對一道不適合六年級學(xué)生習(xí)題的思考

沈亞

[摘 要]通過對一道題的分析，提出質(zhì)疑，明晰教師應(yīng)對學(xué)生的練習(xí)進行思考，使練習(xí)適合學(xué)生的思維能力和知識基礎(chǔ)，讓學(xué)生得到更好的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]教材 正方體 思維 空間觀念 能力

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）20-024

2013年第10期《中小學(xué)數(shù)學(xué)》（小學(xué)版）刊登了童義清老師所寫的《教材能否再多編一題》一文，童老師在文章中說教學(xué)六年級總復(fù)習(xí)時遇到這樣一道填空題：“由幾個相同小正方體搭成的立體圖形，從正面看到的是，從左面看到的是，這個立體圖形至少是由 個小正方體組成的。”

童老師班上的大部分學(xué)生，也包括童老師，認(rèn)為是由6個小正方體（如圖1）組成的。課堂上，生1站起來反駁道：“我不同意，我認(rèn)為是由5個小正方體組成的?！逼渌麑W(xué)生聽后一頭霧水，生1操作（如圖2）后，其他學(xué)生才恍然大悟。童老師對此進行了深刻細(xì)致的剖析：“全班60多名學(xué)生幾乎沒有人想到這種方法，這或許跟我們教材編排的思路有關(guān)。通過對比北師大版教材、蘇教版教材以及人教版教材，發(fā)現(xiàn)這些教材中凡是涉及由小正方體搭成的立體圖形題，都是把小正方體有序緊密地進行排列，要么是直直的一行，要么是直直的一列，每個小正方體都至少有1個面和其他小正方體重合（如圖3），卻很少出現(xiàn)面不重合且只有棱重合（如圖4）的情況?！?/p>

因此，童老師認(rèn)為由于教材上很少出現(xiàn)這種情況——小正方體面不重合而棱重合，所以學(xué)生憑借從教材中獲得的知識和經(jīng)驗進行初步判斷時出現(xiàn)了偏差。

仔細(xì)拜讀之后，我很佩服童老師對各種不同版本教材細(xì)心解讀的精神，讓我深刻地感受到一線教師對教材的大膽質(zhì)疑與不同設(shè)想，但童老師文章中的一段文字引起了我的思考：“生1擺出的這個圖形不是很復(fù)雜，相反少了1個正方體（如圖2），顯得更加簡單?！边@里，我不禁問道：“如果更顯簡單，為何60多名學(xué)生（也包括童老師）幾乎都沒有想到這種方法？”當(dāng)然，童老師歸結(jié)的原因是跟教材編排的思路有關(guān)，而且進行了細(xì)致入微的闡述，但我并不認(rèn)可童老師由此得出教材需要再多編一題這樣的結(jié)論，因為將三視圖還原實物幾何體的時候，由三視圖（正面、上面、左面）可以準(zhǔn)確地確定實物圖的形狀。生1擺出的這個圖形看似并不復(fù)雜，但是回到題目原點就會發(fā)現(xiàn)：此題根據(jù)兩個方向（正面、左面）的視圖還原實物圖，對于空間觀念尚在建立階段的小學(xué)生而言是極不合理的。主要理由如下：

（1）很難確定這個實物圖需要小正方體的具體數(shù)量。

（2）還原這個立體圖形至少是由 個小正方體組成的，不僅要想象出可能的實物圖，而且要從中選出最少的個數(shù)。

（3）只根據(jù)兩個方向觀察的平面圖形，還原實物圖的可能性眾多，具有不唯一性。

（4）還原面不重合，只有棱重合，這一特例處于一般人思維的盲區(qū)：從正面看，至少需要5個小正方體；從左面看，右側(cè)至少還要添1個小正方體，所以自然而然地認(rèn)為至少要6個小正方體。

