“簡潔、基礎(chǔ)、本質(zhì)、創(chuàng)新”是高考數(shù)學(xué)北京卷的鮮明特色

多年來，高考數(shù)學(xué)北京卷一直堅持“簡潔、基礎(chǔ)、本質(zhì)、創(chuàng)新”的風(fēng)格：試題及其答案簡潔；注重對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能的全面考查；尤其注重對數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，一般不會有過多的繁雜的計算；試題背景新穎、內(nèi)涵豐富、亮點紛呈、解法靈活、思維深刻、銳意創(chuàng)新.

下面以2016年高考數(shù)學(xué)北京理科卷和文科卷為例，談?wù)勂洹氨本┨厣?1“簡潔、基礎(chǔ)、本質(zhì)、創(chuàng)新”是試卷的鮮明特色

1.1部分試題呈現(xiàn)

文科第7題已知A2，5，B4，1.若點Px，y在線段AB上，則2x-y的最大值為（）.

A.-1B.3C.7D.8

文科第9題已知向量a=1，3，b=3，1，則a與b夾角的大小為.

文科第10題函數(shù)f（x）=xx-1x≥2的最大值為.

文科第16題已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωxω>0的最小正周期為π.

（1）求ω的值；

（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.

文科第20題設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c.

（1）求曲線y=f（x）在點0，f0處的切線方程；

（2）設(shè)a=b=4，若函數(shù)f（x）有三個不同零點，求c的取值范圍；

（3）求證：a2-3b>0是f（x）有三個不同零點的必要而不充分條件.

理科第2題若x，y滿足2x-y≤0，

x+y≤3，

x≥0，則2x+y的最大值為（）.

A.0B.3C.4D.5

理科第12題已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1=6，a3+a5=0，則S6=.

理科第15題在△ABC中，a2+c2=b2+2ac.

（1）求∠B的大??；

（2）求2cosA+cosC的最大值.

理科第18題設(shè)函數(shù)f（x）=xea-x+bx，曲線y=f（x）在點2，f2處的切線方程為y=e-1x+4.

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

1.2填空題答案呈現(xiàn)

文科：9.π6.102.11.32.121，2.131.14.①16；②29.

理科：9.-1.1060.112.126.132.14.①2；②（-∞，-1）.

1.3特色闡述

從以上列舉的試題來看，題目簡潔，不少選擇題、填空題都是句中沒有任何標(biāo)點符號的一句話，比如文科第2，5，10題；不少解答題的設(shè)問也是句中沒有任何標(biāo)點符號的一句話，比如文科第15（1），16（1），16（2）題，理科第15（1），15（2），18（2）題；不少解答題的設(shè)問都不超過10個字符，比如文科第15（1）題“求{an}的通項公式”，第16（1）題“求ω的值”，理科第15（1）題“求∠B的大小”，理科第18（1）題“求a，b的值”，理科第18（2）題“求f（x）的單調(diào)區(qū)間”.

在2016年高考數(shù)學(xué)北京卷中，文科第2，4～7，10，11，19，20題及理科第1～3，5，10，12～14，20題（題數(shù)占45%）只涉及到以下10個數(shù)據(jù)：

-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，12

并且理科第4題（平面向量）及文科第18題（立體幾何）題中不涉及數(shù)字（且它們的解答均不涉及計算），理科第8題中只出現(xiàn)了文字?jǐn)?shù)量“一半”“三個”“兩個”“一個”.

所有填空題的答案均很簡潔，并且有兩空填“1”、五空填“2”.

在題目及答案中的這些數(shù)據(jù)都是命題專家精心雕琢的結(jié)果，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美！

高考數(shù)學(xué)北京卷注重基礎(chǔ)是不爭的事實，但考查基礎(chǔ)的同時又注重了對數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的考查，比如文科第4題及理科第5題都是對基本初等函數(shù)單調(diào)性的考查、文科第6題是對古典概型求法的考查、文科第20題是對導(dǎo)數(shù)及其綜合應(yīng)用的考查、理科第2題是對線性規(guī)劃的考查（以前多考含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，就不是考查本質(zhì)）、理科第12題是對等差數(shù)列基本量的考查.

高考數(shù)學(xué)北京卷，貌似真水無香，但實質(zhì)上也是創(chuàng)新成分多，這不僅僅表現(xiàn)在選擇題、填空題和解答題的壓軸題上，有很多題都是背景新穎、內(nèi)涵豐富、解法靈活、平中見奇、思維深刻（詳見后文的論述）.2部分試題的別解

文科第2題別解A.1+2i2-i=2i-i22-i=i（2-i）2-i=i.

