Gamma算子在Orlicz空間L?Φ(0,∞)中加Jacobi權(quán)同時逼近的強(qiáng)逆不等式

韓領(lǐng)兄,吳嘎日迪

(1.內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,通遼028043;2.內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,呼和浩特010022)

Gamma算子在Orlicz空間L?Φ(0,∞)中加Jacobi權(quán)同時逼近的強(qiáng)逆不等式

韓領(lǐng)兄1,吳嘎日迪2

(1.內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,通遼028043;2.內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,呼和浩特010022)

討論由Young函數(shù)生成的Orlicz空間的性質(zhì), 并給出Orlicz空間具有Hardy-Littlewood性質(zhì)的充要條件,然后借助加Jacobi權(quán)修正的K-泛函和加Jacobi權(quán)連續(xù)模及其等價性建立Gamma算子在Orlicz空間中加權(quán)同時逼近的兩種強(qiáng)逆不等式.

Orlicz空間;Young函數(shù);Gamma算子;K-泛函

§1 引言及主要定理

近年來人們對Orlicz空間感興趣,因?yàn)長p空間提供的活動天地和度量標(biāo)準(zhǔn)只適合于處理線性的和充其量是多項(xiàng)式型的非線性問題.隨著越來越多的非線性問題的出現(xiàn)(見[1]),從Lp空間過渡到Orlicz空間已成為歷史的必然,這正是研究Orlicz空間的意義所在.下面介紹Orlicz空間(見[2]).

定義1.1設(shè)Φ(t)為定義在區(qū)間(0,∞)上的凸連續(xù)函數(shù),若Φ(t)滿足

則稱Φ(t)為Young函數(shù).

Young函數(shù)Φ(t)的互余Young函數(shù)記為Ψ(t).

由Young函數(shù)Φ(t)的凸性得到

定義1.2設(shè)Φ(t)為Young函數(shù).若存在常數(shù)t0＞0和C≥1,使得當(dāng)t≥t0時,有

則稱Young函數(shù)Φ(t)滿足?2-條件(記為Φ ∈ ?2).

推論1.1Φ∈?2當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的b＞1,存在兩個正數(shù)α,C,使得當(dāng)t≥t0時

定義1.3設(shè)Φ(t)為Young函數(shù).Orlicz類LΦ(0,∞)為使有限積分

存在的在區(qū)間(0,∞)上可測的函數(shù)u(x)的全體.Orlicz空間為賦予Luxemburg范數(shù)

的Orlicz類LΦ(0,∞)的線性包.有如下性質(zhì):

它與Luxemburg范數(shù)等價,即

設(shè)f(x)為(0,∞)上的可積函數(shù),Gamma算子Gn[3]的定義如下

應(yīng)用加權(quán)Ditizian-Totik模對正線性算子在Lp(1≤p≤∞)范數(shù)下的正定理和逆定理,已有廣泛的研究[3,5-7].為了對逼近性質(zhì)有更細(xì)致的刻劃,人們進(jìn)一步研究了各種形式的強(qiáng)逆不等式[4,8-13].Totik在文[13]中給出了L∞范數(shù)下的B-型強(qiáng)逆不等式的證明方法.Chen與Dizian[10]給出了Lp(1＜p≤∞)空間中Bernstein-Kantorovich多項(xiàng)式的B-型強(qiáng)逆不等式.有關(guān)A-型強(qiáng)逆不等式的證明方法和結(jié)果見文獻(xiàn)[7,9,11-12].

Gamma算子是一類重要的正線性算子,它廣泛應(yīng)用于概率論及計算數(shù)學(xué)中,對于Gamma算子的性質(zhì)及逼近定理已有深刻的研究[3,5-6].Adell[8]研究了非中心的Gamma算子在確界范數(shù)下的A-型強(qiáng)逆不等式.文[4]在Lp(1≤p≤∞)空間中證明了Gamma算子同時逼近的強(qiáng)逆不等式.在文[14]中得到關(guān)于Gamma算子在空間中同時逼近的如下強(qiáng)逆不等式:

定理A設(shè)f∈n＞1,Ψ∈?2,φ(x)=x,則存在常數(shù)K ＞1,當(dāng)l≥Kn時,有

其中C是與n 和x無關(guān)的正常數(shù).

本文中常數(shù)C在不同的地方取值也許不同.

定理1.1設(shè)wf(s)∈,s∈N,n＞s+1,a≥s?2,a+b≥s?2,Ψ ∈ ?2,則存在常數(shù)K＞1,當(dāng)l≥Kn時,有

其中φ(x)=x,w(x)=xa(1+x)b.

注1.1關(guān)于定理A和定理1.1中結(jié)果的意義,如l≥Kn,這是定理的條件,加這一條件的目的是出于證明過程的需要,逼近論中這類結(jié)果叫逆定理.

推論1.2在定理1.1的條件下,當(dāng)s＜α＜s+2,時有

定理1.2設(shè)wf∈n＞ 1,a≥ 0,a+b≥ ?2,Ψ ∈ ?2,則存在常數(shù)K ＞ 1,當(dāng)l≥ Kn時,有

其中φ(x)=x,w(x)=xa(1+x)b.

注1.2定理A是定理1.2當(dāng)w(x)=1時特殊情況.

