彈性飛機(jī)陣風(fēng)緩和魯棒控制研究

傅　軍，萬　婧，艾劍良

(復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433)

?

彈性飛機(jī)陣風(fēng)緩和魯棒控制研究

傅軍，萬婧，艾劍良

(復(fù)旦大學(xué) 航空航天系，上海 200433)

摘要：陣風(fēng)干擾一直嚴(yán)重影響著飛機(jī)的飛行穩(wěn)定性、性能和乘坐舒適度.基于現(xiàn)代魯棒控制理論，研究了在氣動彈性效應(yīng)影響下的飛機(jī)陣風(fēng)載荷減緩控制器的設(shè)計方法.首先根據(jù)氣動彈性狀態(tài)空間模型得到某通用飛機(jī)在縱向平面內(nèi)的運動方程.然后在Dryden陣風(fēng)模型作為外界干擾輸入下，對彈性飛機(jī)標(biāo)稱系統(tǒng)設(shè)計了H∞控制器，取得了良好的陣風(fēng)減緩效果，使得翼尖相對位移和質(zhì)心加速度的均方根分別減小了66%和23.7%，同時討論了評價輸出加權(quán)函數(shù)的選擇方法.由于系統(tǒng)在真實的環(huán)境下會存在不確定性，結(jié)合構(gòu)建的不確定模型，設(shè)計了μ綜合控制器，仿真結(jié)果表明，對于H∞控制器不再適用的不確定性系統(tǒng)，μ控制器能夠滿足魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能.

關(guān)鍵詞：彈性飛機(jī)； 氣動彈性方程； 陣風(fēng)緩和； 魯棒控制

陣風(fēng)干擾會嚴(yán)重影響飛機(jī)在飛行過程中的性能，降低乘坐舒適度，造成結(jié)構(gòu)疲勞，減小飛機(jī)壽命.在20世紀(jì)60年代，國外就開始了飛機(jī)陣風(fēng)載荷減緩控制技術(shù)的研究，然而大多數(shù)研究都集中在剛性飛機(jī)模型的控制器設(shè)計上，實際飛機(jī)結(jié)構(gòu)是彈性體，特別是隨著現(xiàn)代飛機(jī)設(shè)計中大柔性、輕結(jié)構(gòu)的趨勢越來越明顯[1]，相應(yīng)的氣動彈性問題也越來越不容忽視.所以對陣風(fēng)載荷減緩主動控制的進(jìn)一步研究必須要考慮到飛機(jī)的氣動彈性特性.

建立一個用于控制器設(shè)計的氣動彈性方程最主要的困難在于非定常氣動力的計算.由Albano等[2]在1969年提出的計算3維亞音速簡諧振蕩非定?？諝鈩恿Φ呐紭O子網(wǎng)格法，被Rodden等[3]加以改進(jìn)后，能夠處理任意多翼多體的飛機(jī)外形組合，從而成為目前亞音速可壓縮情況下非定常氣動力計算的首選方法.非定常氣動力是在離散的減縮頻率上計算的，然而現(xiàn)代控制分析方法都要求非定常氣動力能夠表示在整個拉普拉斯域(s平面)內(nèi)，所以需要將其近似為拉普拉斯算子s的有理函數(shù).Karpel[4]提出的最小狀態(tài)近似方法得到了非定常氣動力影響矩陣的有理表達(dá)，并且建立了彈性飛機(jī)的狀態(tài)空間模型.本文基于此方法建立了某通用飛機(jī)在縱向平面內(nèi)的彈性方程.

隨著對飛機(jī)氣動彈性特性認(rèn)識的深入，考慮飛機(jī)結(jié)構(gòu)彈性的陣風(fēng)載荷減緩控制越來越受到重視.Karpel[4]在建立氣動彈性系統(tǒng)的狀態(tài)方程后，為典型機(jī)翼截面模型的陣風(fēng)減緩設(shè)計了一個常數(shù)增益的簡單控制器，以驗證其氣動彈性模型的廣泛可用性.Zeng等[5]使用自適應(yīng)前饋控制方法有效地減緩了F/A-18的彈性模型在陣風(fēng)干擾下的響應(yīng).Aouf等[6]和Cook等[7]分別在各自的文章中借助魯棒控制方法對彈性飛機(jī)進(jìn)行陣風(fēng)緩和主動控制.因為氣動彈性建模的復(fù)雜性，建立的氣動彈性模型總是涉及各種各樣的不確定參數(shù)，比如結(jié)構(gòu)阻尼比和液力作動器參數(shù)、氣動力系數(shù)以及系統(tǒng)高頻動態(tài)特性方面的不確定性.文獻(xiàn)[8]在研究B-52飛機(jī)彈性模型的陣風(fēng)減緩控制時，使用μ分析方法探討了不確定性模型的控制方法.

