基于模擬退火粒子群算法的飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)

黃　炯，艾劍良，萬(wàn)　婧

(復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433)

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基于模擬退火粒子群算法的飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)

黃炯，艾劍良，萬(wàn)婧

(復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433)

摘要：針對(duì)飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)中如極大似然法等常規(guī)方法存在收斂慢、對(duì)初值敏感或數(shù)學(xué)形式復(fù)雜等缺點(diǎn)，討論了模擬退火粒子群算法及其在氣動(dòng)參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用，該方法主要辨識(shí)策略是一次采集多次迭代，增強(qiáng)了粒子群算法的收斂性和全局性．對(duì)某飛機(jī)縱橫向氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)進(jìn)行了仿真研究，結(jié)果表明模擬退火粒子群算法對(duì)飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題行之有效，并且在擴(kuò)展搜索空間上，比基本粒子群算法和自適應(yīng)粒子群算法更有優(yōu)勢(shì)．

關(guān)鍵詞:飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)； 粒子群算法； 模擬退火粒子群算法

飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)的辨識(shí)在飛機(jī)的實(shí)時(shí)仿真模型建立中有重大意義，特別是在基于真實(shí)飛行試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立模型的過(guò)程中．通過(guò)辨識(shí)得到的飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)相比風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)和計(jì)算空氣動(dòng)力學(xué)得到的氣動(dòng)參數(shù)更有說(shuō)服力．經(jīng)辨識(shí)構(gòu)建的地面模型相對(duì)設(shè)計(jì)階段的工程模型更接近真實(shí)狀況，主要用來(lái)研究飛機(jī)的品質(zhì)和進(jìn)行后續(xù)改進(jìn)的仿真，還可以用來(lái)搭建飛行模擬器訓(xùn)練飛行員．所以飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)在研究及商業(yè)活動(dòng)中都起關(guān)鍵作用．幾十年來(lái)涌現(xiàn)出各種飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)的辨識(shí)方法，傳統(tǒng)方法有線性回歸、極大似然和頻域方法等[1]，但它們都有一定的局限，包括有穩(wěn)態(tài)誤差、對(duì)初值很敏感或數(shù)學(xué)形式復(fù)雜.文獻(xiàn)[2]對(duì)傳統(tǒng)辨識(shí)方法有系統(tǒng)性的論述，文獻(xiàn)[3]介紹了用極大似然法處理飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)的問(wèn)題．近年來(lái)隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，越來(lái)越多的群體智能算法在飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)領(lǐng)域中得以應(yīng)用，其中不少取得理想結(jié)果．文獻(xiàn)[4]使用了遺傳算法，文獻(xiàn)[5]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，文獻(xiàn)[6]使用動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)的粒子群算法(Particle Swarm Optimization, PSO)辨識(shí)氣動(dòng)力參數(shù).粒子群算法因其控制參數(shù)少，收斂快得到很大關(guān)注，但它也有自身的缺點(diǎn)，最常見(jiàn)的包括易陷入早熟，跳出局部最小值困難.模擬退火算法是一種優(yōu)化算法，其特點(diǎn)是只要參數(shù)設(shè)置合理，能在全局范圍內(nèi)搜索到最優(yōu)值.

本文利用模擬退火算法優(yōu)化的粒子群算法對(duì)飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，得到可靠的結(jié)果，并在搜索空間上對(duì)粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化．相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法，模擬退火粒子群有更好收斂性.相對(duì)自適應(yīng)粒子群算法，模擬退火粒子群算法在相對(duì)極小地犧牲收斂速度同時(shí)，大大增大了搜索空間.

