函數(shù)零點個數(shù)問題透析及解題策略

◇　山東　田　巍

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函數(shù)零點個數(shù)問題透析及解題策略

◇山東田巍

隨著高考改革的不斷推進,函數(shù)零點問題由以前的單一知識向著縱深發(fā)展;設(shè)計的題型既增加了思維量又加大了難度.現(xiàn)就將解決這類問題的方法及策略總結(jié)如下,供備考同學(xué)們參考使用．

1運用零點存在性定理

①a=-3,b=-3; ②a=-3,b=2;

③a=-3,b>2; ④a=0,b=2; ⑤a=1,b=2.

2運用數(shù)形結(jié)合思想

A(7/4,+∞);B(-∞,7/4);

C(0,7/4);D(7/4,2)

所以y=f(x)+f(2-x)=

y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b.

圖1

所以y=f(x)-g(x)恰有4個零點等價于方程f(x)+f(2-x)-b=0有4個不同解, 即函數(shù)y=b與y=f(x)+f(2-x)的圖象有4個公共點,如圖1，由圖象可知7/4

3運用等價轉(zhuǎn)化思想

綜上,a的取值范圍是(-∞,0)∪(1,+∞).

4運用分類討論思想

(1) 若a=1,則f(x)的最小值為________;

(2) 若f(x)恰有2個零點,則實數(shù)a的取值范圍是________.

若函數(shù)g(x)=2x-a與x軸無交點,則函數(shù)h(x)=4(x-a)(x-2a)與x軸有2個交點,當(dāng)a≤0時g(x)與x軸無交點,h(x)=4(x-a)(x-2a)在x≥1與x軸無交點,不合題意;當(dāng)g(1)=2-a≤0時,a≥2,h(x)與x軸有2個交點,x=a和x=2a,由于a≥2,兩交點橫坐標(biāo)均滿足x≥1.

總之,與函數(shù)零點有關(guān)的高考題目,一般通過零點存在性定理、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法解決.只要掌握這幾點,有關(guān)函數(shù)零點問題就會輕松解決．

(作者單位：山東省平度第一中學(xué))