伺服機械系統(tǒng)共振模態(tài)的數(shù)值仿真方法研究*

季冬冬 劉紅俐 朱其新 朱永紅

1. 蘇州科技學院，蘇州215009 2. 景德鎮(zhèn)陶瓷學院，景德鎮(zhèn)333001

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伺服機械系統(tǒng)共振模態(tài)的數(shù)值仿真方法研究*

季冬冬1劉紅俐1朱其新1朱永紅2

1. 蘇州科技學院，蘇州215009 2. 景德鎮(zhèn)陶瓷學院，景德鎮(zhèn)333001

在進行高精度伺服控制系統(tǒng)的設計時，閉環(huán)仿真環(huán)節(jié)必不可少。要進行伺服系統(tǒng)的閉環(huán)仿真，就必須考慮該共振模態(tài)的數(shù)學模型。本文首先介紹了伺服機械系統(tǒng)共振模態(tài)的數(shù)學模型， 其可以看成由一個二階微分環(huán)節(jié)和一個振蕩環(huán)節(jié)相乘得到。其次，提出用一個二階微分環(huán)節(jié)來仿真共振模態(tài)中的反共振部分，用一個振蕩環(huán)節(jié)來仿真共振模態(tài)中的共振部分。最后，給出了一個共振模態(tài)的數(shù)值仿真實例。

共振模態(tài)；數(shù)值仿真；微分環(huán)節(jié)；振蕩環(huán)節(jié)；伯德圖

伺服系統(tǒng)(Servomechanism)又稱隨動系統(tǒng)，是用來精確地跟隨或復現(xiàn)某個過程的反饋控制系統(tǒng)。伺服系統(tǒng)是使物體的位置、方位、狀態(tài)等輸出被控量能夠跟隨輸入目標(或給定值)任意變化的自動控制系統(tǒng)。它的主要任務是按控制命令的要求，對功率進行放大、變換與調(diào)控等處理，使驅動裝置輸出的力矩、速度和位置控制非常靈活方便。在很多情況下，伺服系統(tǒng)專指被控制量(系統(tǒng)的輸出量)是機械位移或位移速度、加速度的反饋控制系統(tǒng)，其作用是使輸出的機械位移(或轉角)準確地跟蹤輸入的位移(或轉角)，其結構組成和其他形式的反饋控制系統(tǒng)沒有原則上的區(qū)別。伺服系統(tǒng)最初用于國防軍工, 如火炮的控制, 船艦、飛機的自動駕駛,導彈發(fā)射等，后來逐漸推廣到國民經(jīng)濟的許多部門,如自動機床、無線跟蹤控制和半導體生產(chǎn)設備等[1-5]。

機械共振是伺服控制中的常見難題之一，其通常是由2個慣性物體間的彈性部分引起的。其中，最常見的是由馬達和負載之間的傳動裝置的彈性引起的，共振是指機械系統(tǒng)所受激勵的頻率與該系統(tǒng)的某階固有頻率相接近時，系統(tǒng)振幅顯著增大的現(xiàn)象。共振時，激勵輸入機械系統(tǒng)的能量最大，系統(tǒng)出現(xiàn)明顯的振型稱為位移共振。此外還有在不同頻率下發(fā)生的速度共振和加速度共振。

機械共振中常見的激勵有直接作用的交變力、支承或地基的振動與旋轉件的不平衡慣性力等。共振時的激勵頻率稱為共振頻率，近似等于機械系統(tǒng)的固有頻率。對于單自由度系統(tǒng)，共振頻率只有一個。對于多自由度線性系統(tǒng)，有多個共振頻率。對于非線性系統(tǒng)，共振區(qū)出現(xiàn)振幅跳躍現(xiàn)象，共振峰發(fā)生明顯變形，并可能出現(xiàn)超諧波共振和次諧波共振。共振時激勵輸入系統(tǒng)的功同阻尼所耗散的功相平衡，共振峰的形狀與阻尼密切相關。大多數(shù)情況下共振是有害的，會引起機械和結構很大的變形和動應力，甚至造成破壞性事故。從機械的角度，防共振有如下措施：改進機械的結構或改變激勵,使機械的固有頻率避開激勵頻率；采用減振裝置；機械起動或停車過程中快速通過共振區(qū)。從控制的角度，減少共振對系統(tǒng)的影響常采用帶阻濾波器[6]。

