空間中特定自仿測度的譜性質(zhì)分析

李　敏

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,陜西 西安 710062)

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空間中特定自仿測度的譜性質(zhì)分析

李敏

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,陜西 西安 710062)

摘要:在三維空間R3中，當M=1/2[p1+p2,p1-p3,p2-p3;p1-p2,p1+p3,-p2+p3;-p1+p2,-p1+p3,p2+p3],D={0,e1,e2,e3}時,其中pj∈Z{0,±1}(j=1,2,3),e1,e2,e3是R3中的單位向量,對迭代函數(shù)系{φd(x)}d∈D產(chǎn)生的自仿測度μM,D的譜性質(zhì)進行分析.得到:(1)當pj∈2Z{0,2}(j=1,2,3)或p1=p2=p3=2時,μM,D是譜測度;(2)當p1,p2,p3至少有一個數(shù)是偶數(shù)時,空間L2(μM,D)中存在無限正交系E(Λ)且Λ?Z3;(3)當pj∈2Z+1{±1}(j=1,2,3)時,μM,D不是譜測度,且空間L2(μM,D)中正交指數(shù)函數(shù)系至多包含4個元素,且數(shù)字“4”是最好的.

關(guān)鍵詞:譜測度;正交指數(shù)函數(shù)系;數(shù)字集

1引言及主要結(jié)論

設(shè)M∈Mn(Z)為n階整數(shù)擴張矩陣,D?Zn為有限數(shù)字集且基數(shù)為|D|.由仿射變換組成的迭代函數(shù)系{φd(x)=M-1(x+d)}d∈D產(chǎn)生的自仿測度μ:=μM，D是滿足等式

(1)

(2)

這里M*表示M的共軛轉(zhuǎn)置矩陣(實際上,M*=Mt)，且

(3)

關(guān)于自仿測度的譜與非譜問題還有以下兩個猜測:

猜測1[10]設(shè)M∈Mn(Z)為擴張矩陣,D?Zn為有限數(shù)字集且0∈D,如果存在S?Zn,0∈S,使得(M-1D,S)為和諧對,則μM，D是譜測度.

猜測2[11]設(shè)M∈Mn(Z)為擴張矩陣,D?Zn為有限數(shù)字集,如果|D|?W(m),這里W(m)是|det(M)|=m的素數(shù)因子的非負整數(shù)組合,則μM，D不是譜測度,且空間L2(μM，D)中正交指數(shù)函數(shù)系至多有有限個.

猜測1和猜測2只能在一定條件下證明其成立[7，10-12]，對于一般情況下是否成立還有待進一步的研究.對于上述M,D,S,由迭代函數(shù)系{Ψs(x)=M*-1(x+s)}s∈S產(chǎn)生的吸引子為T:=T(M*,S),且

(4)

自仿測度的譜與非譜問題主要在平面上進行討論,而且結(jié)論比較完善[13].而空間上僅對M是對角矩陣或上三角矩陣討論過[14].對M是任意的三階矩陣還有一定的難度與復(fù)雜性.本文在此基礎(chǔ)上,對特殊的三階矩陣進行討論,推廣文獻[14]的結(jié)論并得到如下定理.

定理1對于如下形式的擴張矩陣和數(shù)字集

(5)

其中pj∈Z{0,±1}(j=1,2,3),下列結(jié)論成立:

(1)當pj∈2Z{0,2}(j=1,2,3)或p1=p2=p3=2時,μM，D是譜測度;

(2)當p1,p2,p3中至少有一個數(shù)是偶數(shù)時,空間L2(μM，D)中存在無限正交系E(Λ)且Λ?Z3;

(3)當pj∈2Z+1{±1}(j=1,2,3)時,μM，D不是譜測度,且空間L2(μM，D)中正交指數(shù)函數(shù)系至多包含4個元素,且數(shù)字“4”是最好的.

2定理1的證明

設(shè)M∈Mn(Z)為n階整數(shù)擴張矩陣,D?Zn為有限數(shù)字集，且0∈D.若存在S?Zn為有限子集且0∈S,使得(M-1D,S)為和諧對,則由共軛迭代函數(shù)系{φs(x)=M*x+s}s∈S產(chǎn)生的不變子集為Λ(M,S),且M*Λ(M,S)+S=Λ(M,S).當用Λ(M,S)表示0在迭代函數(shù)系{φs(x)}s∈S下的擴張軌跡時,

(6)

E(Λ(M,S))是空間L2(μM，D)的無限正交系,但不一定是空間L2(μM，D)的正交基[15].為了確保E(Λ(M,S))在空間L2(μM，D)中的完備性,Strichartz[5]得到如下定理.