1飛機(jī)模型建立和參數(shù)辨識(shí)策略

飛機(jī)仿真采用飛機(jī)6自由度模型，飛機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和空氣動(dòng)力學(xué)模型參考文獻(xiàn)[7]，飛機(jī)的氣動(dòng)數(shù)據(jù)來(lái)自某型大型客機(jī)的早期型號(hào)[8]，為四發(fā)渦輪風(fēng)扇噴氣寬體客機(jī)．本文在研究飛機(jī)的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題中，輸入信號(hào)來(lái)自飛機(jī)的舵面輸入，輸出為飛機(jī)的響應(yīng)．通過(guò)它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系辨識(shí)出飛機(jī)的氣動(dòng)參數(shù)．

飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)分成兩個(gè)部分： 仿真和辨識(shí)．仿真部分用于采集輸入輸出數(shù)據(jù)，如圖1所示．仿真采用的輸入信號(hào)分別是作用于升降舵的1123信號(hào)和作用于副翼及方向舵的偶極方波信號(hào)，3個(gè)信號(hào)在時(shí)間上依次載入[9]．采用1123信號(hào)的原因是飛機(jī)的質(zhì)量和慣性矩很大，若用3211信號(hào)相比得到的模態(tài)激勵(lì)更少．

在飛機(jī)的輸入端加入相對(duì)輸入信號(hào)u，幅度為1%的噪聲dp模擬真實(shí)系統(tǒng)的過(guò)程噪聲，在飛機(jī)的輸入和輸出端分別加上測(cè)量噪聲dm1和dm2，信噪比分別是60和50[10]．y和ym分別是飛機(jī)仿真模型和參考模型的輸出，error是兩者間偏差，χ是辨識(shí)算法輸出的參數(shù)向量．解耦后待辨識(shí)氣動(dòng)參數(shù)根據(jù)對(duì)應(yīng)的力和力矩進(jìn)行分組，本文辨識(shí)的參數(shù)見(jiàn)表1．

表1　辨識(shí)結(jié)果

注： (a) 為基本粒子群算法的結(jié)果；(b) 為自適應(yīng)粒子群算法的結(jié)果；(c) 為模擬退火算法的結(jié)果.

先進(jìn)行仿真，得到仿真時(shí)間內(nèi)的輸入輸出數(shù)據(jù)對(duì)．再用得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)．參考模型與飛機(jī)仿真模型在數(shù)學(xué)上一致，其輸入除了帶測(cè)量噪聲的仿真模型輸入還有飛機(jī)的氣動(dòng)參數(shù)，飛機(jī)的氣動(dòng)參數(shù)由粒子群算法辨識(shí)模塊輸出．

粒子群算法辨識(shí)模塊是參數(shù)辨識(shí)的主要部分，其輸入是參考模型和飛機(jī)仿真模型輸出的差值，輸出是氣動(dòng)參數(shù)的當(dāng)前辨識(shí)結(jié)果．在每一次迭代中，辨識(shí)模塊將得到的偏差求平方和，將其作為粒子群算法的適應(yīng)度值，粒子群依據(jù)適應(yīng)度值進(jìn)行演化，輸出當(dāng)前最佳參數(shù)向量．參考模型依據(jù)這些再進(jìn)行仿真得到新的偏差傳給辨識(shí)模塊．如此循環(huán)，直到達(dá)到迭代次數(shù)或者偏差小于一個(gè)定值．

飛機(jī)模型中含氣動(dòng)參數(shù)項(xiàng)的方程如(1)式所示，把最后兩個(gè)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果如(2)式所示．此時(shí)每個(gè)微分方程等號(hào)右邊只有一個(gè)氣動(dòng)力或氣動(dòng)力矩，可以把待辨識(shí)的氣動(dòng)參數(shù)分成6組分別辨識(shí)，降低了辨識(shí)的維度．比如在阻力相關(guān)的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)中，已知仿真模型的輸入和輸出，未知的只是阻力相關(guān)的幾個(gè)氣動(dòng)參數(shù)，參數(shù)個(gè)數(shù)就是此次辨識(shí)的維度數(shù)．

(1)

(2)