注本題的常規(guī)解法是分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)進行分母實數(shù)化，而以上解法是逆用“i2=-1”通過約分進行分母實數(shù).前者是通性通法，但后者也是通性通法并非“雕蟲小技”，且“i2=-1”是復(fù)數(shù)運算的本質(zhì).這樣看來，前者的解法卻充滿“技巧”，后者只是使用第一個發(fā)現(xiàn)者的“專利”而已.

文科第7題別解C.本題的常規(guī)解法是“減元”（先得線段AB的方程是y=9-2x（2≤x≤4）），但也可用線性規(guī)劃知識求解.

文科第9題別解π6.如圖1所示，先在平面直角坐標(biāo)系xOy中作出向量a=OA與b=OB，再作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為C，D.在Rt△AOC，Rt△BOD中可得∠AOC=π3，∠BOD=π6，所以a與b夾角的大小為∠AOB=∠AOC-∠BOD=π3-π6=π6.

注別解方法只用到向量夾角的概念，概念就是本質(zhì)！

文科第19題已知橢圓C：x2a2+y2b2=1過點A2，0，B0，1兩點.

（1）求橢圓C的方程及離心率；

（2）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值.

別解先作出本題的圖形如圖2所示：

（1）橢圓C的方程是x24+y2=1，離心率是32.

（2）可設(shè)P（2cosθ，sinθ）π<θ<3π2，再求得M0，sinθ1-cosθ，N2cosθ1-sinθ，0.

再由凸四邊形ABNM的對角線互相垂直，可得

S四邊形ABNM=12AN·BM=122-2cosθ1-sinθ1-sinθ1-cosθ

=（sinθ+cosθ-1）2（1-sinθ）（1-cosθ）=2-2sinθ-2cosθ+2sinθcosθ1-sinθ-cosθ+sinθcosθ=2.

所以四邊形ABNM的面積為定值.

注同第（2）問的解法，還可證得以下結(jié)論：

若點P在橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0上，橢圓C的右頂點、上頂點分別是A，B，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N則AN·BM=2ab.

理科第19題與本題實質(zhì)相同，是一對姊妹題.

理科第2題別解C.因為2x+y=13（2x-y）+43（x+y）≤13·0+43·3=4，所以當(dāng)且僅當(dāng)2x-y=0，

x+y=3，即（x，y）=（1，2）（滿足x≥0）時，（2x+y）max=4.

理科第6題某三棱錐的三視圖如圖3所示，則該三棱錐的體積為（）.

A.16B.13C.12D.1

別解A.如圖4所示，題中的三棱錐即長、寬、高分別為2，1，1的長方體中的四面體ABCD，所以其體積為13S△BCD·1=1312·1·1·1=16.

注若考生不認真審題，會誤認為三棱錐的底面積就是俯視圖的面積12（1+1）·1=1，而錯選成B.

筆者在文獻[1]中詳述了以上解法：把幾何體放置在長方體中來求解三視圖問題是一種好方法.

理科第11題在極坐標(biāo)系中，直線ρcosθ-3ρsinθ-1=0與圓ρ=2cosθ交于A，B兩點，則AB=.

本題的常規(guī)解法是：先把極坐標(biāo)系中的方程化成平面直角坐標(biāo)系中的方程，再通過解方程組求出交點A，B的坐標(biāo)后用兩點的距離公式可求AB；或用垂徑定理和勾股定理求解.

別解2.在平面直角坐標(biāo)系中，題中的直線與圓的方程分別是x-3y-1=0，x2+y2=2x.

因為圓x2+y2=2x即（x-1）2+y2=1的圓心1，0在直線x-3y-1=0上，所以AB為此圓的直徑，得AB=2.

理科第12題別解6.由a3+a5=0，可得a3+a5=a2+a6=a4+a4=0，a4=0，所以

S6=a1+（a2+a6）+a4+（a3+a5）=a1=6

注由理科11，12題，我們可以看出它們貌似真水無香，但實質(zhì)上也是創(chuàng)新成分多：解法靈活、平中見奇、思維深刻.3部分創(chuàng)新題的解法

文科第8題某學(xué)校運動會的立定跳遠和30秒跳繩兩個單項比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段.下表為10名學(xué)生的預(yù)賽成績，其中有三個數(shù)據(jù)模糊.

在這10名學(xué)生中，進入立定跳遠決賽的有8人，同時進入立定跳遠決賽和30秒跳繩決賽的有6人，則（）.

A.2號學(xué)生進入30秒跳繩決賽B.5號學(xué)生進入30秒跳繩決賽

C.8號學(xué)生進入30秒跳繩決賽D.9號學(xué)生進入30秒跳繩決賽

解B.由題意知，進入立定跳遠決賽的8人是1號到8號，又同時進入立定跳遠決賽

和30秒跳繩決賽的有6人，所以1號到8號中僅有2人30秒跳繩沒有進入決賽.

