n次對(duì)稱群Sn的不變子群的個(gè)數(shù)及其證明

白阿拉坦高娃（赤峰學(xué)院　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古　赤峰　024000）

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n次對(duì)稱群Sn的不變子群的個(gè)數(shù)及其證明

白阿拉坦高娃
（赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

摘要：使用不變子群的定義及n次對(duì)稱群Sn的基本概念給出n=1，2，3，4時(shí)Sn的不變子群，并證明了當(dāng)n≥5時(shí)Sn只有3個(gè)不變子群.

關(guān)鍵詞：n次對(duì)稱群Sn；不變子群；單群；交錯(cuò)群

n次對(duì)稱群Sn是一個(gè)非常重要的置換群，因?yàn)槿魏我粋€(gè)有限群與Sn的某一個(gè)子群同構(gòu)，這個(gè)子群有可能是不變子群，若是不變子群那么相應(yīng)的可以找到商群被咱們利用，所以討論有限群或n次對(duì)稱群Sn時(shí)，Sn的不變子群必不可少的.文獻(xiàn)［1～3］給出了S4有30個(gè)子群、S6有1455個(gè)子群、S7有11300個(gè)子群.本文使用不變子群的定義及n次對(duì)稱群Sn的基本概念給出n=1，2，3，4時(shí)Sn的不變子群，并證明了當(dāng)n≥5時(shí)Sn只有3個(gè)不變子群.

1　預(yù)備知識(shí)

定義1有限集的一一變換叫做一個(gè)置換，每一置換都可以表示為若干個(gè)不相連置換的乘積.

定義2一個(gè)包含n個(gè)元的集合的全體置換作成的群叫做n次對(duì)稱群Sn，Sn的階是n！.

定義3群G的一個(gè)子群N叫做一個(gè)不變子群，假如對(duì)于?a∈G，都有

Na=aN

定義4n次對(duì)稱群Sn的所有偶置換作成的群叫做交錯(cuò)群An，An的階是

定義5只有平凡不變子群的群叫做單群.

定理1.1［4］群G的一個(gè)子群N是一個(gè)不變子群?aNa-1∈N（?a∈G）?ana-1∈N（?a∈G，?n∈N）

定理1.2指數(shù)為2的子群一定是不變子群.

證明設(shè)N是群G的指數(shù)是2的子群.那么

（Ⅰ）當(dāng)?n∈N?G時(shí)，由子群的定義可知，

Na=N=aN

（Ⅱ）當(dāng)?a?N但n∈G時(shí)，由子群N的指數(shù)是2可知，

G=Na∪N=aN∪N

即Na=aN

綜上子群N是一個(gè)不變子群.

定理1.3任何一個(gè)群至少有兩個(gè)不變子群｛e｝和群本身（這兩個(gè)稱為平凡不變子群）.

證明設(shè)G是一個(gè)群，那么只包含單位元e的集合是它的一個(gè)子群｛e｝，對(duì)于?a∈G來說，

｛e｝a=｛ea｝=｛a｝=｛ae｝=a｛e｝

成立，那么｛e｝是G的一個(gè)不變子群.

對(duì)于?a∈G來說，Ga=G=aG，即G是不變子群.

定理1.4設(shè)N是群G的子群H的一個(gè)子群，且N又是G的不變子群，則N是H的一個(gè)不變子群.

證明對(duì)于?h∈H?G，?n∈G，

因?yàn)镹又是G的不變子群，所以?a?G來說，?ana-1∈N

那么

?hnh-1∈N

即N是H的一個(gè)不變子群.

定理1.5［5］若n≥5，則An是單群.

2　主要結(jié)果——關(guān)于Sn的所有不變子群的個(gè)數(shù)及確定

2.1討論S1的不變子群

S1=｛（1）｝，S2=｛（1），（12）｝=（12））

都是循環(huán)群，所以也是一個(gè)交換群，那么它們的子群都是不變子群，再由定理1.2可知

命題2.1S1只有一個(gè)不變子群：S1本身；S2只有兩個(gè)不變子群，即平凡子群.

2.2討論S3的不變子群

S3=｛（1），（12），（13），（23），（123），（132）｝有6個(gè)子群，分別是：

其中，子群

在S3里的指數(shù)是，那么它是S3的一個(gè)不變子群（由定理1.1可知），但子群（12）、（13）、（23）不是不變子群，因?yàn)?/p>

綜上可得：

命題2.23次對(duì)稱群S3存在且只存在3個(gè)不變子群；其中，除了平凡不變子群之外只有一個(gè)不變子群A3=｛（1），（123），（132）｝.

2.3討論S4的不變子群

存在且只存在30個(gè)子群；其中，除去兩個(gè)平凡子群之外，共有9個(gè)二階循環(huán)子群，4個(gè)三階循環(huán)子群，3個(gè)四階循環(huán)子群Z4，4個(gè)Klein4元群，4個(gè)S3（在同構(gòu)意義之下），3個(gè)8階子群以及1個(gè)A4（可見文獻(xiàn)［3］）.下面利用定理1.1，討論的不變子群：

其中，子群

在S4里的指數(shù)是由定理1.2可知A4是S4的一個(gè)不變子群.

S4的一個(gè)Klein4元子群H=｛（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）｝也是S4的一個(gè)不變子群.因?yàn)閷?duì)于?τ∈S4，?λ=（i1i2）（i3i4）∈H來說，

綜上所述

命題2.34次對(duì)稱群S4存在且只存在4個(gè)不變子群；其中，除了平凡不變子群之外，只有2個(gè)不變子群，即｛（1），

2.4討論Sn（n≥5）的不變子群

命題2.4n次對(duì)稱群Sn存在且只存在3個(gè)不變子群；其中，除了平凡不變子群之外，有唯一的非平凡不變子群An.

證明 （i）由定理1.2，顯然子群An是Sn的一個(gè)不變子群.

（ii）若N是Sn的一個(gè)不變子群，且N≠An，令H=N∩An，因?yàn)锳n是Sn的不變子群，再由不變子群的交集也是不變子群可得，H也Sn的是不變子群，于是由定理1.4可知H是An的不變子群.由定理1.5，有H=｛（1）｝或H=An.

①若H=An，則N?H=An，即N=An或N=Sn；

于若H=｛（1）｝，則N中除單位元以外沒有偶置換，下面證明N=｛（1）｝，首先N中元素的階都小于3.因?yàn)槿籀印蔔，τ≠（1），τ的階大于2，則τ≠（1），a2是偶置換，矛盾，因此?τ∈N，有τ2=（1）；假設(shè)τ，λ是N中任意的奇置換，則τλ是偶置換，因此τλ=（1），于是τλ=τ2=（1）?τ=λ，由此N中最多只包含一個(gè)奇置換；若N=｛（1），τ｝是Sn的不變子群，則?λ∈Sn，有τλ=λτ這是不可能的，因?yàn)樵O(shè)τ（i）=j，1≤i≤n，取λ∈Sn滿足λ （i），λ（j）=k≠j，于是λτ（i）=k≠j=τλ（i）.即?λ∈Sn，使得τλ≠λτ，因此N=｛（1）｝.綜上，N=｛（1）｝、N=An或N=Sn.

參考文獻(xiàn)：

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中圖分類號(hào)：O153

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）06-0006-02

收稿日期：2016-03-22