感悟數(shù)形結(jié)合思想，強(qiáng)化思維策略

花修平

摘 要：隨著素質(zhì)教育的不斷發(fā)展和教育體制的變革，教育行業(yè)不斷進(jìn)步。而數(shù)學(xué)具有綜合性、復(fù)雜性和邏輯性的學(xué)科，影響著學(xué)生未來的擴(kuò)散思維和邏輯思維能力的養(yǎng)成。在進(jìn)行數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，使用數(shù)形相結(jié)合的方式，有助于學(xué)生創(chuàng)新思維和觀念的養(yǎng)成，有助于提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的質(zhì)量和效率。在新課程改革不斷深入的背景下，人們對數(shù)學(xué)教學(xué)有了更高要求，因此，就要求教師在教學(xué)的過程中，要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。本文就結(jié)合蘇教版初中數(shù)學(xué)教材，探究數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢和運(yùn)用方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；初中數(shù)學(xué)；思維；戰(zhàn)略

隨著教育體制和社會的進(jìn)步，社會對人才的要求越來越高，使得教育模式也隨之發(fā)生改變，由原有的應(yīng)試教育改變成為素質(zhì)教育。但是，在現(xiàn)階段初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，要求學(xué)生不但要全面地掌握知識，還要能夠?qū)⒅R運(yùn)用到實(shí)際生活中，所以，教師要改變原來的教學(xué)方法，融入數(shù)形思想，使學(xué)生對知識的理解和吸收更加深刻。通常情況下，數(shù)形結(jié)合教學(xué)模式，能夠在闡述知識時更具直觀性，它能夠把抽象的教材知識點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圖像和圖形，從而使學(xué)生更準(zhǔn)確、牢固地掌握知識。

一、“數(shù)形結(jié)合”概述

數(shù)形結(jié)合就是把抽象化、難以理解的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)變成為更加直觀的圖形，便于學(xué)生掌握和理解。從本質(zhì)上說，就是把代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀螁栴}。數(shù)形結(jié)合方法是對數(shù)學(xué)學(xué)科進(jìn)行研究的關(guān)鍵方法，它能夠把抽象、復(fù)雜的代數(shù)和形象直觀的幾何結(jié)合起來，把形象直觀和抽象思維結(jié)合起來，使抽象的數(shù)學(xué)問題更加生動化和主觀化，把抽象的思維轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗笏季S，能夠促進(jìn)學(xué)生更好地掌握、理解數(shù)學(xué)問題。在初中數(shù)學(xué)階段使用數(shù)形結(jié)合的思想，有利于學(xué)生培養(yǎng)抽象性思維和數(shù)學(xué)邏輯思維。在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以通過四個方面來開展：一是形成合適的代數(shù)模型，主要針對函數(shù)模型、不等式和方程問題；二是形成合適的函數(shù)圖像或是幾何模型，主要針對解決函數(shù)和方程問題；三是解決和函數(shù)相關(guān)的幾何綜合、代數(shù)等問題；四是使用圖像的形式把要解決的問題呈現(xiàn)出來。使用數(shù)形思想的關(guān)鍵點(diǎn)就在于要把握好形和數(shù)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。如果能夠有效地把點(diǎn)和形結(jié)合在一起，就可以使很多難題迎刃而解。另外，教師要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，使用綜合、概括、抽象、分析、觀察和類比，主動使用數(shù)形結(jié)合觀念。

二、數(shù)形結(jié)合的有效策略

1.以數(shù)化形方法

以數(shù)化形方法就是把代數(shù)問題中的條件及數(shù)量關(guān)系利用圖形表現(xiàn)出來，借助“圖形”的直觀性來探究數(shù)量關(guān)系，由數(shù)化形，數(shù)形結(jié)合，從而拓寬思路轉(zhuǎn)化思維方式，使難題變?yōu)橐最}，直觀、簡捷地找到解題途徑，這種思維策略體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，這種思維策略要滲透給學(xué)生，在函數(shù)部分教學(xué)這一策略會經(jīng)常用到。如下面這道題：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）中的x與y的部分對應(yīng)值如表：

下列結(jié)論：（1）ac<0；（2）當(dāng)x>0時，y的值隨x值的增大而減??；（3）3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一個根；（4）當(dāng)-10。其中正確的個數(shù)為（ ）

A.4個 B.3個 C.2個 D.1個

題目給出的數(shù)量關(guān)系是表格的形式，很多學(xué)生會根據(jù)數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的表達(dá)式后再去解決問題。實(shí)質(zhì)上，從圖表的數(shù)據(jù)中我們可以觀察出，x從左向右在增大，而y的值先增大后減小，由此就可以確定拋物線開口方向是向下的，再根據(jù)對稱性就可以畫出拋物線的大致圖像。利用圖像解決問題能夠降低這道題目的難度，從而將一個看似復(fù)雜的問題輕松解決，這樣以數(shù)化形的策略把學(xué)生從問題困境中解救出來，也增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

2.以形變數(shù)

以形變數(shù)就是把幾何問題中的變量用字母表示，用數(shù)量關(guān)系描述圖形性質(zhì)，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題。這種思維策略體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想和方程函數(shù)思想。

