雙分數(shù)隨機利率下缺口期權(quán)定價模型

金宇寰,薛　紅,馮進鈐

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

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雙分數(shù)隨機利率下缺口期權(quán)定價模型

金宇寰,薛紅,馮進鈐

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

摘要:為了刻畫金融資產(chǎn)的長期記憶性,消除分數(shù)布朗運動市場中的金融套利,采用雙分數(shù)布朗運動刻畫缺口期權(quán)標的資產(chǎn)價格變化的行為模式.假定股票價格遵循雙分數(shù)布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程,利率滿足由雙分數(shù)布朗運動驅(qū)動的 Vasicek 模型,利用雙分數(shù)布朗運動隨機分析理論和保險精算方法,建立雙分數(shù)隨機利率下金融市場數(shù)學(xué)模型,得到雙分數(shù)隨機利率下的缺口期權(quán)定價公式,對分數(shù)布朗運動環(huán)境下缺口期權(quán)定價公式進行了推廣．

關(guān)鍵詞:雙分數(shù)布朗運動;缺口期權(quán);隨機利率;保險精算

0引言

近年來,作為一種防范金融風(fēng)險或投機的有效手段,期權(quán)理論得到迅速發(fā)展．按其賦予的權(quán)利不同,期權(quán)可分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán)．按其執(zhí)行時間不同,可分為歐式期權(quán)和美式期權(quán)．除了標準歐式和美式看漲、看跌期權(quán)外,還有很多不同的復(fù)雜的新型期權(quán),缺口期權(quán)就是其中的一種．歐式缺口期權(quán)是一種奇異期權(quán),其特點是到期收益不是與執(zhí)行價格比較,而是與缺口比較．文獻[1]建立了分數(shù)布朗運動環(huán)境下金融市場數(shù)學(xué)模型,得到了缺口期權(quán)定價公式.文獻[2]在幾何布朗運動環(huán)境下利用風(fēng)險中性估值原理,給出了缺口期權(quán)定價公式．文獻[3]利用偏微分方程方法給出了歐式缺口看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價公式．文獻[4]在標的股票價格服從幾何分數(shù)布朗運動的假設(shè)下,在風(fēng)險中性概率測度下,得到歐式缺口期權(quán)的定價公式．雙分數(shù)布朗運動[5-8]是一種比分數(shù)布朗運動更為廣泛的高斯過程,不僅具有自相似性和長期記憶性,而且在一定限制條件下是一個半鞅,因此可應(yīng)用于金融領(lǐng)域.Mogen Bladt等于1998年首次提出期權(quán)定價的保險精算方法[9],此方法在一定程度克服了Black-Scholes模型假設(shè)嚴格、公式推導(dǎo)較為繁瑣的不足,同時其適用于有套利、非均衡、不完備的市場.文獻[10]利用分數(shù)跳-擴散過程理論以及保險精算方法,獲得了創(chuàng)新重置看漲期權(quán)定價公式.文獻[11]利用保險精算思想,通過公平保費原理推導(dǎo)出歐式看漲期權(quán)和冪型支付的歐式看漲期權(quán)的定價公式．關(guān)于保險精算的概念及其在期權(quán)定價中的應(yīng)用參見文獻[12-14],本文結(jié)合雙分數(shù)布朗運動的隨機分析理論，并利用保險精算方法探討雙分數(shù)隨機利率下缺口期權(quán)定價問題及其定價公式．

1缺口期權(quán)定價公式

定理1歐式缺口看漲期權(quán)在0時刻的保險精算價格

(1)

其中Φ(x)為標準正態(tài)分布函數(shù),且

D1=σ2δ2T2HK, D2=σ2(1-δ2)T2HK,

注1當K=1時,可得分數(shù)隨機利率下缺口期權(quán)定價公式(見文獻[1]).

注3當X=G,K=1時,可得分數(shù)隨機利率下歐式期權(quán)定價公式(見文獻[15]).

2相關(guān)引理及定義

為證明定理1,首先給出相關(guān)引理及定義.