（5）我先生是搞建筑設(shè)計的，看到這樣的題目，送我一句話：“題目不完整，容易讓人產(chǎn)生歧義?！蓖瑫r，他明確地表示：“既然要還原實物圖，那么通常要提供必要的三視圖（正面、上面、左面），否則就很難準(zhǔn)確還原?！?img alt="" src="https://cimg.fx361.com/images/2021/08/03/qkimagesxisxxisx201607xisx20160711-2-l.jpg"/>

看他對這種題目不屑一顧的樣子，更激起了我的好奇心，商量著讓他還原出實物圖，開始他猶豫了一下，而后畫出結(jié)果（如圖5）。我笑后給出生1的方法，他搖搖頭又來了一句：“這種題目也太怪了?！边@不由得讓我想到一句笑話：“小學(xué)一年級的數(shù)學(xué)思考題難倒大學(xué)老教授?！?/p>

而后在我的再三請求下，他給我畫了兩幅由三視圖還原的實物圖，從中可以清楚地比較出由6個和5個小正方體搭成的圖形，我發(fā)現(xiàn)正視圖和側(cè)視圖是一樣的，只有俯視圖有明顯的區(qū)別（如圖6）。由此可見，要準(zhǔn)確還原實物圖的確需要由三視圖來支撐，否則真的有些強人所難了，更何況是對小學(xué)生而言。

細(xì)讀文章后，我認(rèn)為童老師在備課時應(yīng)該沒有考慮到這一題的難度，原文如下：“這道題是考查學(xué)生對空間幾何體三視圖與實物圖的相互轉(zhuǎn)化能力，由于是復(fù)習(xí)課，多數(shù)內(nèi)容比較簡單，所以課堂上我沒有準(zhǔn)備小正方體學(xué)具?！憋@然，童老師沒有用小正方體來引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、操作等活動，而是直接讓學(xué)生憑借已有的知識經(jīng)驗抽象、概括出結(jié)論。童老師很可能課前沒有將這題進行研究，才會在初步判斷時也認(rèn)為答案是6個小正方體。我根據(jù)自己多年的教學(xué)經(jīng)驗得出：讓學(xué)生練習(xí)的題目，教師必須試做，才能了解題目的深淺程度，預(yù)設(shè)學(xué)生可能出現(xiàn)的錯誤。不可否認(rèn)，就這題的難度而言，試做后有可能使學(xué)生的錯誤率降低，但并不能完全避免學(xué)生錯誤的發(fā)生。如果發(fā)現(xiàn)題目的難度過大，教師完全可以自行改編或者直接刪除。

童老師建議教材在編排例題或練習(xí)時，涉及小正方體還有可能出現(xiàn)面不重合而棱重合的情況，但童老師對這一題沒有注明出處，只是寫道：“教學(xué)六年級總復(fù)習(xí)時，我與學(xué)生遇到……”由此可以推測，此題很有可能是教輔用書上的，而并非出自正規(guī)教材?，F(xiàn)如今充斥市場的是各種各樣、名目繁多、盈利性強的教輔用書，那數(shù)量真是鋪天蓋地，質(zhì)量卻是良莠不齊。我個人認(rèn)為：“出這道題目的人極有可能運用正向思維，考慮的也是由6個小正方體搭成的圖形，只是沒考慮到解決問題的人可能運用逆向思維，即根據(jù)兩個方向（本題是正面、左面）觀察到的平面圖形還原實物圖，而且涉及面不重合但棱重合這一特例。基于此，確實沒有必要一一羅列所有的可能?！?/p>

