具有無(wú)窮邊界值的二次非線性奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題的雙邊界層

韓建邦,沈啟霞

(鄭州科技學(xué)院基礎(chǔ)部,河南鄭州450064)

具有無(wú)窮邊界值的二次非線性奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題的雙邊界層

韓建邦,沈啟霞

(鄭州科技學(xué)院基礎(chǔ)部,河南鄭州450064)

研究了具有無(wú)窮邊界值的二次非線性奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題的雙邊界層,利用邊界層校正函數(shù),構(gòu)造其漸近解,并利用微分不等式理論,給出了一致有效漸近估計(jì).最后給出算例驗(yàn)證了相關(guān)結(jié)論的正確性.

無(wú)窮大邊界值:雙邊界層;邊界層校正;微分不等式

§1 引 言

關(guān)于帶Dirichlet、Robin等邊界條件的二階奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題的邊界層,內(nèi)層與角層現(xiàn)象等,利用微分不等式理論,Chang與Howes[1]已作了詳細(xì)總結(jié),Kevorkian及Cole[2]以幾類具體的擬線性奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題為例,指出了二階擬線性奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題解的漸近行為的復(fù)雜性.然而他們工作不涉及具有無(wú)窮邊界值條件的奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題.近年來(lái),具有無(wú)窮大邊界值的奇攝動(dòng)問(wèn)題引起了學(xué)者的興趣.倪明康[3]研究了擬線性方程組的無(wú)窮大初值問(wèn)題,并對(duì)該問(wèn)題的一致有效漸近解進(jìn)行構(gòu)造,對(duì)漸近解的余項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).莫嘉琪等[4-7]基于雙曲正、余切函數(shù),研究了幾類二階擬線性奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題的激波解,對(duì)激波出現(xiàn)的條件與位置進(jìn)行了討論．王愛(ài)峰與倪明康[8]研究了如下問(wèn)題:

通過(guò)變換,將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為吉洪諾夫系統(tǒng),利用邊界層函數(shù)法構(gòu)造了問(wèn)題形式漸近解,并利用逐次逼近法證明了解的存在唯一性,同時(shí)給出了漸近解的一致有效的估計(jì).胡永生等[9]研究了如下具有無(wú)窮大邊界值的半線性奇攝動(dòng)Robin問(wèn)題:

其中?為正的小參數(shù),h(t,y)為[a,b]×R上足夠光滑的函數(shù)，pi＞0(i=1,2),A,B均為常數(shù)，并分析上述問(wèn)題的雙邊界層行為.周哲彥等[10]研究了如下帶有無(wú)窮大邊界值的二階擬線性奇攝動(dòng)Robin問(wèn)題：

構(gòu)造了邊值問(wèn)題在左、右兩個(gè)端點(diǎn)領(lǐng)域的邊界層校正函數(shù),給出了問(wèn)題的解關(guān)于退化解的漸近估計(jì),而對(duì)于帶無(wú)窮邊界值的二次奇攝動(dòng)問(wèn)題的雙邊界層行為研究較少,如韓建邦等[11]考慮如下帶無(wú)窮邊界值的二次奇攝動(dòng)Robin問(wèn)題：

重點(diǎn)關(guān)注邊界值的奇異程度對(duì)解的邊界層行為的影響。基于此,主要針對(duì)如下具有無(wú)窮大邊界值的二階非線性奇攝動(dòng)Robin問(wèn)題：

其中?＞0為小參數(shù),p1,q1≥0,A,B都為常數(shù),y∈R為狀態(tài)變量,本文研究問(wèn)題(1)在兩區(qū)間端點(diǎn)處的雙邊界層行為,并給出了問(wèn)題的一致有效漸近估計(jì),最后給出算例驗(yàn)證了相關(guān)結(jié)論的正確性.

§2 主要結(jié)論

問(wèn)題(1)的退化方程如下：

假設(shè)其有某個(gè)解u=u(t)∈C2[0,1].

若在問(wèn)題(1)中,邊界值固定且滿足A＞0,B＞0,則對(duì)于充分小的?,總有

成立,此時(shí)定義區(qū)域:

其中d+(t)為正的連續(xù)函數(shù),滿足

若A＜0,B＜0,則對(duì)于充分小的?,總有

此時(shí)定義區(qū)域:

其中d?(t)為正的連續(xù)函數(shù),滿足

若A＞0,B＜0,則對(duì)于充分小的?,總有

此時(shí)定義區(qū)域:

其中d+(t),d?(t)為正的連續(xù)函數(shù),滿足

若A＜0,B＞0,則對(duì)于充分小的?,總有

此時(shí)定義區(qū)域:

其中d+(t),d?(t)為正的連續(xù)函數(shù),滿足

定義1令h(t,y)=f(t,y)u′2+g(t,y),稱u=u(t)在[0,1]為Iq穩(wěn)定的,如果存在常數(shù)m＞0,使得

定義2退化方程(2)的解u=u(t)在[0,1]中是局部強(qiáng)(弱)穩(wěn)定的,如果存在常數(shù)k＞0和小的常數(shù)σ ＞ 0,使得對(duì)于D(u)=D+(u)、D?(u)、D±(u)、D?(u),如果 ?p1u(0)? ?u′(0)/=A,那么在 D(u)∩[0,σ]中