進行高精度伺服控制系統(tǒng)的設計時，閉環(huán)仿真環(huán)節(jié)必不可少，而進行伺服系統(tǒng)的閉環(huán)仿真，就必須考慮該共振模態(tài)的數(shù)學模型，如果不考慮共振模態(tài)的影響，則所得到的閉環(huán)仿真結果會與實際伺服系統(tǒng)有較大差別。所以研究共振模態(tài)的數(shù)值仿真具有重要意義，但國內(nèi)外尚未見關于機械共振模態(tài)的數(shù)值仿真方法的研究報道。本文在分析共振模態(tài)數(shù)學模型的基礎上，將共振模態(tài)看成由一個二階微分環(huán)節(jié)和一個振蕩環(huán)節(jié)相乘，并提出用一個微分環(huán)節(jié)來仿真共振模態(tài)中的反共振部分，用一個振蕩環(huán)節(jié)來仿真共振模態(tài)中的共振部分。

1 共振模態(tài)的數(shù)學模型

多數(shù)情況下共振由電機與負載之間的柔性引起，如圖1所示。事實上，所有的傳輸元件都有一個彈性系數(shù)，多個彈性系數(shù)加在一起就構成了電機與負載之間的彈性連接[7]。

圖1 電機與負載之間的柔性示意圖

其中，TE為轉矩，AM為電機的加速度，VM為電機的速度，PM為電機的位置，AL為負載的加速度，VL為負載的速度，KS為位置彈性系數(shù)。當電機軸開始旋轉時，耦合的傳輸彈性(這里用KS來表示)會收緊，并在負載上產(chǎn)生一個轉矩，該轉矩與電機和負載的位置差或速度差成比例，其中與電機和負載的位置差成比例的轉矩稱為彈性轉矩，與電機和負載的速度差成比例的轉矩稱為阻尼轉矩；電機產(chǎn)生的驅動負載的轉矩也會反傳回來，從而降低了電機的速度。

由文獻[6-7]可知，當伺服系統(tǒng)只具有一個共振模態(tài)時，其共振模態(tài)可表示如下：

(1)

其中，JM是伺服電機的轉動慣量，JL是負載的轉動慣量，KS是位置彈性系數(shù)，KCV是速度彈性系數(shù)。在低頻時，由于s很小，共振模態(tài)接近單位1，換句話說，在低頻時彈性耦合對系統(tǒng)影響很小，其波特圖如圖2所示。

圖2 伺服系統(tǒng)共振模態(tài)的波特圖

2 共振模態(tài)的數(shù)學模型的數(shù)值仿真實現(xiàn)

在進行閉環(huán)伺服系統(tǒng)仿真時，式(1)中的KC和KCV很難知道，對這2個參數(shù)用戶也可以不關心，所關心的是共振頻率wR、共振幅值MR、反共振頻率wAR和反共振幅值MAR。有了這4個參數(shù)，便可以設計如式(1)所示的共振模態(tài)。在進行共振模態(tài)的仿真時，可考慮模型：

(2)

現(xiàn)在的問題是如何設置式(2)中的待定系數(shù)ξ1,ξ2,wn1,wn2,使L(s)的頻率特性與期望的頻率特性一致，即其頻率特性具有共振頻率wR、共振幅值MR、反共振頻率wAR和反共振幅值MAR。

為設計式(2)中的待定系數(shù)，不妨先考察式(2)中的振蕩環(huán)節(jié)

(3)

在ξ2=0.02,wn2=200πrad/s時，ZD(s)的頻率特性如圖3所示。

圖3 典型振蕩環(huán)節(jié)的波特圖

該波特圖明顯存在一個諧振，目的是用該諧振峰值M2來產(chǎn)生共振模態(tài)中的共振幅值MR。容易證明，該振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率發(fā)生在Wr2處，且其諧振峰值M2與阻尼比ξ2的關系如下[8]：

(4)

(5)

如果已知諧振峰值來反求所需要的阻尼比，式(4)改寫為式(6)便可

(6)

但式(4)和(6)中諧振峰值的單位都不是dB,如果已知共振幅值MR(單位為dB)來求合適的阻尼比，則應先將共振幅值變換為對應的諧振峰值，變換公式如下：

(7)

將式(7)代入(6)可得

(8)

在伺服系統(tǒng)中，當共振模態(tài)的共振幅值較小時，其對系統(tǒng)影響很小，可以不去考慮。需要考慮的共振模態(tài)的共振幅值一般都比較大，所以由式(8)可知，此時的阻尼比ξ2小。

再由式(5)可知，當ξ2很小時有

wr2≈wn2

(9)

在進行共振模態(tài)的仿真時，可以簡單地認為諧振頻率為wn2。所以當共振頻率wR和共振幅值MR給定時，便可以確定ξ2和wn2，也即確定了式(3)所示的振蕩環(huán)節(jié)的模型。

再來考察式(2)中的二階微分環(huán)節(jié)

(10)

在ξ1=0.03,wn2=140πrad/s時，WF(s)的頻率特性如圖4所示。

該波特圖明顯存在一個反諧振，目的是用該反諧振峰值M1來產(chǎn)生共振模態(tài)中的反共振幅值MAR。容易證明，該振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率發(fā)生在wr1處，且其諧振峰值M1與阻尼比ξ1的關系如下[8]：