其中Ix、Iy、Iz和Ixz分別是對(duì)應(yīng)體軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣性積．

2粒子群算法基本原理

粒子群算法的靈感來(lái)自鳥(niǎo)群的遷徙覓食活動(dòng)，在1995年由Eberhart博士和Kenedy博士提出．他們對(duì)鳥(niǎo)類(lèi)的群體活動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，比擬鳥(niǎo)群的群體智能創(chuàng)立了粒子群算法，并將其用于復(fù)雜多維空間的優(yōu)化問(wèn)題[11-12]．

算法體現(xiàn)了粒子間合作與競(jìng)爭(zhēng)的群體智能．特點(diǎn)是采用了“速度-位移”模型，每個(gè)粒子根據(jù)自己的歷史運(yùn)行軌跡和群體的最佳位置來(lái)調(diào)整搜索策略．

在粒子種群X={X1,X2,…,XN}中，每個(gè)粒子的位置Xi={xi1,xi2,…,xin}就是一個(gè)解，每個(gè)位置對(duì)應(yīng)一個(gè)適應(yīng)度值fi判斷其優(yōu)劣，參考種群其他粒子的適應(yīng)度值得出其此時(shí)的速度．粒子群初始值在解空間隨機(jī)均勻分布．

在飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)中，適應(yīng)度值就是所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的采樣輸出和辨識(shí)模型輸出差值的平方和．

粒子的速度更新公式如下：

vid(t+1)=ωvid(t)+c1r1(pid-xid)+c2r2(pgd-xid)．

(3)

式(3)中：ω是慣性系數(shù)，取值在0～1之間，代表粒子對(duì)自己速度的記憶程度，若取為0，則粒子的速度沒(méi)有繼承性，容易發(fā)散；r1和r2是兩個(gè)0～1之間的隨機(jī)數(shù)；c1和c2是學(xué)習(xí)因子，它們的大小有幾種常用組合，代表粒子決定下一步速度時(shí)參考自身歷史和群體最優(yōu)的權(quán)重，分別體現(xiàn)粒子的個(gè)體性和社會(huì)性．

粒子的位置更新公式如下：

xid(t+1)=xid(t)+vid(t+1)．

(4)

每個(gè)粒子在得到下一步的速度和位置之前要先進(jìn)行邊界檢驗(yàn)．

3種粒子群算法的基本流程(如圖2所示)包括下面幾個(gè)步驟：

1) 算法開(kāi)始，初始化種群，在解空間隨機(jī)均勻分布粒子群體；

2) 求每個(gè)粒子的適應(yīng)度值，初始化個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)；

3) 計(jì)算每個(gè)粒子的速度；

4) 更新每個(gè)粒子的位置；

5) 更新每個(gè)粒子的適應(yīng)度值；

6) 更新個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)；

7) 檢驗(yàn)結(jié)束條件，滿足則輸出結(jié)果，不滿足返回第3)步繼續(xù)迭代．

自適應(yīng)粒子群采用了動(dòng)態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)，大小與當(dāng)前的適應(yīng)度值大小相關(guān)聯(lián)．較大的ω可以加快收斂速度，較小的ω加強(qiáng)局部精細(xì)搜索，但相對(duì)收斂速度較慢．公式如下：

(5)

(5)式中：fitnessavg為種群的適應(yīng)度值平均值．ω的最小值和最大值分別取0.4和0.9[11]．

3模擬退火算法基本原理

模擬退火算法模擬高溫金屬降溫的熱力學(xué)過(guò)程，是一種智能算法．模擬退火算法在1953年由Metropolis提出，且在1983年由Kirkpatrick等將模擬退火算法運(yùn)用于組合優(yōu)化領(lǐng)域，并在工程實(shí)際應(yīng)用中至今發(fā)揮廣泛的作用．

