論高中導數(shù)幾何意義問題的盲點與誤區(qū)

齊艷秋

導數(shù)是高等數(shù)學一部分，為生產、生活及學術研究提供了方便快捷的途徑。高中階段導數(shù)要求較低，部分易錯點未作特殊強調說明；例題簡單，如果不做深入細致研究，膚淺認識與想當然的局限會對某些問題產生錯覺與誤解。

曲線的切線問題，是研究曲線性質的重要方面，也是高考?？純热荨Ｒ徊糠秩藢η€切線的內涵與性質往往把握不夠準確，對解決這類問題的方法不明晰，從而對該問題產生感官和求解方法論的錯誤。

一、混淆“在一點處的切線”與“過一點的切線”

“在一點處的切線”是指以該點為切點的切線，該點一定在曲線上，切線只有一條。直接由在該點的導數(shù)值確定切線斜率，進而求出此切線方程。而“過一點的切線”，該點不一定是切點。只有確定了切點，才能利用導數(shù)法求斜率，再求切線方程，切線可能不唯一。

二、求過一點的曲線切線在方法論上的錯誤

這個問題的錯誤最為嚴重。人民大學主辦的《高中數(shù)學教與學》2010年第1期，《關于曲線的切線問題的探索》一文，筆者認為“已知一點，求過該點的曲線切線時，先判斷這個點是否在曲線上：若不在曲線上，設出切點坐標；若在曲線上，就直接用導數(shù)法求出該點的切線斜率?！辈⒁詢傻览}及變式為例加以說明。在多年教學實踐中，發(fā)現(xiàn)部分教師、各類習題材料，犯此錯誤比比皆是。事實上即使給定的點在曲線上，該點也不一定是切點，要分該點是切點和不是切點兩種情況求解。舉個典型例子，來說明其錯誤。

求曲線y= x3過點P（1，1）的切線方程。P點在曲線上，要分類討論。當P是切點時，利用導數(shù)法得切線斜率k=y′│x=1=3x2│x=1=3 ，切線方程為y-1=3（x-1）即3x-y-2=0；當P不是切點時，設切點為A（x0，x03）（x0 1），則切線斜率k=3 x02。又P點和A點都在切線上， k= 。所以3 x02= 解得x0=- （x0=1舍）。此時 k= ，切線方程為y-1= （x-1）即3x-4y+1=0。綜上，所求切線方程為：3x-y-2=0或3x-4y+1=0。由此看出，雖然P點在曲線y= x3上，但過P點的切線不一定是以P為切點。若按照教材和上論文方法論進行求解，會丟失第二組解?？梢?，沒有一定的數(shù)學專業(yè)素養(yǎng)，又不進行深入細微的教學研究，狹義片面的認識會造成想當然的錯誤。

我覺得，此類錯誤如此廣泛的普遍存在，與教材說明的簡淺及配備例題的誤導有直接關系。人教B版教材選修2—2第1. 1.3節(jié)中，例1：求拋物線y= x2過點（1，1）的切線的斜率；例2：求雙曲線y= 過點（2， ）的切線方程。由于給定點都在曲線上，教材直接把已知點當成切點來求解，解題過程不夠完備。但由于兩例題給定的曲線是二次曲線，而過二次曲線上一點作切線有且只有一條，所以教材所得到的最終結果卻是正確的，并無丟解現(xiàn)象。但“過二次曲線上一點只有一條切線”這一論點，教材并沒有進行論證。所以看似正確的答案卻有一個不完整的過程。我認為教材的解題過程有待完備：要么證明上論題，要么進行分類討論 （不是切點時無解） 。教材例題，無疑給部分學者造成錯覺，遇到復雜曲線的切線，可能會犯丟失解的錯誤。當然求二次曲線的切線，還可以利用解析法求解，在此不作以說明。

三、曲線切線在“形態(tài)”上易產生的錯覺

學過圓錐曲線與直線關系，學生對曲線的切線有了初步了解與感受。從圖形直觀上看，曲線在一點處的切線與曲線呈現(xiàn)“相切”狀態(tài)。而面對諸如y= x3在（0，0）處的切線等問題時往往感覺不理解。按照導數(shù)法求出切線斜率為y′│x=0=3x2│x=0=0，切線方程為y=0，即x軸。從圖像上看（圖1），所求切線穿過曲線，在感官上似相交狀態(tài)。這種錯覺，有人會懷疑其求法及結果。而從曲線切線的定義想該問題，便容易理解并找到此切線。 “曲線在一點處的切線”定義：“設y=f（x），AB是過點A（ x0 ，f（x0））與B（x0+△x，f（x0+△x））的一條割線，當點B沿曲線趨近于點A時，割線AB繞點A轉動，它的最終位置為直線AD時，直線AD叫做此曲線在點A的切線?！眣= x3的割線OA，當A趨向O點時，OA的最終位置為x軸，所以x軸就是曲線在（0，0）處的切線，與上導數(shù)法求解的結果是一致的。另外，冪函數(shù)y= x1/3在（0，0）處的切線，導數(shù)在x=0處無意義，有人會認為切線不存在。而事實上，此時切線無斜率，方程為x=0，即y軸。利用上定義，不難得出（圖2）。

由上述例子可見，曲線在一點處的切線，可以在該切點處“穿過”曲線，呈現(xiàn)“相交”形態(tài)。學生要突破以往切線與曲線“相切”的觀念，將視角拓展到新的層面上來。而教師也不應把教學局限在教材范圍內，要將此類問題的盲點與誤區(qū)呈現(xiàn)給學生，以免造成學生在觀念上的錯覺與誤解。還有y= x3過（1，1）點的切線、正余弦曲線等復雜曲線的切線，既可以穿過曲線，又可以與曲線有多個交點。此類問題2007年湖南高考題中曾出現(xiàn)過。

作為教師，不能為了考試而教學，要讓學生多見識些，多體會些，真正做到活學活用。愿此文能給一部分學者以啟示，不要再將以上錯誤帶給學生。讓“導數(shù)”成為我們解決各類問題的利劍，讓數(shù)學真正走進我們的生活。