假設(shè)30秒跳繩63次沒有進入決賽，則必有1號、4號、5號這3人沒有進入決賽.

前后矛盾！所以30秒跳繩63次必進入決賽，選B.

理科第8題袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）.

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多

C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

解法1B.設(shè)袋中的紅球、黑球各n（n∈N*）個，最后甲盒中的紅球、黑球個數(shù)分別是x1，y1；乙盒中的紅球、黑球個數(shù)分別是x2，y2；丙盒中的紅球、黑球個數(shù)分別是x3，y3.

因為“每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒”，所以

x1+y1=n，x2+y2+x3+y3=n

x2+y2=x1①

x3+y3=y1②

還可得三個盒子中紅球、黑球的總個數(shù)都是n，即

x1+x2+x3=n③

y1+y2+y3=n④

①-②+③-④，可得x2=y3，即乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多.

解法2B.從袋中取兩個球往盒子中放共有4種情形：

①取出的是兩個紅球，得乙盒中紅球數(shù)增加1個；

②取出的是兩個黑球，得丙盒中黑球數(shù)增加1個；

③取出的是一個紅球和一個黑球且紅球放入甲盒中，得乙盒中黑球數(shù)增加1個；

④取出的是一個紅球和一個黑球且黑球放入甲盒中，得丙盒中紅球數(shù)增加1個.

因為紅球和黑球個數(shù)一樣，所以①和②的情形一樣多，③和④的情形隨機出現(xiàn).

③和④對選項B中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)無影響.

①和②出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對選項B中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣.

綜上所述可得，本題選B.

注文科、理科第8題（還包括文科第18題）對考生的閱讀能力考查較深，源于生活.復(fù)習(xí)備考時，若只埋頭于“題海戰(zhàn)術(shù)”而不注重于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，對于此類問題就毫無辦法.

文科第14題某網(wǎng)店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出19種商品，第二天售出13種商品，第三天售出18種商品；前兩天都售出的商品有3種，后兩天都售出的商品有4種，則該網(wǎng)店

①第一天售出但第二天未售出的商品有種；

②這三天售出的商品最少有種.

14.①16；②29.

解如圖5所示，區(qū)域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ分別表示只在第一天、第二天、第三天售出的商品種類；區(qū)域Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ分別表示在第一天與第二天、第二天與第三天、第一天與第三天售出的商品種類；區(qū)域Ⅶ表示在三天都售出的商品種類.

第②問：可得這三天售出的商品種數(shù)為19+13+18-（3+4+x6+x7）+x7=43-x6，

由③⑤可得x3+x6=14≥x6，所以這三天售出的商品種數(shù)43-x6≥43-14=29.

進而還可得，當(dāng)且僅當(dāng)

（x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7）=（2，6，0，3，4，14，0），（2，7，0，2，3，14，1），

（2，8，0，1，2，14，2），或（2，9，0，0，1，14，3）

時，這三天售出的商品總數(shù)取到最小值29.

注本題第②問的背景是容斥原理.

理科第14題設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3x，x≤a，

-2x，x>a.

（1）若a=0，則f（x）的最大值為；

（2）若f（x）無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是.

解（1）2；（2）（-∞，-1）.

設(shè)函數(shù)y=x3-3x（x∈R），得y′=3（x+1）（x-1），所以函數(shù)y在（-∞，-1），（1，+∞）上均是增函數(shù)，在（-1，1）上是減函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時y極大值=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時y極小值=-2.

從而可作出函數(shù)y=x3-3x（x∈R）及y=-2x（x∈R）的圖象如圖6所示：

由圖6可得兩問的答案：

（1）f（x）max=f-1=2.

（2）當(dāng)a<-1時，函數(shù)y=-2x在x>a時無最大值，且-2a>（x3-3x）max，得此時f（x）無最大值.當(dāng)-1≤a<2時，函數(shù)f（x）有最大值且最大值是f（-1）=2；當(dāng)a≥2時，函數(shù)f（x）有最大值且最大值是f（a）.綜上所述，可得所求實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）.

注本題的解法就是數(shù)形結(jié)合與分類討論.

理科第16題A，B，C三個班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）；

（1）（2）略.

（3）再從A，B，C三個班中各隨機抽取一名學(xué)生，他們在該周的鍛煉時間分別是7，9，8.25（單位：小時），這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記μ1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0，試判斷μ0和μ1的大小.（結(jié)論不要求證明）

解（3）μ0>μ1.因為在表中容易看出A班，B班，C班所給數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是7，9，8.25，所以表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)為μ0=5×7+7×9+8×8.255+7+8=16420=8.2.