模擬退火算法的基本思想是： 先把固體加熱到足夠高的溫度，再慢慢冷卻．固體中原子的熱運(yùn)動(dòng)在固體被加熱時(shí)不斷地增強(qiáng)，伴隨的是固體內(nèi)能的增大．固體中原子在加熱中變得越來(lái)越活躍，如此會(huì)破壞其原來(lái)的內(nèi)部粒子有序的狀態(tài)．而相應(yīng)的冷卻過(guò)程中，固體原子慢慢變回有序的狀態(tài)，其中經(jīng)過(guò)每個(gè)溫度都有達(dá)到平衡狀態(tài)，溫度降到常溫時(shí)，固體內(nèi)部粒子內(nèi)能又回到最小的狀態(tài)．

在模擬退火算法中，常常將內(nèi)能作為目標(biāo)函數(shù)值，溫度作為控制參數(shù)．從初始狀態(tài)開(kāi)始，在一個(gè)定解的鄰域內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)新解，計(jì)算新解的目標(biāo)函數(shù)值，通過(guò)獨(dú)特的判斷機(jī)制，系統(tǒng)有可能接受較差的新解．模擬退火算法的單次迭代概括如下： 產(chǎn)生新解——計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值之差——判斷接受與否——決定接受與否．經(jīng)過(guò)大量的迭代，能得到給定控制參數(shù)時(shí)優(yōu)化問(wèn)題的相對(duì)最優(yōu)解，此時(shí)再減小控制參數(shù)繼續(xù)迭代．控制參數(shù)降到零的過(guò)程模擬的就是固體溫度降到零的過(guò)程．最后系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)得到的解就是全局最優(yōu)解．

數(shù)學(xué)上已有嚴(yán)格證明： 如果模擬退火算法在初始溫度足夠高而且溫度下降足夠慢的情況下，能以概率1收斂到全局最優(yōu)值．

模擬退火算法跳出局部最優(yōu)值的機(jī)制來(lái)源于在對(duì)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行對(duì)比后，能以某種概率接受較差點(diǎn)．

在粒子群算法中，粒子群全體粒子會(huì)向全局最優(yōu)點(diǎn)靠攏，當(dāng)全體粒子都在當(dāng)前全局最優(yōu)位置的鄰域內(nèi)時(shí)，粒子的搜索空間大大壓縮，群體失去活力，此時(shí)便陷入了局部最優(yōu)解．粒子群算法的優(yōu)化中很重要的部分就是使一部分粒子跳出全局最優(yōu)解．在用模擬退火算法優(yōu)化的粒子群算法中，每次迭代中以突跳概率修改全體最優(yōu)解，以此突變了整個(gè)種群的偏離方向．更新全局最優(yōu)位置的候選解來(lái)自于所有的個(gè)體最優(yōu)解．選擇機(jī)制為輪盤(pán)賭策略，突跳概率如下：

(6)

其中：fpi為當(dāng)前粒子的歷史最優(yōu)位置的適應(yīng)度值；fpg為種群最優(yōu)位置的適應(yīng)度值．這里的g在公式中按照文獻(xiàn)[13]定義．

在每次執(zhí)行模擬退火局部搜索的時(shí)候，產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)，若是該隨機(jī)數(shù)大于當(dāng)前的突跳概率，就判定用當(dāng)前的個(gè)體歷史最佳位置替換掉全局最佳位置．突跳概率如上面定義，粒子本身的歷史最佳位置距離當(dāng)前群體最佳位置最近，該粒子歷史最佳位置被替換的概率越大[13]．

新的速度更新如下所示：

vid(t+1)=χ{vid(t)+c1r1[pid(k)-xid(k)]+c2r2[pjd(k)-xid(k)]}，

(7)

學(xué)習(xí)因子c1和c2均取為2.05，滿足壓縮因子的取值需求，對(duì)種群采取自身歷史影響和種群最優(yōu)指導(dǎo)并重的搜索策略．

辨識(shí)結(jié)果如前文表1所示.

