一類Kirchhoff方程最小能量變號(hào)解的存在性

郭　紅

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

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一類Kirchhoff方程最小能量變號(hào)解的存在性

郭紅

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006)

摘要:研究一類Kirchhoff方程最小能量變號(hào)解的存在性, 其中非線性項(xiàng)滿足指數(shù)增長.首先用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理證明M是非空的, 其次尋找能量泛函在M中的極小值點(diǎn), 最后應(yīng)用形變引理證明極小值點(diǎn)就是方程的最小能量變號(hào)解.方程中由于非局部項(xiàng)的出現(xiàn)導(dǎo)致通常的變分方法不再適用，因此將方程對(duì)應(yīng)的能量泛函限制在M上, 最終得到了方程變號(hào)解的存在性結(jié)果.

關(guān)鍵詞:Kirchhoff方程;Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理;形變引理;變號(hào)解;最小能量

0引言

本文考慮Kirchhoff方程

(1)

變號(hào)解的存在性, 其中Ω是R2中有界光滑區(qū)域,a,b>0是常數(shù). 非線性項(xiàng)f滿足下面條件:

(f1) 對(duì)每個(gè)β>0, 存在一個(gè)正數(shù)Cβ,使得|f(t)|,|f′(t)|≤Cβexp(βt2),t∈R；

近年來,Kirchhoff方程

(2)

已經(jīng)被國內(nèi)外許多作者進(jìn)行了深入研究, 并且得到許多重要結(jié)果[1-11], 其中Ω是RN中的區(qū)域,V(·):Ω→R,f∈C(Ω×R,R),a,b>0是常數(shù). 許多作者研究了Kirchhoff方程的基態(tài)解、正解、多重解等問題. 文獻(xiàn)[5]用Nehair流形及緊性原理證明了問題(2)基態(tài)解的存在性. 其他有關(guān)Kirchhoff方程的研究可參看文獻(xiàn)[12-16].然而,研究Kirchhoff方程變號(hào)解的結(jié)果還不多,文獻(xiàn)[17]研究了三維情形下Kirchhoff方程變號(hào)解的存在性,他們的非線性項(xiàng)都是次臨界增長,也就是|f(x,t)|≤C(1+|t|p),p∈(1,5).受此啟發(fā), 本文研究帶有指數(shù)增長的Kirchhoff方程變號(hào)解的存在性.

(u,v)=∫Ω▽u·▽v,‖u‖=(u,u)1/2.

空間Lp(Ω)是通常的Lebesgue空間, 其范數(shù)記為|·|p, 1≤p<∞.C和Ck代表不同的正常數(shù).u+(x)=max{0,u(x)},u-(x)=min{0,u(x)}.R+:=[0,+∞).

問題(1)對(duì)應(yīng)的能量泛函為

顯然I∈C1(X,R), 且?u,v∈X,

〈I′(u),v〉=a∫Ω▽u·▽v+b∫Ω|▽u|2∫Ω▽u·▽v-∫Ωf(u)v.

定義M={u∈X:u±≠0,〈I′(u),u+〉=〈I′(u),u-〉=0}.m=min{I(u):u∈M}.

定理1假設(shè) (f1)～(f4)成立,那么方程(1)有一個(gè)最小能量變號(hào)解.

1預(yù)備知識(shí)

引理1假設(shè)f滿足(f1)～(f4),則對(duì)每個(gè)u≠0,u∈X,有

證明(ⅰ) 由(f1)，(f2)知,?β,ε>0,固定的p≥1,都存在Cβ,ε,p，使得

|f(t)|≤ε|t|+Cβ,ε,p|t|p-1exp(βt2),t∈R,

(3)

(4)

由文獻(xiàn)[18],存在常數(shù)C只與Ω有關(guān), 使得當(dāng)u∈X{0},α‖u‖2≤4π時(shí),

∫Ωexp(α|u(x)|2)dx=∫Ωexp(α‖u‖2)[u(x)/‖u‖2]dx≤C.

(5)

取β‖u‖2≤2π,p>2.由式(3)及(5)知,

(6)

由式(6)知

故由ε的任意性及p>2可得

(ⅱ) 由(f2)～(f4)易知,?M>0,?C>0,使得

f(t)t≥Mt4-Ct2,t∈R.

故可得

f(tu)tu≥Mt4u4-Ct2u2,t∈R.

上式同除t4并積分后取極限得

由M的任意性可得

(ⅲ)與(ⅱ)的證明類似.

引理2[19]假設(shè)f滿足條件(f1)～(f4), 序列 {un}?X,使得un?u,則

∫Ωf(un)un→∫Ωf(u)u,∫ΩF(un)→∫ΩF(u).

類似于文獻(xiàn)[17]有下面幾個(gè)引理, 但值得注意的是引理3的證明不同于文獻(xiàn)[16],本文用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理證明M的非空性.