而新加的三個數(shù)據(jù)7，9，8.25的平均數(shù)約為8.08，比μ0小，所以μ0>μ1.

注“（結(jié)論不要求證明）”一直是近幾年高考數(shù)學(xué)北京卷的又一特色，從表面上來看貌似減輕了考生的書寫負擔(dān)、對表達能力要求極低，而實際上對考生的判斷能力（包括合情推理、邏輯推理）、數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求卻很高，甚至高到?jīng)]有上限.4高考復(fù)習(xí)備考建議

關(guān)于高三復(fù)習(xí)備考，筆者在文獻[2—4]中已闡述了一些有益的建議；關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者在文獻[5—9]中也作了較為詳盡的論述.讀者研讀它們后，可能會有所裨益.下面再強調(diào)五點：

（1）第一輪復(fù)習(xí)要夯實基礎(chǔ).

當(dāng)前高中教學(xué)的流行做法是，兩年結(jié)束新課，一年全面復(fù)習(xí).但在高一、高二學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新課時，確實有因教學(xué)內(nèi)容多、進度快而使學(xué)生沒有掌握好基礎(chǔ)知識的可能不在少數(shù)，所以在第一輪復(fù)習(xí)時要彌補這些不足，要注重基礎(chǔ)，逐步提高學(xué)生的解題能力，開始的題目不能過難，要增強學(xué)生的自信心，不要出現(xiàn)從一開始班上就有幾個學(xué)生決定放棄學(xué)數(shù)學(xué)的情形，而應(yīng)出現(xiàn)從一開始班上就有不少學(xué)生因上新課時沒有學(xué)好而通過第一輪復(fù)習(xí)對數(shù)學(xué)越來越有信心了.也就是說，第一輪復(fù)習(xí)時，還是要注重培養(yǎng)學(xué)生的興趣和自信心.

給學(xué)生布置作業(yè)時，要注意習(xí)題的難易順序.一般來說，對于某一知識，簡單題沒做好，難題一定做不好；若難題已經(jīng)做好了，簡單題就不必再做了.所以應(yīng)當(dāng)先做簡單題，再做難題，最后做綜合題.老師的教學(xué)（包括解題教學(xué)），不可“深一腳淺一腳”，這樣會導(dǎo)致“學(xué)生很怕數(shù)學(xué)”.

（2）要注重回歸課本，不要過多地依賴于教輔資料，更不能迷戀于題海戰(zhàn)術(shù).

高三師生不能只顧忙于做題：做、講（聽）完一本資料又一本資料，這樣才放心.實際上，這是最低效的高三復(fù)習(xí)備考，也會使高三老師變得越來越懶惰，越來越?jīng)]有創(chuàng)造力，越來越平庸！老師應(yīng)當(dāng)根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容重新備知識點備學(xué)生、精心選題（高考題、模擬題也不一定適合當(dāng)前的復(fù)習(xí)，應(yīng)有一定數(shù)量的課本改編題和原創(chuàng)題，可鼓勵學(xué)生參與原創(chuàng)題的編擬），提高復(fù)習(xí)備考效率，不要做無用功甚至是反效的事.

另外，老師在選題講題時要注重通性通法和概念教學(xué)，淡化特技.對于難題要多鉆研，盡量找到思路自然的解法，不要過多地依賴于參考答案，別讓參考答案禁錮了解題者的思維[10].

（3）復(fù)習(xí)備考要讓學(xué)生感到心里有底，這是高效復(fù)習(xí)和減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負擔(dān)的重要途徑之一和必由之路.

怎樣的復(fù)習(xí)可以使學(xué)生感到心里有底呢？關(guān)鍵在老師，老師要能把解法、思想、技巧講清楚、說明白，決不可把參考答案照本宣科（老師做題不看答案是替學(xué)生著想的表現(xiàn)，講解才可能自然），老師要多做研究，盡量使你的解法能適合一類題目，學(xué)生才可能感到心里有底.

比如，對于數(shù)列求和的錯位相減法，如何復(fù)習(xí)，按照文獻[11]的復(fù)習(xí)就可使學(xué)生感到心里有底.

（4）注重主干知識、聚焦核心考點、重視高頻考點.

我們要清楚，在每份高考試卷中絕大部分題都很基礎(chǔ)，所以在復(fù)習(xí)備考時要特別重視高頻考點，不要把高三復(fù)習(xí)備考變成了競賽輔導(dǎo).到了高三后期，老師不要對學(xué)生做過多的統(tǒng)一講解，應(yīng)以個別答疑、輔導(dǎo)為主.

（5）高中數(shù)學(xué)教學(xué)永遠要做好的四個關(guān)鍵詞：夯實基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當(dāng)提高.

參考文獻

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