4辨識(shí)結(jié)果分析

對(duì)同一架飛機(jī)，相同輸入的條件下分別用基本粒子群算法、自適應(yīng)粒子群算法和模擬退火粒子群算法進(jìn)行了辨識(shí)，每種算法各運(yùn)行5次，取平均值得到上面的結(jié)果．由于參數(shù)數(shù)量級(jí)較小，計(jì)算結(jié)果只保留到小數(shù)點(diǎn)后4位，更高精度區(qū)別參考誤差，以Cmδe辨識(shí)結(jié)果為例，比較自適應(yīng)粒子群算法和模擬退火粒子群算法，模擬退火粒子群算法更精確．

模擬退火粒子群算法相對(duì)基本粒子群算法在精度上有所提高，偶爾有幾個(gè)誤差相對(duì)基本算法稍大，是由于被辨識(shí)的氣動(dòng)參數(shù)和相對(duì)的輸入或輸出很小的緣故．特別是輸入和響應(yīng)本身很小時(shí)，結(jié)合信噪比考慮，誤差的幅值顯得特別大，所以結(jié)果的隨機(jī)性更強(qiáng)．為了比對(duì)模擬退火粒子群算法結(jié)果本身的正確率，用自適應(yīng)粒子群算法的結(jié)果比對(duì)，可以發(fā)現(xiàn)，大部分氣動(dòng)參數(shù)兩者的辨識(shí)結(jié)果相近，相互驗(yàn)證了結(jié)果的正確性．

圖3繪出了3種粒子群算法的種群全體粒子運(yùn)動(dòng)路徑，其中帶星號(hào)線的為算法中當(dāng)前最佳粒子的位置連線．圖3(a)為基本粒子群算法的粒子軌跡，有幾個(gè)特點(diǎn)： 覆蓋面積大，相對(duì)均勻，相對(duì)集中在一定區(qū)域而外面很少有粒子經(jīng)過(guò)，收斂性較差．圖3(b)為自適應(yīng)粒子群算法的粒子軌跡，有很明顯的收斂的過(guò)程，后期大部分粒子在相對(duì)較小的范圍內(nèi)活動(dòng)，有部分粒子跳出最佳位置附近但覆蓋的區(qū)域很小．圖3(c)為模擬退火粒子群算法的粒子軌跡，有明顯的收斂過(guò)程，其間不停地有粒子跳離種群最佳位置進(jìn)行搜索，隨著步數(shù)的推進(jìn)，粒子跳離種群最佳位置附近的頻率降低，但搜索范圍不會(huì)減?。?/p>