本文采用Dryden陣風(fēng)模型作為外界干擾輸入，研究了彈性飛機(jī)標(biāo)稱系統(tǒng)H∞控制器的設(shè)計方法.為系統(tǒng)構(gòu)建了不確定性模型后，設(shè)計了μ控制器，保證了系統(tǒng)存在不確定性情況下的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能.

1彈性飛機(jī)模型

1.1氣動彈性運動方程

飛機(jī)的氣動彈性行為是由飛機(jī)的慣性力、結(jié)構(gòu)彈性力、氣動力和外界附加力相互耦合作用的結(jié)果.建立彈性飛機(jī)的運動方程一般要通過結(jié)構(gòu)有限元和氣動有限元方法進(jìn)行計算，得到的方程的系數(shù)矩陣的階次是非常大的，不利于后續(xù)的進(jìn)一步分析.而通常的做法是將方程變換到模態(tài)坐標(biāo)中，利用低階振動模態(tài)來近似彈性結(jié)構(gòu)的振動行為，得到的模態(tài)方程的階次將大幅降低.分析表明，對于單獨機(jī)翼結(jié)構(gòu)，用不超過10個低階振動模態(tài)來近似，精度已經(jīng)足夠[9].

使用模態(tài)分析方法，并對結(jié)構(gòu)有限元中力的平衡方程進(jìn)行拉普拉斯變換，得到彈性飛機(jī)分析的一般方程[10]：

([M]s2+[B]s+[K]+q∞[Qa(s)]){ξ(s)}=-([Mc]s2+q∞[Qc(s)]){δ(s)}-(q∞/V)[Qw(s)]{w(s)},

(1)

其中：s為拉普拉斯算子；[M]、[B]和[K]分別為飛機(jī)的廣義質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；ξ為廣義模態(tài)坐標(biāo)；δ為控制舵面輸入；w(s)為外界陣風(fēng)干擾輸入；q∞為動壓；V為來流速度；Mc為飛機(jī)模態(tài)與舵面偏轉(zhuǎn)模態(tài)的耦合質(zhì)量矩陣；Q(s)=[Qa(s)Qc(s)Qw(s)]為非定常氣動力影響矩陣，Qa、Qc和Qw分別表征由結(jié)構(gòu)彈性變形、控制舵面偏轉(zhuǎn)和外界陣風(fēng)引起的作用于機(jī)身的氣動力.

非定常氣動力影響矩陣Q的計算非常復(fù)雜，這也是建立飛機(jī)氣動彈性模型過程中最重要的一步.本文中Q的計算借助氣動彈性分析軟件ZAERO[11]來完成，方程(1)中Qa、Qc和Qw的符號設(shè)定為與ZAERO軟件中規(guī)定的一致.

非定常氣動力影響矩陣Q是在離散的減縮頻率k上計算的，而隨著控制理論的發(fā)展和先進(jìn)氣動理念的出現(xiàn)，特別是一般的現(xiàn)代控制理論都是建立在系統(tǒng)的線性狀態(tài)空間模型的基礎(chǔ)上，所以需要將Q轉(zhuǎn)化到時域中.在氣動彈性控制領(lǐng)域，主要有兩種方法： Roger近似法[12]和最小狀態(tài)近似法[4]，即將離散頻率點處計算得到的非定常氣動力延拓至拉普拉斯域中并用有理函數(shù)表達(dá)，通過有理函數(shù)擬合得到未知系數(shù)，然后引入附加氣動力狀態(tài)變量得到氣動力狀態(tài)變量所滿足的時域微分方程，最后將整個氣動彈性方程表達(dá)在狀態(tài)空間中.