其中H∈(0,1), K∈(0,2).

當K=1時,雙分數(shù)布朗運動退化為分數(shù)布朗運動,當K=1, H=1/2時,雙分數(shù)布朗運動退化為標準布朗運動．

假定股票價格S(t)和利率r(t)分別滿足

(2)

(3)

則wick-Ito公式的積分形式為

(4)

同時wick-Ito公式的微分形式為

(5)

引理2隨機微分方程(2)的解為

(6)

引理3隨機微分方程(3)的解為

(7)

則

從而可得結(jié)果．

引理4[16]假定a,b,c,d,k為實數(shù),且

ξ1～N(0,1),ξ2～N(0,1),cov(ξ1,ξ2)=ρ,

則

其中Φ(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)．

引理5[16]假定a,b,c,k為實數(shù),且ξ1,ξ2,ξ3服從標準正態(tài)分布,有

cov(ξ1,ξ3)=ρ,cov(ξ1,ξ2)=0,cov(ξ2,ξ3)=0,

則

其中Φ(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)．

定義2[17]股票價格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報率β(u)定義為

引理6股票價格{S(t),t≥0}在[0,t]上的期望回報率

β(u)=μ(u),u∈[0,t].

證明由引理2可知

又因為

所以

從而可得結(jié)果．

定義3[2]歐式缺口看漲期權(quán)到期日的價值為

(8)

注當G=X時,即為歐式看漲期權(quán)．

定義4[1]歐式缺口看漲期權(quán)的保險精算價格定義為

(9)

3定理1的證明

由引理2及3可得

由于

ξ1,

且

cov(ξ1,ξ2)=0, cov(ξ2,ξ3)=0, cov(ξ1,ξ3)=D4.

記

則

其中

令

則

由引理4得

所以

4結(jié)束語

利用雙分數(shù)布朗運動隨機分析理論和保險精算方法,研究了雙分數(shù)布朗運動環(huán)境下的缺口期權(quán)定價問題,得到了隨機利率下的缺口期權(quán)定價公式,體現(xiàn)了金融資產(chǎn)的長期記憶性．此后，結(jié)合我國金融市場現(xiàn)實情況,該模型還有待進一步改進和修正．

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編輯、校對：師瑯

文章編號:1006-8341(2016)02-0178-06

DOI：10.13338/j.issn.1006-8341.2016.02.008

收稿日期：2015-07-08

基金項目:陜西省教育廳自然科學(xué)專項基金資助項目(12JK0862)；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃資助項目(2015JM1034)

通訊作者:薛紅(1964—),男,山西省萬榮縣人,西安工程大學(xué)教授，研究方向為隨機分析與金融.

中圖分類號：O 211;F 830

文獻標識碼：A

Gap option pricing model under bifractional stochastic interest rate

JINYuhuan,XUEHong,FENGJinqian

(School of Science, Xi′an Polytechnic University, Xi′an 710048, China)

Abstract:In order to reflect the long memory property of the financial assets,and eliminate financial arbitrage in fractional Brownian motion environment,the asset price changes behavior of the gap options is depicted with bifractional Brownian motion.It is assumed that asset price process follows stochastic differential equations driven by bifractional Brownian motion,and the interest rate satisfied the Vasicek model, using the stochastic analysis theory for bifractional Brownian motion and the method of actuarial mathematics,the mathematical model of financial market was built.And the pricing formula of gap option under bifractional stochastic interest rate was obtained. The result of the gap option pricing formula in fractional Brownian motion environment is extended.

Key words:bifractional Brownian motion; gap option; stochastic interest rate; actuarial mathematics

E-mail: xuehonghong@sohu.com

引文格式：金宇寰,薛紅,馮進鈐.雙分數(shù)隨機利率下缺口期權(quán)定價模型[J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報,2016,29(2)：178-183.

JIN Yuhuan,XUE Hong,FENG Jinqian.Gap option pricing model under bifractional stochastic interest rate[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(2):178-183.