分數(shù)階不確定奇異系統(tǒng)的鎮(zhèn)定

李路路,吳保衛(wèi),曹　曄,馬亞靜

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,陜西 西安 710062)

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分數(shù)階不確定奇異系統(tǒng)的鎮(zhèn)定

李路路,吳保衛(wèi),曹曄,馬亞靜

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,陜西 西安 710062)

摘要:研究階數(shù)0<α<1的分數(shù)階不確定奇異系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題.利用矩陣奇異值分解和線性矩陣不等式方法提出新的基于觀測器的魯棒狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定的充分條件, 同時給出該條件下觀測器和狀態(tài)反饋控制器的具體求解方法.最后通過數(shù)值例子驗證該方法的有效性.

關(guān)鍵詞:分數(shù)階不確定奇異系統(tǒng); 觀測器; 反饋控制器; 線性矩陣不等式

0引言

利用分數(shù)階模型能夠更精確地描述一些復(fù)雜系統(tǒng)(如粘彈性材料電子電路和熱傳導等). 因此, 分數(shù)階微積分作為一個有效的數(shù)學工具, 已被廣泛應(yīng)用于生物科學及工業(yè)工程等領(lǐng)域[1-2]. 穩(wěn)定性問題是控制理論的一個重要分支,近年來分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性研究受到學者們的關(guān)注[3-4].但是在實際系統(tǒng)中, 由于各種不可避免的因素,使得系統(tǒng)模型的建立常帶有不確定性.文獻[3]用Lyapunov方法研究了區(qū)間不確定分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 文獻[4-5]分別給出了當0<α<1和1<α<2時區(qū)間不確定分數(shù)階系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充要條件.文獻[6-8]用線性矩陣不等式的方法給出了設(shè)計分數(shù)階系統(tǒng)的狀態(tài)反饋或輸出反饋控制器的充要條件.

奇異系統(tǒng)由微分方程描述的子系統(tǒng)和代數(shù)方程描述子系統(tǒng)構(gòu)成, 分別表示狀態(tài)變量的動態(tài)特征和靜態(tài)關(guān)系. 與標準系統(tǒng)相比,奇異系統(tǒng)能更好地表示系統(tǒng)的物理特性, 且奇異系統(tǒng)的描述更為直接和適用. 因而奇異系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)[9], 經(jīng)濟系統(tǒng)等領(lǐng)域. 文獻[10] 研究了分數(shù)階奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性, 文獻[12-13]研究了0<α<2的分數(shù)階不確定奇異系統(tǒng)的魯棒漸進穩(wěn)定性問題.以上方法均在狀態(tài)已知的前提下使用，在實際中系統(tǒng)狀態(tài)并不完全可知，因此需要基于觀測器的控制.文中考慮基于觀測器的不確定分數(shù)階奇異系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.運用矩陣奇異值分解和線性矩陣不等式方法給出分數(shù)階不確定奇異系統(tǒng)魯棒漸進穩(wěn)定的充分條件.采用以下記號: MT是M的轉(zhuǎn)置,sym{X}=XT+X,?表示kronecker積.

1問題描述與預(yù)備知識

首先, 給出分數(shù)階微分的Caputo定義:

(1)

考慮如下分數(shù)階奇異系統(tǒng)

(2)

其中α∈(0,1)為分數(shù)階系統(tǒng)的階數(shù),E∈Rn×n為奇異矩陣,且rank(E)=r

定義1[6]對于分數(shù)階奇異系統(tǒng)(2), 如果?λ∈C, 使得|λαE-A|≠0,即|λαE-A|不恒為零, 那么(E,A)是正則的.

定義2對分數(shù)階奇異系統(tǒng)(2), 如果系統(tǒng)是正則的, 脈沖自由且穩(wěn)定的, 那么稱系統(tǒng)是可容許的.

引理1[6,10]分數(shù)階奇異系統(tǒng)(2)是可容許的, 如果下列條件同時成立:

(ⅰ) 若存在2個非奇異矩陣P和Q使得

PEQ=diag(Ir,N),PAQ=diag(A1,In-r),

(3)

其中A1∈Rr×r,N∈R(n-r)×(n-r)是冪零矩陣,系統(tǒng)(2)是正則的.

(ⅱ) 若deg(det(βE-A))=rank(E), 則系統(tǒng)(2)是脈沖自由的.

(ⅲ) 若系統(tǒng)(2)的有限特征值滿足|arg(λ)|>πα/2,i=1,2,…,r,則系統(tǒng)(2)是穩(wěn)定的.

考慮如下不確定分數(shù)階奇異系統(tǒng)

(4)其中α∈(0,1)為分數(shù)階系統(tǒng)的階數(shù),x(t)∈Rn是狀態(tài)變量,u(t)∈Rm是控制輸入,y(t)∈Rp是控制輸出,A∈ Rn×n,C∈ Rp×n,E∈ Rn×n是系統(tǒng)矩陣, 且E為奇異矩陣, 并且rank(E)=r

系統(tǒng)(4)的觀測器

(5)

(6)

其中

(7)

則系統(tǒng)(6)對應(yīng)的自治系統(tǒng)為

(8)

其中

(9)

引理3[7]對任意矩陣Π∈ Rm × n且m

Π =U[S0]VT.

(10)

其中S=diag{σ1,σ2,…,σm}∈Rm× m,σ1≥σ2≥ ,…,≥σm>0,U∈ Rm× m,V∈ Rn×n是酉矩陣.

(11)

其中X11∈ Rm× m,X22∈R(n-m)× (n-m),V∈ Rn×n是酉矩陣.

引理5[13]對任意矩陣X,Y和合適維數(shù)的正定矩陣Q,有

XTY+YTX≤ XTQX+YTQ-1Y.