引理3假設(shè)(f1)～(f4)成立, 則?u∈X,u±≠0, 存在唯一正數(shù)對(duì)(su,tu), 使得suu++tuu-∈M.

證明對(duì)給定的u∈X,u±≠0, 定義泛函Φu(s,t)=I(su++tu-),(s,t)∈R+×R+. 直接計(jì)算可得

事實(shí)上, 由Φu的定義知

(7)

即

(8)

下面用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理證明Φu存在臨界點(diǎn).由φ1,φ2的性質(zhì)知存在C1>0, 使得φ1(t)≤t,t>C1;φ2(s)≤s,s>C1. 令C2=max{maxt∈[0,C1]φ1(t),maxs∈[0,C1]φ2(s)},C=max{C1,C2}.定義H:[0,C]×[0,C]→R+×R+,H(s,t)=(φ1(t),φ2(s)).由定義可知H(s,t)∈[0,C]×[0,C].注意到H是連續(xù)的,故由Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理知?(s′,t′)∈[0,C]×[0,C], 使得(φ1(t′),φ2(s′))=(s′,t′). 通過φ1,φ2的定義知

因此, (s′,t′)是Φu的臨界點(diǎn). 下證臨界點(diǎn)是唯一的.

(9)

(10)

由式(9)知

(11)

引理4[13]假設(shè)u∈X,u±≠0, 則(su,tu)是Φu(s,t)的唯一的最大值點(diǎn), 其中(su,tu)由引理3得到.

引理5[13]假設(shè)(f1)～(f4)成立,且u∈X,u±≠0, 〈I′(u),u+〉≤0, 〈I′(u),u-〉≤0, 則0

引理6[13]假設(shè)(f1)～(f4)成立,則m>0可達(dá),即?u∈M,使得m=I(u).

2定理1的證明

證明證明引理6得到的極小化點(diǎn)u就是問題(1)的變號(hào)解. 用形變引理證明I′(u)=0.

令λ=min{|u+|2,|u-|2},由嵌入定理知|u|2≤S‖u‖,其中S為嵌入常數(shù).

反證法. 假設(shè)I′(u)≠0,則?r>0,α>0,使得‖v-u‖≤r時(shí),‖I′(v)‖≥α.

‖I′(v)‖≥8ε/δ,v∈I-1([m-2ε,m+2ε])∩S2δ.

(12)

應(yīng)用形變引理[20],則存在泛函η∈([0,1]×X,X),使得

(a)u?I-1([m-2ε,m+2ε])∩S2δ時(shí),η(1,u)=u.

(b)η(1,Im+ε∩S)?Im-ε.

(c) ‖η(1,u)-u‖≤δ,u∈X.

首先證明

(13)

由引理4知,I(φ(s,t)))≤m

下證

η(1,φ(D))∩M≠?.

定義γ(s,t):=η(1,φ(s,t)),

Ψ1(s,t)=(〈I′(φ(s,t)),su+〉),〈I′(φ(s,t)),su-〉)=(P(s,t),Q(s,t)),

Ψ2(s,t)=(〈I(γ(s,t)),(γ(s,t))+〉,〈I(γ(s,t)),(γ(s,t))-〉).

直接計(jì)算得

因?yàn)棣?是C1的且(1,1)是一個(gè)孤立零點(diǎn),故

deg(ψ1,D,0)=ind(ψ1,(1,1))=sgnJΨ1(1,1)=1.

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編輯、校對(duì)：師瑯

文章編號(hào):1006-8341(2016)02-0135-06

DOI：10.13338/j.issn.1006-8341.2016.02.001

收稿日期：2015-08-31

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11571209，11301313)；山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014021009-1,2015021007)

作者簡介:郭紅(1991—)，女，山西省大同市人，山西大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)榉蔷€性泛函.E-mail:18835126525@163.com

中圖分類號(hào)：O 175.25; O 177

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Existence of sign-changing solution with least energy for a class of Kirchhoff equations

GUOHong

(School of Mathematic and Science,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

Abstract:The existence of sign-changing solution with least energy for a Kirchhoff equation is studied, where the nonlinearity satisfies an exponential growth.Firstly, Brouwer fixed point theorem is used to prove M is nonempty. Secondly, the minimizer of the energy functional on M is found. Then the minimizer is a sign-changing solution with least energy of the Kirchhoff equation is proved by quantitative deformation lemma. Because the appearance of nonlocal term,the usual variational approach is not applicable,so the energy function is restricted on M, a sign-changing solution with least energy for a Kirchhoff equation is obtained.

Key words:Kirchhoff equation; Brouwer fixed point;quantitative lemma;sign-changing solution; least energy

引文格式：郭紅.一類Kirchhoff方程最小能量變號(hào)解的存在性[J].紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2016,29(2)：135-140.

GUO Hong.Existence of sign-changing solution with least energy for a class of Kirchhoff equations[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(2):135-140.