定理A設(shè)M∈Mn(Z)為擴張矩陣,D,S?Zn為有限子集,使得(M-1D,S)為和諧對且0∈D∩S.假設(shè)函數(shù)mM-1D(x)的零點集Z(mM-1D(x))與T(M*,S)不相交,則Λ(M,S)是μM，D的譜.

該定理也是證明μM，D為譜測度的常用方法，對于形如式(5)中的M和D，令

從而有

(7)

由相似變換不改變自仿測度的譜性質(zhì)可知,μM，D與μM0,D0的譜性質(zhì)相同.因此可以通過證明μM0,D0的譜性質(zhì),來得到μM，D的譜性質(zhì),即得到定理1的證明.

定理2對于式(7)中的整數(shù)擴張矩陣M0和數(shù)字集D0,有下列結(jié)論成立:

(1)當pj∈2Z{0,2}(j=1,2,3)或p1=p2=p3=2時,μM0,D0是譜測度;

(2)當p1,p2,p3中至少有一個數(shù)是偶數(shù)時,空間L2(μM0,D0)中存在無限正交系E(Λ0)且Λ0?Z3;

(3)當pj∈2Z+1{±1}(j=1,2,3)時,μM0,D0不是譜測度,且空間L2(μM0,D0)中正交指數(shù)函數(shù)系至多包含4個元素,且數(shù)字“4”是最好的.

證明(1)證明當pj∈2Z{0,2}(j=1,2,3)時，μM0,D0是譜測度.令

(8)

(9)

(10)

(11)

對于式(7)中的數(shù)字集D0,由

x=(x1,x2,x3)t∈R3.

(12)

可得

(13)

其中k1,k2,k3∈Z,a∈R.解式(13)可得

(14)

其中k1,k2,k3∈Z,a∈R.化簡式(14)即可得式(12)的解為A1∪A2…∪A6,其中:

(15)

由式(12)和(15)可得

Z(mD0(x))={x∈R3:mD0(x)=0}=A1∪A2…∪A6.

(16)

(17)

又因為

(18)

(19)

由式(11)和(19),以及定理A可知,對于式(8)中的S0?Z3,Λ0(M0,S0)是μM0,D0的譜.即μM0,D0是譜測度且譜為Λ0(M0,S0).

其次,當p1=p2=p3=2時,由文獻[16]可知μM0,D0的譜測度.綜上證明可知結(jié)論(1)成立.

(2)當p1,p2,p3中至少有一個數(shù)是偶數(shù)時,設(shè)p1∈2Z{0}.因為

且M0α1∈Z3,則由文獻[17]的定理2可知,空間L2(μM0,D0)中存在無限正交系E(Λ0)且Λ0?Z3.同理可證其他情形,故該結(jié)論成立.

(3)由式(16)可知，

Θ0:=Z(mD0(x))=A1∪A2…∪A6,

(20)

令

(21)

再令B=R(Z∪(1/2+Z)).則

(22)

由式(21),經(jīng)過計算可知

(23)

記

(24)

由式(20)～(24),可得

(25)

因為pj∈2Z+1{±1}(j=1,2,3)，所以計算可得

(26)

(27)

其中

(28)

計算可得以下引理.

(h) Z1-Z3=Z6,Z1-Z4=Z5,Z1-Z5=Z4,Z1-Z6=Z3,Z2-Z3=Z5,Z2-Z4=Z6,Z2-Z5=Z3,Z2-Z6=Z4,Z3-Z5=Z2,Z3-Z6=Z1，Z4-Z5=Z1,Z4-Z6=Z2;

假設(shè)λ1，λ2,…,λ5∈R3是使得下面的5個指數(shù)函數(shù)

exp(2πi〈λ1,x〉),exp(2πi〈λ2,x〉),exp(2πi〈λ3,x〉),exp(2πi〈λ4,x〉),exp(2πi〈λ5,x〉)

(29)

由式(27)和(29)可知，下面的10個差

(30)

(31)

則

(32)

結(jié)合式(31)分以下幾個情形證明該定理.

通過下面的步驟1,2,3說明情形1,2,3均不成立,即可證得定理2(3).

