一類奇攝動半線性時滯拋物型偏微分方程的漸近解

包立平

(杭州電子科技大學理學院,浙江杭州310018)

一類奇攝動半線性時滯拋物型偏微分方程的漸近解

包立平

(杭州電子科技大學理學院,浙江杭州310018)

文中討論了一類奇攝動時滯拋物型偏微分方程的初邊值問題,得到了其形式漸近展開,證明了奇攝動半線性時滯偏微分方程的極大值原理,從而得到了最大值估計及相應的Schuader估計.在此基礎上,得到了柱狀區(qū)域上解的存在唯一性和漸近解的一致有效性.

奇攝動;半線性;時滯拋物型方程;漸近展開;Schuader估計;最大值原理;余項估計

§1 引 言

奇攝動時滯拋物型偏微分方程在各種學科的研究中得到了很大的應用.例如在種群動力學,傳染病學等方面有重要應用;在隨機微分方程的研究中也有重要價值.

近年來奇攝動時滯拋物型偏微分方程的研究得到了人們的重視,如A.R.Ansari,S.A.Bakr,G.I.Shishkin[1]研究了一類奇攝動時滯線性拋物型偏微分方程問題,得到了矩形域上的解的存在唯一性和一致有效漸近解.莫嘉琪[2]得到了小時滯的奇攝動拋物型偏微分方程的一致有效漸近解等.

本文研究如下一類奇攝動時滯拋物型偏微分方程的初邊值問題

這里?∈Rn是有界凸區(qū)域,QT=?×[0,T],1＜T≤2,P1=??×[0,T],而Pb=?×[?1,0].

上述問題包含了如Hutchinson[3]方程等來源于不同研究鄰域的多種問題,有重要的研究價值.

現(xiàn)在作如下假設:

[H1] 任取ξ∈

[H2]P1∈C2,

[H3] ψ(x,0)=?(x,0),x∈ ??.

用分步法對(1)-(3)進行分析.在[0,1]上(1)-(3)可改寫為:

設(4)-(6)的解為u1(x,t),則在[1,T]上(1)-(3)為:

§2 形式漸近展開式的構造

首先從(4)-(9)開始,構造(1)-(3)的形式漸近展開式.

設(4)-(6)的解為u1(x,t),而(7)-(9)的解為u2(x,t),則(1)-(3)的解為

將(11)代入(4)-(6),并比較同次冪系數(shù)可得:

其中H1m是由和ψ(x,t?1)決定的函數(shù).

由于f(x,t,y,z)∈C1,α,所以(13)-(14)的解存在唯一,(15)-(16)是線性方程,其解存在唯一.將(12)代入(7)-(9),并比較同次冪系數(shù)可得:

同理(17)-(20)的解存在唯一,所以構造了(11)-(12)的正則部分的解.

現(xiàn)在構造邊界層解,首先在??附近作局部坐標變換,設新坐標為(ρ,θ),x∈?為?內(nèi)在??附近的一點,ρ =dist(x,??). 則沿著法線方向從??上一點Q到x,θ=(θ1,θ2,···,θn?1)是Q在n?1維流形??上的非奇異坐標,則x的坐標為(ρ,θ).

在??的某鄰域內(nèi)(4)-(9)可以寫作:

可得:

同理可得:

引理1(22)-(33)的解存在唯一.

證先證(22)-(24)的解唯一.設(22)-(24)有兩個解v1和v2,令w=v1?v2,則

同理可證,(25)-(33)的解均存在唯一.

引理2(22)-(33)的解vn,wn,n=0,1,2,···,滿足這里k=所以由極大值原理可知,Z ≤ 0,即,同理可知,所以同理可證:顯然是正常數(shù). 令Z=則有

由于M1適當大,因此所以由極大值原理知,同理可證,

至此,構造了形式漸近解(11)和(12).

§3 解的存在唯一性

首先做(1)-(3)的解的最大值估計和Schuader估計.

定理1(極值原理) 若(H1)-(H3)的條件滿足,令

同理對于w(x0,t0)=infQ1Tw(x,t)≤0,可以證得w(x0,t0)=0,即在同樣方式可證QT上w(x,t)≡0,即(1)-(3)的解唯一.

§4 余項估計

這里H2(x,t,ε)由已知的和wm決定,因此是有界的,即|H2(x,t,ε)|≤M,用上述同樣方式可證得即形式漸近展開式(11)和(12)一致有效.

§5 結束語

文中對一類半線性拋物型時滯偏微分方程的奇攝動問題進行了分析.運用邊界層校正方法構造了形式漸近展開式,證明了奇攝動時滯半線性拋物型偏微分方程的極大值原理,從而得到了最大模估計和相應的Schuader估計,得到了在QT=?×[0,T]的柱狀區(qū)域上解的存在唯一性,其解是屬于的,得到了余項估計,因此證明了漸近解的一致有效性.

[1] Ausari A R,Bakr S A,Shishkin G I.A parameter-robust fi nite di ff erence method for Singularly perturbed delay parabolic partial di ff erential equations[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2007,205:552-566.

[2] 莫嘉琪,姚靜蓀.一類微分-差分反應擴散方程的漸近解[J].數(shù)學雜志,2011,311(1):133-137.

[3] Gourley S A.Travelling fronts in the di ff usive Nicholson’s blow fl ies equations with distributed delays[J].Mathematical and Computer Modelling,2000,32:843-853.

[4] Thandapani E,Savithri R.On Oscillation of a neutral partial functional di ff erential equations[J].Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica,2003,31(4):273-292.

[5] Pao Liu Chow.In fi nite-dimensional parabolic equations in Gauss-Sobolev spaces[J].Communications on Stochastic Analysis,2007,1(1):71-86.

[6] Xing Fuzou.Delay induced traveling wave fronts in reaction di ff usion equations of Kpp-Fisher type[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2002,146:309-321.

The asymptotic solution of a class of singular perturbed semi-linear delayed parabolic partial di ff erential equation

BAO Li-ping
(School of Science,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou 310018,China)

In this paper,a class of initial boundary problem of the singular perturbed semi-linear delayed parabolic partial di ff erential equation is discussed.The formal asymptotic expansion of the problem is obtained.The maximum principle of the singular perturbed delayed semi-linear parabolic partial di ff erential equations is proved.Then,the maximum-norm estimation and Schauder estimation for this problem are obtained.By the maximum-norm estimation and Schauder estimation for this problem,the existence and uniqueness of the solution of the problem on the columnar zone is proved,and the uniformly valid estimation of the asymptotic expansion is gained.

singular perturbation;semi-linear;delay parabolic di ff erential equation;asymptotic expansion;Schauder estimation;maximum-norm estimation;estimation of the remainder

35B25;35K57

O175.12

A

:1000-4424(2016)03-0307-09

2015-11-25

2016-01-25

國家自然科學基金(51175134)