模型中只選取固定類型厚尾分布的局限性，同時閾值的選擇也更加有說服力。筆者所提出的半?yún)?shù)Copula模型不但可以應(yīng)用于股票數(shù)據(jù)，還可以應(yīng)用于債券、基金等多種組合風(fēng)險分析，具有一定的普適性和推廣性。

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GAO Yi:Postgraduate;School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031,China.

文章編號：2095-3852(2016)02-0192-05

文獻標(biāo)志碼:A

收稿日期：2015-10-15.

作者簡介：高藝(1990-)，女，陜西延安人，西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生.

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(71201131)；中國博士后科學(xué)基金項目(2014M562334)；成都市軟科學(xué)研究資金項目(2014-RK00-00024-ZF).

中圖分類號：F224

DOI：10.3963/j.issn.2095-3852.2016.02.012

The Measurement on VaR for Portfolio Risk Financial Assets Based on Semi-parametric Copula

GAOYi,WANGLu

Abstract：Accurately measuring VaR provides an important reference standard on portfolio selection and financial risk control.While Copula have been widely used in the calculation of VaR, however, there are still strong subjectivity in the marginal distribution modeling.This paper presents a semi-parametric Copula modeling method involving parametric and non-parametric financial assets distribution, which can combine the parameters, non-parametric and semi-parametric methods above,and the minimum distribution function square error criterion is used to choose the optimal distribution model.Finally, after an empirical study of asset portfolio VaR calculation,robustness tests verify the validity of the new method.

Key words：semi-parametric;copula;portfolio risk;VaR