序約束下一類指數(shù)分布族參數(shù)的Bayes估計

王秋平

（昌吉學院數(shù)學系　新疆　昌吉　831100）

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序約束下一類指數(shù)分布族參數(shù)的Bayes估計

王秋平

（昌吉學院數(shù)學系新疆昌吉831100）

摘要：在平方損失和熵損失函數(shù)下，分別討論序約束下先驗分布選取杰佛萊準則時兩個單參數(shù)指數(shù)分布族總體參數(shù)的Bayes估計，進而給出了序約束下不同損失函數(shù)時的兩個單參數(shù)指數(shù)分布族總體參數(shù)精確的Bayes估計形式，并證明了該估計的容許性。

關(guān)鍵詞：序約束；Bayes估計；平方損失；熵損失

近年來對序約束下多總體參數(shù)估計的研究文獻很多，參考文獻［1］給出了序約束下伽馬分布、泊松分布以及二項分布參數(shù)的Bayes估計，參考文獻［2］討論了序約束條件下，不同先驗分布時，平方損失和熵損失函數(shù)下兩個幾何總體參數(shù)的Bayes估計，參考文獻［3］探討了序約束下當選取熵損失和對稱熵損失函數(shù)時，兩個Burr分布總體參數(shù)的Bayes估計，參考文獻［4］給出了序約束下兩Pareto總體參數(shù)的Bayes估計。而將序約束的條件與指數(shù)分布族相關(guān)聯(lián)的文獻還很少涉及，本文將在平方損失和熵損失函數(shù)下，討論一類單參數(shù)指數(shù)分布族中總體參數(shù)在序約束下的Bayes估計。該指數(shù)分布族包含了常見的幾大分布，如，伽馬分布、帕累托分布以及威布爾分布等，在工業(yè)、可靠性等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，因此對其研究具有一定的實際意義和理論價值。

1　先驗分布的選取

本文討論形如［5］

的一類單參數(shù)指數(shù)分布族中（其中k＞0，c為歸一化常數(shù)）未知參數(shù)θ在半序約束條件下的貝葉斯估計。

設(shè)兩樣本總體X，Y均服從密度函數(shù)為（1）式的分布，其密度分別為分別為來自于實直線的某個子集，根據(jù)實際問題所提供，有

根據(jù)參考文獻［3］，本文（θ1，θ2）在約束條件（2）下，當兩樣本總體的先驗分布選為杰佛萊準則下的先驗分布時，此時的（θ1，θ2）的先驗密度為

2　參數(shù)（θ1，θ2）的Bayes估計

一般地，兩個總體的平方損失函數(shù)定義為

引理1［6］在平方損失函數(shù)（4）下，對任何先驗分布，當兩總體分布為（1）時參數(shù)（θ1，θ2）的Bayes估計為后驗期望向量

一般地，兩個總體的熵損失函數(shù)定義為

引理2［7］在熵損失函數(shù)（5）下，對任何先驗分布，當兩總體分布為（1）時參數(shù)（θ1，θ2）的Bayes估計為

證明過程見參考文獻［3］定理1，此處略。

3　序約束下參數(shù)（θ1，θ2）的Bayes估計

3.1平方損失下總體參數(shù)的Bayes估計

定理1在平方損失（4）下，先驗分布為（1）式，則在約束（2）下兩個指數(shù)族分布總體參數(shù)（θ1，θ2）的后驗期望為

其中

證明：先求X的邊際密度和后驗密度，然后再求后驗期望。因X是來自同一單參數(shù)指數(shù)分布族總體，且相互獨立，即有X關(guān)于的條件密度為

由條件密度公式知，此時（θ1，θ2）的后驗密度為

于是有

定理2在熵損失函數(shù)（5）式下，先驗分布為（1）式，則在約束（2）下兩個指數(shù)分布族總體參數(shù)（θ1，θ2）的Bayes估計為

證明：證明過程同定理1類似，篇幅過長，此處略。

4　井估計的容許性

引理3［8］設(shè)，統(tǒng)計判決問題的損失函數(shù)為，參數(shù)θ的先驗分布為，那么：

（1）若損失函數(shù)L（ ）θ，δ關(guān)于δ為嚴凸函數(shù)，則該統(tǒng)計判決問題的Bayes解幾乎處處唯一。

（2）若θ的Bayes估計是唯一的，則它是容許的。

容許估計。

證明：同定理3，此處略。

參考文獻：

［1］［6］趙世舜，宋立新，高秋陽.序約束下兩樣本總體參數(shù)的Bayes估計［J］.吉林大學學報（自然科學版），1998，1（1）：19-23.

［2］［7］周偉萍，張德然，楊興瓊.序約束下兩個幾何總體參數(shù)的Bayes估計［J］.山東理工大學學報（自然科學版），2007，21（6）：35-37.

［3］［8］柴媛媛，宋立新，等.序約束下兩個Burr分布總體參數(shù)的Bayes估計［J］.渤海大學學報（自然科學版），2009，30 （3）：242-244.

［4］李艷穎.序約束下兩Pareto分布總體參數(shù)的Bayes估計［J］.廊坊師范學院（自然科學版），2009，9（3）：16-19.

［5］張婭莉，查新月.一類指數(shù)分布族的參數(shù)估計問題［J］.南陽師范學院學報，2007，（6）：22-24.

中圖分類號：O212.5

文獻標識碼：A

文章編號：1671-6469（2016）03-0121-04

收稿日期：2016-04-05

基金項目：昌吉學院科研項目“序約束下一類指數(shù)分布族參數(shù)的貝葉斯估計”（2014SSQD006）。

作者簡介：王秋平（1986—），女，吉林榆樹人，昌吉學院數(shù)學系講師，研究方向：統(tǒng)計、金融。