因為Roger近似法需要引入的附加氣動力狀態(tài)變量的維數(shù)較高，使得狀態(tài)方程的規(guī)模增大，所以這里選擇最小狀態(tài)近似法：

(2)

其中[Ai]=[AaiAciAw i]，[E]=[EaEcEw].設(shè)附加氣動力狀態(tài)量xa(s)為：

(3)

由(1)～(3)式可以得到氣動彈性狀態(tài)方程為：

(4)

考慮控制面舵機(jī)的動態(tài)特性，將舵機(jī)的動態(tài)模型表示為如下傳遞函數(shù)：

(5)

所以考慮舵機(jī)模型的飛機(jī)增廣氣動彈性狀態(tài)方程為：

(6)

方程(6)為包含陣風(fēng)干擾輸入和舵機(jī)模型的氣動伺服彈性問題的一般方程，可以應(yīng)用于任意飛機(jī)的陣風(fēng)響應(yīng)分析和陣風(fēng)載荷減緩控制研究.

1.2仿真實例

本文選擇某通用飛機(jī)[13]作為研究對象，如圖1所示.機(jī)身長度為22m，全翼展長19m，機(jī)翼平均弦長為2.2m.飛機(jī)的飛行狀態(tài)設(shè)定為在7000m高度下以218m/s(Mach=0.7)的速度巡航飛行.

由于飛機(jī)機(jī)翼在縱向有著較大受力面積，在高空巡航狀態(tài)下陣風(fēng)對飛機(jī)的影響主要表現(xiàn)在垂直方向上.所以為了分析的簡便，這里僅考慮飛機(jī)在縱向平面內(nèi)的運動.為了對陣風(fēng)載荷的影響進(jìn)行主動控制，飛機(jī)的外側(cè)副翼和平尾上的升降舵被用來作為控制舵面，即{u}={uaileron,uelevator}T.根據(jù)文獻(xiàn)[14]中的參數(shù)，(5)式中舵機(jī)的動態(tài)特性參數(shù)為a1=6751689，a2=66157.39，a3=259.97.

本文借助結(jié)構(gòu)有限元軟件Nastran和氣動彈性分析軟件ZAERO來計算建立氣動彈性模型所需要的數(shù)據(jù).在模態(tài)坐標(biāo)中，全機(jī)使用21個低階振動模態(tài)來近似結(jié)構(gòu)的彈性行為.

因為這里只考慮飛機(jī)的縱向運動，所以振動模態(tài)中的非縱向模態(tài)將被舍棄，剩余9個縱向振動模態(tài)，而其中一個模態(tài)為飛機(jī)上下沉浮運動的剛性模態(tài)，會導(dǎo)致得到的狀態(tài)矩陣中含有零特征值，所以也要移除.余下的8個振動模態(tài)，加上9個附加氣動力狀態(tài)量和6個因舵機(jī)動態(tài)模型而加入的狀態(tài)量，最后得到一個具有31階系數(shù)矩陣的狀態(tài)方程.

陣風(fēng)減緩是通過主動控制技術(shù)使飛機(jī)對外部陣風(fēng)干擾輸入的響應(yīng)最小化，從而達(dá)到減小機(jī)翼彎矩、延長疲勞壽命、改善乘坐品質(zhì)和乘員舒適度的目的.從這些目的出發(fā)，這里選擇飛機(jī)模型的量測輸出量為飛機(jī)的俯仰角、翼尖相對翼根的垂直位移和飛機(jī)質(zhì)心的垂直加速度，即y={θ,xd,ac}T，其中xd=xwingtip-xwingroot.輸出方程為：

{y}=[C]{x}+[Dw]{w}+[D]{u}.

(7)

2陣風(fēng)模型

目前廣泛使用的與實際觀測數(shù)據(jù)吻合很好的陣風(fēng)模型為Dryden模型和Von Karman模型.由于Dryden模型相對簡單，這里被用來作為飛機(jī)高空巡航時的陣風(fēng)干擾信號模型.Dryden模型是以功率譜密度函數(shù)的形式表述的[15].