如果?q1u(1)+ ?u′(1)/=B,那么在D(u)[1 ? σ,1]中

2.1 局部強(qiáng)穩(wěn)定情形

定理1假設(shè)問(wèn)題(2)具有局部強(qiáng)穩(wěn)定的解u=u(t)∈C2[0,1]滿足:存在某一正常數(shù)γ,使得

1)在D+(u)∩{[0,δ]∪[1? δ,1]}中f(t,y)≥ γ ＞ 0;

2)在D?(u)∩{[0,δ]∪[1? δ,1]}中f(t,y)≤ ?γ ＜ 0;

3)在D±(u)∩[0,δ]中f(t,y)≥ γ ＞ 0 和在D±(u)∩[1? δ,1]中f(t,y)≤ ?γ ＜ 0;

4)在D?(u)∩[0,δ]中f(t,y)≤ ?γ ＜ 0和在D?(u)∩[1? δ,1]中f(t,y)≥ γ ＞ 0.

那么,存在?0＞ 0,使得當(dāng) 0＜ ?≤ ?0時(shí),問(wèn)題(1)在[0,1]中有解 y=y(t,?)滿足

函數(shù)wR(t,?)滿足

同理可以驗(yàn)證,wR(t,?)是如下非線性邊值問(wèn)題的解:

當(dāng)?充分小時(shí),顯然α(t,?)≤ β(t,?)且

進(jìn)一步

所以問(wèn)題(1)在[0,1]中具有解y=y(t,?)滿足α(t,?)≤ y(t,?)≤ β(t,?).

2.2 局部弱穩(wěn)定情形

局部弱穩(wěn)定是比局部強(qiáng)穩(wěn)定弱的一種穩(wěn)定性條件,在局部弱穩(wěn)定條件之下,本文的方法無(wú)法直接處理奇攝動(dòng)問(wèn)題(1),必須降低邊界值的奇異程度.為此,在(1)中令?=μ2并考慮如下(邊界值奇異性更低)的奇異攝動(dòng)問(wèn)題:

定理2假設(shè)退化方程(2)具有局部弱穩(wěn)定且是 eq穩(wěn)定的解u=u(t)∈C2[0,1],

§3 算 例

當(dāng)μ→0時(shí),得

這與其退化方程(u′)2+u3=0一樣,從而反應(yīng)出當(dāng)μ→0時(shí),退化解趨近于精確解.

[1] 章國(guó)華,侯斯.非線性奇異攝動(dòng)現(xiàn)象理論和應(yīng)用[M].林宗池,譯.福州:福建科學(xué)技術(shù)出版,1989.

[2] Kevorkian J,Cole J D.Perturbation methods in appliedmathematics,2nd ed[M].New York:Springer-Verlag.1985.

[3] 倪明康.臨界情況下一類擬線性方程組的初值問(wèn)題[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2006(1):15-16.

[4] Mo Jiaqi,Wang Hui. Shock solution for quasilinearsingularly perturbed Robin problem[J]．Progress in Natural Science,2002,12(12):945-947.

[5] 莫嘉琪,王輝,林萬(wàn)濤.一類二階非線性方程的激波解[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,22(6):1109-1112.

[6] 莫嘉琪,林萬(wàn)濤.一類奇攝動(dòng)非線性方程的激波解[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2006,26(6):737-743.

[7] 莫嘉琪.一類擬線性方程Robin問(wèn)題的激波解[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2008,28A(5):818-822.

[8] 王愛(ài)峰,倪明康.一類擬線性奇攝動(dòng)方程的無(wú)窮大初值問(wèn)題[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2010,48(1):52-56.

[9] 胡永生,沈建和,周哲彥.一類帶非線性無(wú)窮大邊界值條件的二階半線性方程奇攝動(dòng)問(wèn)題[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,36(2):306-314.

[10]周哲彥,沈建和.具有無(wú)窮大邊界值的二階擬線性奇攝動(dòng)Robin問(wèn)題的雙邊界層[J].福建師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,27(4):7-13.

[11]韓建邦,沈建和,周哲彥.一類具有無(wú)窮邊界值的二次奇攝動(dòng)邊值問(wèn)題[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,28(2):180-188.

Double boundary layers of quadratic nonlinear singularly perturbed boundary value problem with in fi nite boundary values

HAN Jian-bang,SHEN Qi-xia
(Department of Basic Course,Zhengzhou University of Science and Technology,Zhengzhou 450064,China)

Double boundary layers of quadratic nonlinear singularly perturbed boundary value problem with in fi nite boundary values is studied.Using the boundary layer correction function,its asymptotic solution is constructed,and using the theory of di ff erential inequality,the uniformly valid asymptotic estimation is presented.Finally,an example is given to verify the validity of the relevant conclusions.

in fi nite boundary value;double boundary layers;boundary layer correction;di ff erential inequality

39A05;34B10

O175.14

A

:1000-4424(2016)03-0316-11

2016-01-07

2016-07-24

河南省科技廳基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃(132300410360)