我認(rèn)為，這種題目的出現(xiàn)只會增加小學(xué)生學(xué)習(xí)空間幾何體的難度，不利于他們空間觀念的培養(yǎng)?？臻g思維是一種復(fù)合思維，快速、高效是它的兩個顯著標(biāo)志。而且，此題的難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了小學(xué)生空間思維能力的極限，練習(xí)之后，反而會影響學(xué)生已經(jīng)建立的空間觀念，導(dǎo)致他們?nèi)菀缀鸵延械闹R儲備、個人經(jīng)驗產(chǎn)生混淆。另外，先不論這種練習(xí)是否會打擊學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，降低他們學(xué)好數(shù)學(xué)的熱情，如此的拔苗助長也是極其不可取的。而生1提出的方法，也從另一個側(cè)面說明此題的不合理。試想，如果沒有出現(xiàn)生1的方法，那么這道題的答案將毫無疑問是6個小正方體。如此不合理的題目才會引出錯誤的答案，追本溯源，又怎能將出現(xiàn)這種特殊情況的原因簡單地歸結(jié)為和教材編排有關(guān)？我認(rèn)為童老師思考錯了方向，糾錯了責(zé)任方。不過，如果童老師先考慮不同版本教材共同的編寫意圖，再認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，繼而調(diào)整思路，就會發(fā)現(xiàn)各種版本教材的編者沒有將這一特例引入教材的原因了。同時，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2013版）中明確指出：“空間觀念主要表現(xiàn)為能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化?！边@里清楚地說明此題超越了課程標(biāo)準(zhǔn)的范疇，從而失去了考查學(xué)生空間思維能力及知識掌握程度的價值，這樣的練習(xí)其效果適得其反。

文章的結(jié)尾處，童老師還提出這樣的建議：“試想，如果教材在編排例題或練習(xí)時，在保證基本要求能夠?qū)崿F(xiàn)的基礎(chǔ)上，適當(dāng)輻射小正方體還有可能出現(xiàn)其他的位置關(guān)系（如圖7），體現(xiàn)立體圖形與幾何圖形轉(zhuǎn)換情況的多樣性，就可以避免學(xué)生形成思維定式，更有利于適應(yīng)不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求?！贝竽懺O(shè)想一下，如果教材編者采納了童老師的建議，出現(xiàn)面不重合而棱重合的情況，那么類似這種的題目就可以堂而皇之地讓所有學(xué)生進行練習(xí)。那我們再回到此題，就會發(fā)現(xiàn)這道題并非只有生1出示的這一種擺法，還有多種情況（如圖9）。

請問：“這真的能更有利于適應(yīng)不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求嗎？能讓學(xué)生更好地發(fā)展空間觀念嗎？”我認(rèn)為此道題超出了教材的廣度，超越了課程標(biāo)準(zhǔn)的深度，超越了學(xué)生空間思維能力的極限。經(jīng)查閱資料后，我發(fā)現(xiàn)：通過小正方體組合圖形的三視圖，確定組合圖形中小正方體的個數(shù)，在中考或競賽中經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的題型?？梢?，這類習(xí)題在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上作為研究素材顯然是拔苗助長，根本不合時宜的，又怎能不讓學(xué)生生畏呢？我認(rèn)為，此道題只會增加學(xué)生學(xué)習(xí)空間幾何體的難度，不利于發(fā)展他們的空間觀念。對空間觀念尚在建立的學(xué)生來說，在這種問題上實在不必太過苛求；對于空間觀念本來就不強的學(xué)生來說，這種題目的練習(xí)無疑更是雪上加霜，也與我們現(xiàn)行教育所提倡“切實減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)”的理念背道而馳。但愿出題的人能夠把握教材的本意，而我們一線教師更要準(zhǔn)確地理解編者的意圖，精心選題，事先備題，才能讓更多的學(xué)生進行扎實有效的訓(xùn)練，從而切實提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)的思想是化繁為簡，所以我們不能在數(shù)學(xué)上化簡為繁。教師對教學(xué)內(nèi)容進行拓展、延伸應(yīng)遵循一定的規(guī)律，不能隨意地對教學(xué)內(nèi)容進行擴展，從而導(dǎo)致知識性的錯誤發(fā)生。由于上述這道題極具思考性，對于空間觀念特別強的學(xué)生而言，此題如果作為課外思維訓(xùn)練，讓這類學(xué)生練習(xí)一下未嘗不可。

以上純屬個人觀點，如有不妥，敬請指正。我很愿意拋磚引玉，與大家共同進步。

（責(zé)編 藍 天）