為了能夠得到符合此模型的陣風(fēng)干擾信號，需將功率譜密度為1的白噪聲通過構(gòu)造的濾波器.根據(jù)Dryden模型的功率譜密度，濾波器的傳遞函數(shù)為：

其中：σw為均方根陣風(fēng)速度；Lw是紊流尺度；V為飛行速度；ω為圓頻率，單位為rad/s.

根據(jù)該通用飛機(jī)的飛行環(huán)境參數(shù)，計算得到Lw=533.4m，σw=6.4m/s.

3H∞控制器設(shè)計

對于彈性飛機(jī)的陣風(fēng)減緩控制問題，基于已經(jīng)得到的飛機(jī)狀態(tài)方程(6)和輸出方程(7)，選擇評價輸出為{z}=W·{z′}=W·{yT,uT}T，即在抑制因陣風(fēng)干擾w而引起的輸出y的同時保證控制輸入量u不會超過允許的舵面操縱范圍.W=diag([Wy,Wu])為評價輸出的加權(quán)函數(shù).

彈性飛機(jī)陣風(fēng)緩和H∞控制問題的具體結(jié)構(gòu)如圖2(b)所示，相應(yīng)的方程描述為：

(8)

系統(tǒng)傳遞函數(shù)的正無窮范數(shù)可以看作是系統(tǒng)從輸入到輸出的最大能量增益.控制的目的是減小這種能量增益，使得系統(tǒng)的評價輸出z受干擾輸入w的影響最小.對于實際系統(tǒng)來說，輸出信號之間的物理單位不盡相同，對同一干擾的響應(yīng)在數(shù)值上差別可能很大，所以如果直接把系統(tǒng)的量測輸出作為被抑制信號，將很可能得不到一個理想的控制器，甚至導(dǎo)致問題無解.所以加權(quán)函數(shù)W的一個重要作用就是調(diào)節(jié)系統(tǒng)輸出量在數(shù)值上的數(shù)量級，使其相互之間有可比性.如果在性能指標(biāo)中某個輸出信號較其他信號更加重要，也將通過此加權(quán)函數(shù)來體現(xiàn).在系統(tǒng)的頻率響應(yīng)中，對于輸入干擾，輸出信號會在某個頻率范圍內(nèi)有較大的響應(yīng)，而在其他頻率范圍內(nèi)響應(yīng)很小，可以忽略不計.所以，為了降低輸入干擾的影響，只要減小輸出信號在特定頻率范圍內(nèi)的響應(yīng)即可，即加權(quán)矩陣在此頻率范圍內(nèi)將有較大幅值.

加權(quán)函數(shù)W的確定對于求解H∞問題非常關(guān)鍵，此通用飛機(jī)的氣動彈性模型在連續(xù)陣風(fēng)干擾下，輸出信號有著不同的數(shù)量級，并且俯仰角和翼尖相對位移響應(yīng)主要體現(xiàn)在低頻域，而飛機(jī)質(zhì)心加速度的響應(yīng)主要在高頻域.所以結(jié)合以上W函數(shù)選取原則，通過多次的調(diào)節(jié)，最終得到如下加權(quán)函數(shù)：

H∞的限制條件和求解方法由文獻(xiàn)[16]給出.具體實踐中借助MATLAB軟件的Robust Toolbox工具箱[17]，得到控制器K.未加控制器的開環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)‖Tzw‖∞=9.072，而對于閉環(huán)系統(tǒng)，‖Tzw‖∞=0.753.在MATLAB的Simulink中仿真得到陣風(fēng)擾動下閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)如圖3所示，其中圖3(a)為干擾陣風(fēng)的波形圖.

由圖3可以看到，得到的H∞控制器對陣風(fēng)干擾有很好的抑制效果.計算各輸出信號在控制前后的均方根發(fā)現(xiàn)，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出信號俯仰角、翼尖相對位移和機(jī)身質(zhì)心加速度相對于開環(huán)系統(tǒng)分別減小了87.3%，66%和23.7%.

