用幾何畫板探究陰影部分的面積

湖北省十堰市第二中學(xué) 黃承洪

先看下面的題目：如圖1:

圖1

扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=2，C是線段OB上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)O，B），以AC為直徑作半圓，設(shè)圖中陰影部分的面積為S，則S的取值范圍是。

這是在2014年中考復(fù)習(xí)備考期間我校舉行的一次模擬測試中我校一位老師出的一道填空題，并給出了如下解答過程：

(1)當(dāng)C運(yùn)動到點(diǎn)O時(shí)（如圖2），

(2)當(dāng)C運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)（如圖3），

∴S的取值范圍為

圖2

圖3

在改卷子的過程中有教師提出異議，認(rèn)為除開端點(diǎn)外C點(diǎn)在移動過程中陰影部分由兩部分組成，其中一部分減小時(shí)另一部分則增大，因此未必在端點(diǎn)處取得最大值和最小值，并試圖通過設(shè)OC=x，建立S與x之間的函數(shù)關(guān)系式來說明，但最終卻無功而返，只能按照所提供的答案進(jìn)行試卷的批改和評講。

為了探究題目的答案是否正確，我和其他老師一樣也想從建立函數(shù)關(guān)系式的角度進(jìn)行研究未果后，我想到幾何畫板除開具有畫圖功能外，還具有度量和計(jì)算的功能，那么能不能用幾何畫板來進(jìn)行研究呢？下面就是我研究的過程。

一、先用幾何畫板畫出圖形，具體步驟如下

先作一個(gè)圓O，構(gòu)造兩條相互垂直的直徑，得到圓上兩點(diǎn)A，B，隱藏圓，依次選中O，A，B，構(gòu)造圓上的弧，再依次作線段OA，OB得直角扇形OAB；

在線段OB上任意取點(diǎn)C，連結(jié)AC，構(gòu)造AC中點(diǎn)，依次選中AC中點(diǎn)，C，A構(gòu)造圓上的弧以O(shè)B為直徑作半圓；（如圖4）

圖4

下面給需要的區(qū)域著色：

在半圓的上任取一點(diǎn)M，構(gòu)造線段OM及與扇形OAB的的交點(diǎn)N，隱藏OM，構(gòu)造線段MN，依次選中點(diǎn)M和線段MN，構(gòu)造軌跡，最后隱藏點(diǎn)M、N和線段MN；

在上任取一點(diǎn)P，構(gòu)造線段OP及與的交點(diǎn)Q，隱藏OQ，構(gòu)造線段PQ，依次選中點(diǎn)P和線段PQ，構(gòu)造軌跡，最后隱藏點(diǎn)P、Q和線段PQ；(如圖5)

圖5

此時(shí)我們移動點(diǎn)C，可以看到陰影部分的面積在變化

二、利用幾何畫板中的度量和計(jì)算功能探究陰影部分的面積

依次選中O、D、A，構(gòu)造圓上的弧，再構(gòu)造弓形內(nèi)部，并度量面積；依次選中AC中點(diǎn)D、A，構(gòu)造圓上的弧，再構(gòu)造弓形內(nèi)部，并度量面積；計(jì)算兩個(gè)弓形的面積差；隱藏所作的弓形；

依次選中O、B、D，構(gòu)造圓上的弧，再構(gòu)造扇形內(nèi)部，并度量面積；依次選中AC中點(diǎn)、C、D，構(gòu)造圓上的弧，再構(gòu)造弓形內(nèi)部，并度量面積；選中O、C、D三點(diǎn)，構(gòu)造三角形內(nèi)部，并度量面積；計(jì)算扇形面積減去弓形的面積和三角形面積的差；隱藏所作的扇形、弓形和三角形；

計(jì)算1和2中的兩個(gè)面積差的和；（如圖6）

圖6

此時(shí)我們運(yùn)動點(diǎn)C，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到O時(shí)得圖7：

圖7

運(yùn)動點(diǎn)C到點(diǎn)B得圖8：

圖8

比較圖6和圖7的結(jié)果，我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動到O時(shí)陰影部分的面積并不是最小的。而運(yùn)動點(diǎn)C可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B是面積最大，至此我們可以確認(rèn)該題提供的解法是沒有依據(jù)的，答案也是錯誤的。而在運(yùn)動點(diǎn)C的過程中，我們仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到OB中點(diǎn)時(shí)，面積似乎最小，但限于本人水平有限，無法從理論上加以說明，只能留著專家給予指正。