賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間的k一致凸點(diǎn)

段麗芬，程亞煥，左明霞

(1. 通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，通化 134002； 2. 哈爾濱理工大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，哈爾濱 150080)

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賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間的k一致凸點(diǎn)

段麗芬1，程亞煥1，左明霞2

(1. 通化師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，通化 134002； 2. 哈爾濱理工大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，哈爾濱 150080)

摘要：利用Banach空間基本理論和廣義Orlicz范數(shù)的特征，研究賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間的局部k一致凸性，得到了由右導(dǎo)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)的N-函數(shù)所生成的賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間中k一致凸點(diǎn)的判別準(zhǔn)則，并且獲得該空間局部k一致凸的條件.

關(guān)鍵詞：k一致凸點(diǎn)； k一致凸性； 廣義Orlicz范數(shù)； Orlicz函數(shù)空間

k凸性是Banach空間幾何學(xué)中的重要性質(zhì)，隨著應(yīng)用范圍的擴(kuò)大，理論研究不斷深入[1-5].局部k一致凸(LocalkUniform Rotundity， LKUR)的概念是由Sullivan最先引入的[6]，關(guān)于LKUR空間的若干幾何性質(zhì)相繼獲得[7-9]，賦Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)的Orlicz空間LKUR的判據(jù)也已證明[10-11].本文借鑒文獻(xiàn)[10]對賦Orlicz范數(shù)Orlicz函數(shù)空間k一致凸(kUniform Rotundity， KUR)點(diǎn)判據(jù)的刻畫思路，針對廣義Orlicz范數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)復(fù)雜于Orlicz范數(shù)的特點(diǎn)，運(yùn)用特殊的技巧和方法，給出了由右導(dǎo)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)的N-函數(shù)所生成的賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間中單位球面上的點(diǎn)為k一致凸(KUR)點(diǎn)的判別準(zhǔn)則(結(jié)論不同于文獻(xiàn)[10]賦Orlicz范數(shù)的情形)，并據(jù)此獲得了Orlicz函數(shù)空間局部k一致凸的條件(結(jié)論相同于文獻(xiàn)[10]賦Orlicz范數(shù)的情形).

1預(yù)備知識

設(shè)X是一個(gè)Banach空間，X′是其共軛空間，B(X)和S(X)分別表示X的閉單位球和單位球面.

定義1[10]x0∈S(X)稱為KUR點(diǎn)是指若

若Banach空間單位球面上每一點(diǎn)都是KUR點(diǎn)，則稱X是LKUR的.

定義M(u)的余函數(shù)N(v)為

用p+和q+分別表示M和N的右導(dǎo)數(shù).如果存在常數(shù)k≥2和x0>0，當(dāng)|x|≥x0時(shí)，滿足M(2x)≤kM(x)，則稱M滿足Δ2條件，記為M∈Δ2.用M∈2表示M的余函數(shù)N∈Δ2.設(shè)(G，Σ，μ)為一無原子有限測度空間，L0是定義在G上的可測實(shí)函數(shù)全體，記ρM(x)=∫GM(x(t))dt(x∈L0).Orlicz空間

及其閉子空間

關(guān)于Orlicz范數(shù)：

Luxemburg范數(shù)：

‖x‖M=inf{λ>0：ρM(x/λ)≤1}，

及廣義Orlicz范數(shù)：

2主要結(jié)果

定理1設(shè)M是N-函數(shù)，p+(u)連續(xù)，x0∈S(LM，p)(1

證充分性.由文獻(xiàn)[12]定理1可知，條件滿足時(shí)x0∈S(LM，p)(1

必要性.首先，證明M∈Δ2.若不然，則存在un↑∞，滿足

則

注意到

則‖yn‖N，q→‖y0‖N，q=1，故

則

故

又

則

若x0(t)≥0(t∈G0)，取fi： fi(x)=∫Gx(t)χGi(t)dt(?x∈LM，p)，并記‖fi‖N，q=m0，則

注意到

由定理1立即可得下面的定理.

定理2設(shè)M是N-函數(shù)，p+(u)連續(xù)，則對任何1

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k-uniform Rotund Points in Orlicz Function

文章編號：0427-7104(2016)03-0304-06

收稿日期：2014-12-03

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11226127)；吉林省教育廳“十二五”科技項(xiàng)目(2014-400)；黑龍江省教育廳基金(12531137)

作者簡介：段麗芬(1967—)，女，碩士，教授，E-mail： duanlf@126.com.

中圖分類號：O 177.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Spaces Endowed with the Generalized Orlicz Norm

DUAN Lifen1， CHENG Yahuan1， ZUO Mingxia2

(1.SchoolofMathematics，TonghuaTeachersUniversity，Tonghua134002，China；2.SchoolofAppliedSciences，HarbinUniversityofScienceandTechnology，Harbin150080，China)

Abstract：Using the fundamental theories of Banach spaces and the characteristics of the generalized Orlicz norm， locally k -uniform rotundity of the Orlicz function spaces endowed with the generalized Orlicz norm is discussed. For the Orlicz function spaces generated by a N-function whose derivative on the right is continuous and endowed with the generalized Orlicz norm， the criterion of k -uniform rotund points in these spaces is presented. And both sufficient and necessary conditions are obtained to make these spaces be locally k -uniform rotund.

Keywords：k -uniform rotund point； locally k -uniform rotundity； generalized Orlicz norm； Orlicz function space