步驟1集合G至多包含式(32)中的3個差.

證明首先證明Zj(j=1,2,…,6)至多包含式(32)中的一個差.假設(shè)存在某個j∈{1,2,…,6},使得Zj包含式(32)中的2個差,設(shè)λ2-λ1,λ3-λ1∈Z1,則由引理1(c)可知

λ3-λ2=(λ3-λ1)-(λ2-λ1)∈Z1-Z1?Z3,

再由引理1(b)及式(29)即可推出矛盾.

其次證明Zj與Zj+1(j=1,3,5)不能同時包含式(32)中的差.假設(shè)Z1與Z2包含式(32)中的差,設(shè)λ3-λ1∈Z1,λ2-λ1∈Z2,則

λ3-λ2=(λ3-λ1)-(λ2-λ1)∈Z1-Z2,

由引理1(f)及式(29)即可推出矛盾.

由以上分析可知,集合G至多包含式(32)中的3個差.

(33)

(34)

由式(33),(34)以及引理1(c)可知

λ3-λ2=(λ4-λ2)-(λ4-λ3)∈Z5-Z5?Z3,

再由引理1(b)及式(29)即可推出矛盾.

由引理1(e)及式(29)即可推出矛盾.

由引理1(e)可知

(35)

(36)

結(jié)合引理1(c)以及式(35)，(36)，可得

λ3-λ2=(λ5-λ2)-(λ5-λ3)∈Z6-Z6?Z3,

步驟3結(jié)合步驟1,2以及式(32),分下面兩種情形證明該定理:

并且這兩種情形均不可能成立.

綜上證明可知,當pj∈2Z+1{±1}(j=1,2,3)時,μM0,D0不是譜測度,且空間L2(μM0,D0)中至多有4個正交指數(shù)函數(shù)系.而且可以找到4個正交指數(shù)函數(shù)系,如對式(8)中的S0,指數(shù)函數(shù)系E(S0)就是空間L2(μM0,D0)正交系.從而可知數(shù)字“4”是最好的.

根據(jù)相似變換不改變譜性質(zhì)以及定理2,即可得到定理1的結(jié)論.

例1對如下形式的擴張矩陣和數(shù)字集

則空間L2(μM，D)中存在無限正交系E(Λ)且Λ?Z3.

證明因為

故可作相似變換,令

從而有

由定理2可知,空間L2(μ(M0,D0))中存在無限正交系E(Λ0)且Λ0?Z3,從而空間L2(μM，D)中存在無限正交系E(Λ)且Λ?Z3.

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編輯：武暉；校對：師瑯

文章編號:1006-8341(2016)02-0152-09

DOI：10.13338/j.issn.1006-8341.2016.02.004

收稿日期:2015-03-15

作者簡介:李敏(1989—),女,河南省焦作市人,陜西師范大學碩士研究生,研究方向為譜自仿測度理論. E-mail:limin.good@snnu.edu.cn

中圖分類號：O 174.2

文獻標識碼：A

Analysis of spectral for the certain spatial self-affine measure

LIMin

(College of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi′an 710062，China)

Abstract:The spectrality of the affine-measures μM,Dproduced from iterated function system {φd(x)}d∈Dis analyzed when M=1/2[p1+p2, p1-p3, p2-p3; p1-p2, p1+p3,-p2+p3;-p1+p2,-p1+p3, p2+p3], D={0, e1,e2,e3} are in the space R3, where pj∈ Z{0,±1}(j=1,2,3), e1, e2, e3 are the standard basis of unit column vectors in R3.It is obtained that (1) if pj∈ 2Z{0, 2}(j=1,2,3) or p1=p2=p3=2, then μM,Dis a spectral measure; (2) if there is at least one even number among p1, p2, p3, then there are infinite families of orthogonal exponentials E(Λ) and Λ?Z3;(3)if pj∈ 2Z+1{±1}(j=1,2,3), then μM,Dis a non-spectral measure, and there exist at most 4 mutually orthogonal exponential functions in L2(μM,D), where the number 4 is the best.

Key words:spectral measures;orthogonal exponentials;digital set

引文格式：李敏.空間中特定自仿測度的譜性質(zhì)分析[J].紡織高?；A(chǔ)科學學報,2016,29(2)：152-160.

LI Min.Analysis of spectral for the certain spatial self-affine measure[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(2):152-160.