(12)

特別地, 當Q=εI時,有

XTY+YTX≤εXTX+(1/ε)YTY.

(13)

2主要結(jié)果

定理1對于正則系統(tǒng)(8),如果存在正定矩陣P1∈ Rn×n,P2∈ Rn×n,Q∈R2(n-r)×2n, 以及正數(shù)εi(i=1,2,3),使得矩陣

(14)

成立,則閉環(huán)系統(tǒng)(8)是魯棒可容許的.其中

證明如果存在2個正定矩陣Q11和Q21, 2個反對稱矩陣Q12和Q22以及Q∈R2(n-r)× 2n,使得

(15)

那么由引理2得系統(tǒng)(8)是可容許的.

令Q11=Q21=P0=diag(P1,P2),Q22=Q12=0,得

(16)

將

代入式(16)可得

(17)

應(yīng)用引理5得

(18)

由F(t)FT(t)≤I得

(I2?F(t))?(I2?F(t))T=I2?(F(t)FT(t))≤I.

(19)

注意到θi1θi1T=I2(i=1,2),ΔA=MFN,由引理5,?εi>0(i=1,2),有

(20)

類似以上討論,可得

(21)

則

(22)

運用Schur補得不等式(22)等價于不等式(14).定理1證畢.

由于存在非線性項P1BK與P1L,P2L, 所以不等式(14)不是LMI. 通過奇異值分解方法,可將式(14)轉(zhuǎn)換成LMI.

定理2對系統(tǒng)(4), 假設(shè)行滿秩的矩陣B的奇異值分解為

(23)

其中，S1=diag(σ1,σ2,…,σm)∈Rm×m,σ1≥σ2≥…≥σm>0,U1∈Rm×m,V1∈Rn×n是酉矩陣.如果存在2個對稱正定矩陣P1∈ Rn×n,P2∈ Rn×n和矩陣X1∈Rn×p,X2∈Rm×n,X3∈Rm× n,Q∈R2(n-r)×2n, 以及實常數(shù)εi(i=1,2,3),使得矩陣

(24)

成立.則閉環(huán)系統(tǒng)(8)是魯棒可容許的.其中

其中P11∈ Rm× m,P22∈R(n-m)×(n-m),V∈ Rn×n是酉矩陣.

特別地, 在系統(tǒng)(8)的Acl的中去掉第二行第二列,容易得到如下推論.

推論1階數(shù)0<α<1 的分數(shù)階奇異不確定線性系統(tǒng)(4)在狀態(tài)反饋輸入u(t)=Kx(t)下是漸近穩(wěn)定的,當且僅當存在一個矩陣X∈Rm×n, 一個對稱正定矩陣P0∈Rn×n, 矩陣Q∈R(n-r)×n,3個標量εi>0(i=1,2,3),使得

其中

3數(shù)值算例

考慮形如式(4)的分數(shù)階奇異不確定線性系統(tǒng):α=0.8,

F(t)=diag(sin(0.1πt),cos(0.2πt),sin(0.1πt)).

A有2個穩(wěn)定特征值-2.4142,-3.000和1個不穩(wěn)定特征值0.414 2.不滿足引理3中線性矩陣不等式(9),即當u(t)=0時, 系統(tǒng)(4)不穩(wěn)定. 對矩陣BT作奇異值分解, 則

利用Matlab中LMI工具箱進行驗證,不等式(14)是可行的, 這表明基于觀測器的不確定系統(tǒng)(9)在狀態(tài)反饋下是魯棒漸進穩(wěn)定的, 其中一個可行解為

K=[0.834 7-0.756 7-1.178 2], L=[1.270 9-0.177 2-0.401 6]T.

上述分數(shù)階系統(tǒng)在狀態(tài)反饋控制器下的時間響應(yīng)曲線如圖1所示.

4結(jié)束語

研究了階數(shù)0<α<1的分數(shù)階不確定奇異系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定問題. 用矩陣奇異值分解和線性矩陣不等式方法提出了新的基于觀測器的魯棒狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定的充分條件, 同時給出了該條件下觀測器和狀態(tài)反饋控制器具體的求解方法.

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編輯、校對：師瑯

文章編號:1006-8341(2016)02-0190-07

DOI：10.13338/j.issn.1006-8341.2016.02.010

收稿日期：2015-09-06

基金項目:國家自然科學基金資助項目(61403241，11771233)

通訊作者:吳保衛(wèi) (1963—),男,陜西省咸陽市人，陜西師范大學教授,研究方向為控制理論.

中圖分類號：O 231

文獻標識碼：A

Stabilization of fractional-order singular uncertain systems

LILulu,WUBaowei,CAOYe,MAYajing

(College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi′an 710062, China)

Abstract:The stabilization for fractional-order singular(FOS) uncertain linear systems with the fractional commensurate order 0<α<1 was researched.By using the matrix singular value decomposition(SVD)and linear matrix inequality (LMI) technics, the sufficient conditions for robust state feedback stabilization based on the state observer were derived.The efficient approach were also presented for designing the observer and the state feedback controller under this condition. Finally, numerical example demonstrates the validity of this approach.

Key words:fractional-order singular uncertain systems; observer; feedback controller; linear matrix inequality (LMI)

E-mail:wubw@snnu.edu.cn

引文格式：李路路,吳保衛(wèi),曹曄,等.分數(shù)階不確定奇異系統(tǒng)的鎮(zhèn)定[J].紡織高?；A(chǔ)科學學報,2016,29(2)：190-196.

LI Lulu,WU Baowei,CAO Ye,et al.Stabilization of fractional-order singular uncertain systems[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(2):190-196.