(11)

(12)

圖4 典型二階微分環(huán)節(jié)的波特圖

但式(11)中的反諧振峰值的單位不是dB,如果已知反共振幅值MAR(單位為dB)來求合適的阻尼比，則應先將反共振幅值變換為對應的反諧振峰值，變換公式如下：

(13)

將式(13)代入(11)可得

(14)

由于反共振幅值MAR的數(shù)值為負，所以此時的阻尼比ξ1很小。再由式(12)可知，當ξ1很小時有

wr1≈wn1

(15)

在進行共振模態(tài)的仿真時，可以簡單地認為反諧振頻率為wn1。所以當反共振頻率wAR和反共振幅值MAR給定時，便可以確定ξ1和wn1，也即確定了式(10)所示的二階微分環(huán)節(jié)的模型。

在知道了對應的振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的數(shù)學模型之后，將這2個環(huán)節(jié)的數(shù)學模型相乘，在波特圖上表現(xiàn)為將這2個環(huán)節(jié)的波特圖相疊加。當這2個環(huán)節(jié)的波特圖疊加到一起時，這2個環(huán)節(jié)在共振頻率和反共振頻率處相互影響，按給定的MAR和MR設計的阻尼比ξ1和ξ2已不能滿足要求，此時可以根據(jù)2個共振幅值誤差的符號，通過循環(huán)的方式微調(diào)阻尼比ξ1和ξ2。微調(diào)的原則是：阻尼比越小，諧振幅值越大；阻尼比越大，諧振幅值越小。在循環(huán)程序內(nèi)，逐漸微調(diào)阻尼比ξ1和ξ2，直到共振幅值和反共振幅值滿足精度要求便可。

3 數(shù)值仿真示例

用本文的方法產(chǎn)生的反共振頻率為250Hz，反共振幅值為20dB，共振頻率為380Hz，共振幅值為20dB的共振模態(tài)的數(shù)學模型如式(16)所示。

(16)

該模型的波特圖如圖5所示。由圖可以清楚地看到，在250Hz處有一個幅值為-20dB的反共振，在380Hz處有一個幅值為20dB的共振，與設計要求一致。

圖5 共振模態(tài)的波特圖

4 結論

在分析了伺服機械系統(tǒng)共振模態(tài)數(shù)學模型的基礎上，提出用一個微分環(huán)節(jié)來仿真共振模態(tài)中的反共振部分，用一個振蕩環(huán)節(jié)來仿真共振模態(tài)中的共振部分，從而實現(xiàn)了對單個共振模態(tài)的數(shù)值仿真。但在實際的伺服機械系統(tǒng)中往往存在多個共振模態(tài)，多個共振模態(tài)的數(shù)值仿真有待于進一步研究。

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[8] 胡壽松.自動控制原理(第6版)[M]. 北京：科學出版社，2013.(Hu Shousong. Automatic Control Theory[M]. Beijing: Science Press, 2013.)

The Numerical Simulation Approach for Resonance Modes of Servo Mechanical System

Ji Dongdong1, Liu Hongli1, Zhu Qixin1, Zhu Yonghong2

1. Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215009, China 2. Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen 333001, China

Theclosedloopsimulationsarerequisitewhentheservocontrolsystemwithhighprecisionisdesigned.Themathematicalmodelofresonancemodemustbeconsideredwhentheclosedloopsimulationsofservosystemsareperformed.Firstly,themathematicalmodelofresonancemodeisintroducedinthispaper.Then,thismodelcanberegardasaproductofadifferentiationelementandanoscillatingelement.Thesecond-orderdifferentiationelementisproposedtosimulatetheresonantpartandtheoscillatingelementisproposedtosimulatetheanti-resonantpart.Finally,anumericalsimulationcasestudyofaresonancemodeisshown.

Resonancemode;Numericalsimulations;Differentiationelement;Oscillatingelement; Bodediagram

*國家自然科學基金(51375323，61164014，61563022)；江西省自然科學重大基金(20152ACB20009)；江蘇省青藍工程、蘇州科技學院科研基金(XKZ201409)；蘇州科技學院大學生創(chuàng)新基金(2013067)

2015-09-21

季冬冬(1992-)，男，江蘇大豐人，本科，主要研究方向為機電控制；劉紅俐(1972-)，女，陜西米脂人，碩士，副教授，主要研究方向為伺服控制；朱其新(1971-)，男，安徽定遠人，博士，教授，主要研究方向為伺服控制與網(wǎng)絡控制；朱永紅(1963-)，男，江西鄱陽人，博士，教授，主要研究方向為網(wǎng)絡控制與信息融合。

TP15

A

1006-3242(2016)03-0073-04