4μ控制器設(shè)計

由H∞控制器得到的陣風(fēng)緩和性能是對于標(biāo)稱系統(tǒng)而言的，即系統(tǒng)不存在不確定性.但是實際工程中的控制系統(tǒng)，由于種種原因總是存在不確定性.對于彈性飛機(jī)，各種不確定性因素更多、更復(fù)雜，包括結(jié)構(gòu)阻尼的不精確、結(jié)構(gòu)特性隨時間的改變、未建模的高頻特性、飛行過程中大氣環(huán)境的改變等.考慮系統(tǒng)的不確定性后，需要通過μ綜合方法分析系統(tǒng)的魯棒性能，設(shè)計相應(yīng)的控制器.

標(biāo)準(zhǔn)的μ綜合分析框架如圖4(a)所示.其中Δ滿足‖Δ‖∞≤1，為未知攝動函數(shù)，描述了系統(tǒng)中存在的不確定性.μ綜合方法的目標(biāo)就是尋找一個能使系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器，并且使系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)奇異值滿足：

(9)

這樣，在對任意滿足‖Δ‖∞≤1的未知攝動下，系統(tǒng)將能夠保證魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能[18].目前(9)式還沒有解析解法，主要通過D-K(Durand-Kerner)迭代法求解.

對于彈性飛機(jī)的陣風(fēng)緩和控制問題，如圖4(b)所示，這里加入頻域內(nèi)描述的乘性輸入不確定性和輸出不確定性.設(shè)G′(s)為系統(tǒng)G(s)從輸入u到輸出y的傳遞函數(shù)，則加入不確定性描述后得到：

其中： Δu和Δy分別為輸入、輸出攝動函數(shù)，且‖Δu‖∞<1，‖Δy‖∞<1；Wuncy和Wuncu為相應(yīng)的不確定性加權(quán)函數(shù).

不確定性加權(quán)函數(shù)的確定同樣非常重要，一種關(guān)鍵的原則是盡可能減小模型的保守性，并使加權(quán)函數(shù)盡量不超過攝動的增益[1]，根據(jù)輸入輸出的不確定性程度選擇加權(quán)函數(shù)為：

不確定性加權(quán)函數(shù)的bode圖如圖5所示，在低頻域內(nèi)系統(tǒng)輸出含有4%的不確定性，副翼輸入含有10%的不確定性，升降舵輸入含有8%的不確定性，并且不確定性的大小隨著頻率的上升而變大，表征系統(tǒng)在高頻不斷增大的不確定性.

將Δ=diag(Δu,Δy)從圖4(b)中隔離出來，實現(xiàn)系統(tǒng)的已知部分和未知部分分離，形成圖4(a)所示的形式.借助MATLAB的Robust Toolbox工具箱，求解得到μ控制器，最終閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)奇異值為 0.7218，滿足(9)式，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能.通過Simulink仿真，系統(tǒng)在陣風(fēng)干擾下，在存在輸入輸出不確定性的情況下，俯仰角、翼尖縱向相對位移和機(jī)身質(zhì)心縱向加速度的均方根的值分別下降了72%、23%和16.2%.

把基于標(biāo)稱系統(tǒng)設(shè)計的H∞控制器加入到不確定性影響下的系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)，控制器已經(jīng)不能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.所以考慮系統(tǒng)不確定性的μ綜合分析是非常有必要的.

5結(jié)語

本文結(jié)果表明對于彈性飛機(jī)標(biāo)稱模型，通過構(gòu)建合理的分析框架和評價輸出的加權(quán)函數(shù)，H∞控制方法給出了很好的陣風(fēng)減緩性能.考慮到實際系統(tǒng)存在的不確定性，在包含輸入輸出不確定性模型的氣動彈性模型上，μ綜合方法給出了能同時保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能的控制器.文中構(gòu)建的飛機(jī)氣動彈性模型的計算流程具有通用型，可以用來分析一般結(jié)構(gòu)外形飛機(jī)的氣動彈性行為，得到的狀態(tài)方程模型非常有利于飛機(jī)的控制問題研究.

雖然本文中構(gòu)建的控制器在相應(yīng)的氣動彈性模型上都有著良好的性能表現(xiàn)，但是由于魯棒控制方法的特點，設(shè)計出的控制器與開環(huán)系統(tǒng)的階次在同一個數(shù)量級.氣動彈性模型的高階次導(dǎo)致了控制器的階次相對很高，所以下一步的工作將集中在如何降低控制器的階次，同時保證系統(tǒng)的性能下降不大.