結(jié)合之前的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)一步得到下面的結(jié)論．1) 基本粒子群算法的覆蓋面積大但搜索到的結(jié)果并不如自適應(yīng)粒子群算法和模擬退火粒子群算法，這是源于其無(wú)法智能調(diào)節(jié)每一步中粒子在空間上推進(jìn)距離的幅值，其軌跡分布相對(duì)均勻的特點(diǎn)也可作為該論點(diǎn)的佐證．看似面積大，但只是空間上的大跨度無(wú)序運(yùn)動(dòng)，即使某個(gè)粒子的軌跡在一次運(yùn)動(dòng)中間恰好經(jīng)過(guò)比當(dāng)前種群最佳更好的位置，也不會(huì)停留而繼續(xù)向前．基本粒子群算法的軌跡分布在相對(duì)集中的區(qū)域，很少有跳出去，說(shuō)明其跳出局部最小值的能力較弱．2) 自適應(yīng)粒子群算法在精度、收斂性和收斂速度上解決了基本粒子群算法的缺陷，其粒子收斂速度和幅度明顯加快，這正是每一步粒子運(yùn)動(dòng)幅度考慮當(dāng)前位置與種群最佳有多遠(yuǎn)的體現(xiàn)．隨著演化步數(shù)的推進(jìn)，粒子離最佳位置越來(lái)越近，下一步運(yùn)動(dòng)的幅度也越來(lái)越小，若是種群聚得很緊密，搜索較遠(yuǎn)區(qū)域只能依靠隨機(jī)性，且跳出的距離有限，參考圖3(b)，此時(shí)收斂性過(guò)度，而隨機(jī)性不足．3) 從模擬退火粒子群算法中可以看到代表當(dāng)前最佳位置的帶星號(hào)線有在真值上下波動(dòng)的過(guò)程，即是模擬退火算法中有一定概率接受較差點(diǎn)的體現(xiàn)，最優(yōu)值的偏移帶來(lái)的結(jié)果是帶著整個(gè)種群向次優(yōu)可能性試探．直接影響有兩點(diǎn)： 首先，大大加強(qiáng)了跳出局部最優(yōu)點(diǎn)的可能性，因?yàn)橄鄬?duì)于其他兩種粒子群算法只是部分粒子隨機(jī)跳離，模擬退火算法跳出局部最優(yōu)值可能性大大提高；其次種群以一定概率接受次優(yōu)值帶來(lái)的副作用是一定程度上犧牲了收斂速度．除此以外，模擬退火粒子群算法相對(duì)自適應(yīng)粒子群算法在送出粒子跳離種群最優(yōu)鄰域搜索更加有序，頻率由大變小且搜索的范圍始終充滿整個(gè)解空間．結(jié)合辨識(shí)結(jié)果，使用模擬退火粒子群算法可以有效地解決該型飛機(jī)的氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題．

5總結(jié)與展望

在本文討論的問(wèn)題中，雖然模擬退火粒子群算法相對(duì)基本粒子群算法和自適應(yīng)粒子群算法有很大改善．但該算法還有改善空間，可以通過(guò)引入學(xué)習(xí)因子的智能調(diào)節(jié)進(jìn)一步平衡搜索范圍和收斂速度．若算法中結(jié)合飛機(jī)氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)敏感度分析的信息，能自動(dòng)設(shè)定當(dāng)前辨識(shí)的氣動(dòng)參數(shù)的置信度，進(jìn)而彈性調(diào)節(jié)搜索范圍，甚至種群粒子數(shù)目，則可進(jìn)一步提高搜索效率．還可以研究粒子群辨識(shí)算法辨識(shí)的效率和輸入輸出波形之間的關(guān)系．總之，模擬退火粒子群算法還能集成很多其他智能算法的優(yōu)點(diǎn)，提高辨識(shí)精度和速度．

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文章編號(hào)：0427-7104(2016)03-0336-06

收稿日期：2015-09-28

作者簡(jiǎn)介：黃炯(1986—)，男，碩士研究生，E-mail： hwanjiong@163.com.

中圖分類(lèi)號(hào)：O 35; V 1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Identification of Aircraft Aerodynamic Parameters Based on SA-PSO Algorithm

HUANG Jiong, AI Jianliang, WAN Jing

(DepartmentofAeronauticsandAstronautics,FudanUniversity,Shanghai200433,China)

Abstract：In the problem of aircraft aerodynamic parameter identification, classic methods such as maximum likelihood method have several disadvantages including slow convergence, too sensitive to the initial condition or too complex in math. In this article, the application of SA-PSO(Simulated Annealing-Particle Swarm Optimization) in aircraft aerodynamic parameter identification is discussed. In the simulation, the data is sampled one time and the algorithm is iterative. The simulated annealing algorithm can improve the convergence and expand the searching space. The algorithm is applied in the aerodynamic parameter identification of an aircraft in both longitude and latitude. The result shows that SA-PSO can cope with problem of aircraft aerodynamic parameter identification quite well and has more advantages in expansions of searching space comparing with standard PSO and adaptive PSO.

Keywords：aircraft aerodynamic parameter identification; PSO algorithm; SA-PSO algorithm