例如，某年南京中考數(shù)學(xué)的第22題，小穎和小亮上山游玩，小穎乘坐纜車，小亮步行，兩人相約在山頂?shù)睦|車終點(diǎn)匯合。已知小亮行走到纜車終點(diǎn)的路程是纜車到山頂?shù)穆肪€長的2倍，小穎在小亮出發(fā)后50min才乘上纜車，纜車的平均速度為180m/min。設(shè)小亮出發(fā)xmin后行走的路程為ym。圖中的折線表示小亮在整個行走的過程中y與x的函數(shù)關(guān)系。

小亮行走的總路程是多少，他途中休息了多長時間。

①當(dāng)50≤x≤80時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。

②當(dāng)小穎到達(dá)纜車終點(diǎn)時，小亮離纜車終點(diǎn)的路程是多少？

這是一道典型的數(shù)形結(jié)合題，題目中給了相應(yīng)的圖像和數(shù)量關(guān)系，并要求學(xué)生根據(jù)圖像和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析，最后得出結(jié)論。根據(jù)題意我們可以得知，x、y分別代表一個變量，x代表的是小亮出發(fā)的時間，y代表的是小亮行走的路程，分析到這里，我們就可以直接得出第一小題的答案，從圖形中直接就可以看出，小亮行走的路程是3600米，中途30～50分鐘的時候，小亮的路程變化為0，由此得出，小亮的休息時間是20分鐘。這道題解答到這里，我們已經(jīng)可以從圖像中得出這些內(nèi)容，從而解答出第一題總路程為3600米，途中休息了20分鐘。

再來看第二小問，根據(jù)題意我們可以知道，50～80分鐘的時候，小亮行走的路程與時間之間的關(guān)系是一次函數(shù)的圖像的一部分，因而把（50，1950）、（80、3600）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，從而實(shí)現(xiàn)了以形變數(shù)的策略。

根據(jù)題中的文字描述我們可以知道，小亮行走的路程是小穎乘坐纜車行走的兩倍，由此可以得出小穎乘坐纜車行走的路程為1800米，由于纜車的平均速度為180m/分，所以小穎乘坐纜車到達(dá)終點(diǎn)所用的時間是10分鐘，由小穎在小亮出發(fā)后50分鐘才坐上纜車，對應(yīng)于圖像，我們可以知道在小亮休息結(jié)束后，小穎又開始出發(fā)的，因而我們可以知道在小穎到達(dá)終點(diǎn)20分鐘之后，小亮又到達(dá)了終點(diǎn)，也就是在小亮出發(fā)60分鐘后，小穎就已經(jīng)到達(dá)了終點(diǎn)。根據(jù)之前求出的x、y的函數(shù)表達(dá)式，可以將x=60帶入，最后求出y的值，用3600減去y的值，就可以得出答案。這道題進(jìn)行到這里我們可以看出，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)的能力也是非常重要的，縱觀幾年來的中考題和模擬題，有許多的題目都是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，要么將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，要么將形轉(zhuǎn)化成數(shù)，無論是哪種轉(zhuǎn)化，都需要學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的思想掌握地非常透徹。

三、數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢

使用數(shù)形結(jié)合，能夠使學(xué)生解決疑難問題更具靈活性，使學(xué)生解決問題和分析問題的能力得以提升。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，能夠讓學(xué)生更加理解數(shù)形結(jié)合是要找到形和數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)，再按照對象的屬性，把形和數(shù)有效地結(jié)合在一起，互相轉(zhuǎn)化，找到更為簡單的解題思路。

例如，2015年蘇州中考數(shù)學(xué)試卷第27題：如圖，已知二次函數(shù)y=x2+（1+m）x-m（其中0

本題主要考查了二次函數(shù)與幾何的綜合，以及勾股定理、相似三角形和二次函數(shù)最值求法等知識點(diǎn)。求P的坐標(biāo)時，如果利用傳統(tǒng)的方法，過P點(diǎn)作PD⊥y軸于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程可以得到P點(diǎn)坐標(biāo)，不過這種方法的計算量很大。若采用數(shù)形結(jié)合的思想，由拋物線的對稱性，得PB=PC，通過求BC的垂直平分線與拋物線對稱軸l的交點(diǎn)即可。同樣，在第3小題中需要證明∠ACP為直角，采用勾股定理的逆定理也是比較麻煩的。觀察幾何圖形不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、B、C在⊙P上，因?yàn)椤螦BC=450，所以很快得到∠ACP=2∠ABC=900。對于這樣的中考壓軸題難度是可想而知的，解題時必須在充分利用幾何圖形的性質(zhì)及題設(shè)的基礎(chǔ)上，挖掘幾何圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，在復(fù)雜的“背景”下辨認(rèn)、分解基本圖形，或通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形，并善于聯(lián)想所學(xué)知識，突破思維障礙，借助數(shù)形結(jié)合思想簡化解題過程。

在教學(xué)過程中，教師要有意識地引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去觀察問題，就有可能得出不同的思考過程和不同的解題方法。因此，教師應(yīng)注重學(xué)生數(shù)學(xué)思想意識的培養(yǎng)，逐步訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)思維活動的能力，這樣能夠以量變促質(zhì)變，從而優(yōu)化解題過程，提高解題能力，并因此形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的廣泛遷移，實(shí)現(xiàn)思維策略的強(qiáng)化。

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