參考文獻(xiàn)：

[1]趙永輝.氣動彈性力學(xué)與控制 [M].北京： 科學(xué)出版社, 2007.

[2]ALBANO E, RODDEN W P. A doublet-lattice method for calculating lift distributions on oscillating surfaces in subsonic flows [J].AIAAJournal, 1969，7(2)： 279-285.

[3]RODDEN W P, GIESING J P, KALMAN T P. Refinement of the nonplanar aspects of the subsonic doublet-lattice lifting surface method [J].JournalofAircraft, 1972，9(1)： 69-73.

[4]KAPEL M. Design for active flutter suppression and gust alleviation using state-space aeroelastic modeling [J].JournalofAircraft, 1982,19(3)： 221-227.

[5]ZENG J, MOULIN B, CALLAFON R D,etal. Adaptive feedforward control for gust load alleviation [J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 2010,33(3)： 862-872.

[6]AOUF N, BOULET B, BOTEZ R.H2andH∞-optimal gust load alleviation for a flexible aircraft [C]. Chicago： American Control Conference, 2000： 1872-1876.

[7]COOK R G, PALACIOS R, GOULART P. Robust gust alleviation and stabilization of very flexible aircraft [J].AIAAJournal, 2013,51(2)： 330-340.

[8]AOUF N, BOULET B, BOTEZ R M. Robust gust load alleviation for a flexible aircraft [J].CanadianAeronauticsandSpaceJournal, 2000,46(3)： 131-139.

[9]ZONA Technology Inc. Version Z. 8.2 Theoreticalmanual [M]. Scottsdale, AZ： ZONA Technology Inc, 2008.

[10]MOULIN B, KARPEL M. Gust loads alleviation using special control surfaces [J].JournalofAircraft, 2007,44(1)： 17-25.

[11]ZONA Technology Inc. Version Z.8.2 user’s manual [M]. Scottsdale, AZ： ZONA Technology Inc, 2008.

[12]ROGER K L. Airplane math modeling methods for active control design [R]. AGARD-CP-228, 1977： 4.1-4.11.

[13]KARPEL M, MOULIN B, CHEN P C. Dynamic response of aeroservoelastic systems to gust excitation [J].JournalofAircraft, 2005,42(5)： 1264-1272.

[14]ZONA Technology Inc. Version Z.8.2 application’s manual [M]. Scottsdale, AZ： ZONA Technology Inc, 2008.

[15]納爾遜,顧均曉.飛行穩(wěn)定性和自動控制 [M].北京： 國防工業(yè)出版社,2008.

[16]ZHOU K, DOYLE J C, GLOVER K. Robust and optimal control [M]. New Jersey： Prentice Hall, 1996.

[17]BALAS G, CHIANG R, PACKARD A,etal. Robust control toolbox [M]. Massachusetts： The Math Works Inc, 2005.

[18]吳敏,桂衛(wèi)華,何勇.現(xiàn)代魯棒控制 [M].湖南： 中南大學(xué)出版社,2006.

文章編號：0427-7104(2016)03-0329-07

收稿日期：2015-05-29

作者簡介：傅軍(1990—)，男，碩士研究生，E-mail： 13210290011@fudan.edu.cn.

中圖分類號：V 249.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Robust Control of Flexible Aircraft for Gust Alleviation

FU Jun, WAN Jing, AI Jianliang

(DepartmentofAeronauticsandAstronautics,FudanUniversity,Shanghai200433,China)

Abstract：Gust disturbance has a serious impact on flight stability, performance and comfort for passengers. In this study, the design method of gust load alleviation controller for a flexible airplane is proposed. First, the general state-space equations of motion for an aeroelastic model in the longitudinal plane is built. Taking the Dryden gust model as the input, the nominal system H∞controller for the elastic aircraft is designed and achieves good gust alleviation effect. The RMS of the relative displacement of the tip and the centroid acceleration are reduced by 66% and 23.7%, respectively. Since the system in a real environment has a lot of uncertainty, the μ synthesis controller with the uncertain model is also designed. The simulation results show that the μ controller can achieve robust stability and robust performance for uncertainty systems, which is nearly impossible for the H∞controller.

Keywords：flexible aircraft; aeroelastic equation; gust load alleviation; robust control