§2 Orlicz空間(0,∞)的Hardy-Littlewood性質(zhì)

眾所周知,Hardy-Littlewood函數(shù)在逼近論中有非常重要作用.Lp(D)空間和由N函數(shù)M(u)生成的有限區(qū)間上的Orlicz空間具有Hardy-Littlewood性質(zhì).本節(jié)給出了Orlicz空間具有Hardy-Littlewood性質(zhì)的充要條件.

顯然,對于正遞減函數(shù)f(x)的Hardy-Littlewood函數(shù)θ(f,x)等價于函數(shù)

之間,因而HLP蘊(yùn)含HLP′且蘊(yùn)含HLP′′.

性質(zhì)2.1Orlicz空間的三個性質(zhì)HLP,HLP′和HLP′′等價且分別有

其中C為常數(shù).

證由[15]得到Orlicz空間是重排不變的.對于函數(shù)f∈設(shè)f?為函數(shù)|f|的遞減的重排,則Orlicz空間有性質(zhì)HLP′′時f?∈.從而由[16](420-421頁),當(dāng)x ＞ 0時,有

因此

假設(shè)Ψ不滿足?2條件,則由定義1.2,對任意C≥1和t0＞0,存在b≥t0,使得

對于任意的0＜u＜∞都有Ψ(u)有限的,所以必存在一列bk→∞,使得

由性質(zhì)2.1和性質(zhì)2.2直接推得下面的定理.

定理2.1設(shè)Ψ ∈ ?2,則存在常數(shù)C,使得

注2.1性質(zhì)2.1和2.2在Lp空間中有對應(yīng)結(jié)果,可見參考文獻(xiàn)[15].

§3 定理1.1的證明

成立,所以由(3.1)式,有

運(yùn)用定理2.1和引理3.1,得到

再由(3.6)式就能完成定理1.1的證明.

§4 定理1.2的證明

設(shè)權(quán)函數(shù)φ(x),x∈(0,∞)滿足以下條件(見[3]):

(1)局部φ～ 1,即對于每個子區(qū)間[a,b]?(0,∞),存在常數(shù)M ≡M(a,b)＞0,使得當(dāng)x∈[a,b]時,M?1≤ φ(x)≤ M.

(2)設(shè)β(0)和β(∞)為兩個常數(shù)且β(0)≥ 0,β(∞)≤ 1,滿足

(3)φ(x)在R上L可測且存在兩個常數(shù)M0和h0,使得對于0＜h≤h0和每個有限區(qū)間E?(0,∞)有,

常用的權(quán)函數(shù)φ有

Jacobi權(quán)函數(shù)w(x)=xa(1+x)b在(0,∞)上L可測且當(dāng)0 ≤ β(0)＜ 1時,設(shè)a ≥ 0.

加Jacobi權(quán)K-泛函定義為

其中w為Jacobi權(quán)函數(shù),φ為權(quán)函數(shù).

加Jacobi權(quán)連續(xù)模定義為:

當(dāng)a=0或β(0)≥ 1時,

當(dāng)a＞0且0≤ β(0)＜ 1時,

下面給出加Jacobi權(quán)連續(xù)模與加Jacobi權(quán)K-泛函的等價性定理:

定理4.1設(shè)則存在常數(shù)C和t0使得,當(dāng)0＜t≤t0時,有

注4.1定理4.1在Lp空間中也有相應(yīng)結(jié)果,可見參考文獻(xiàn)[3].

注4.2定理1[14]為定理4.1中w(x)=1時的特殊情形.

證第一種情況:當(dāng)β(0)≥1時,因此w(u)～ w(x),φ(u)～ φ(x).K-泛函上界估計的證明和定理1[14],當(dāng)β(0)≥ 1,β(∞)≤1時上界估計的證明方法相同;K-泛函下界估計的證明和定理1[14]的下界估計的證明方法相同.所以在此省略.

第二種情況:a=0,β(∞)可以不等于0.當(dāng)x＜1時由定理1[14]的方法可以證明;當(dāng)x＞1時,u同上,即w(u)～w(x),φ(u)～φ(x),這時由定理1[14]的方法可以證明.

第三種情況:a＞0且0≤β=β(0)＜1.這時把定理1[14]中的Gt(x)修改如下:把Gt,2(x)[14]和[14]分別替換為

與定理1[14]的證明方法類似,可以得到

參考文獻(xiàn):

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Strong converse inequality of Jacobi weighted simultaneous approximation for Gamma operators in Orlicz spaces L?Φ(0,∞)

HAN Ling-xiong1,WU Ga-ri-di2
(1.College of Mathematics,Inner Mongolia University for the Nationalities,Tongliao 028043,China;2.College of Mathematics Science,Inner Mongolia Normal University,Hohhot 010022,China)

The properties of Orlicz spacescorresponding to the Young function Φ(x)are discussed and the Hardy-Littlewood property of the Orlicz spacesis given.Then two kinds of strong converse inequalities of Jacobi weighted simultaneous approximation for Gamma operators are established by modi fi ed Jacobi weighted K-functional and Jacobi weighted modulus of smoothness in Orlicz spaces

Orlicz Space;Young function;Gamma operators;strong converse inequality

41A17;41A25

O174.41

A

:1000-4424(2016)03-0366-13

2015-06-30

2016-02-27

國家自然科學(xué)基金(11161033;11461052);內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學(xué)基金(2014MS0107);內(nèi)蒙古民族大學(xué)科學(xué)研究項(xiàng)目(NMDYB15087)