線性二次型最優(yōu)控制在雙關(guān)節(jié)機(jī)械手中的應(yīng)用

劉中冬,林佳佳

(青島科技大學(xué) 自動化與電子工程學(xué)院,山東 青島　266061)

?

線性二次型最優(yōu)控制在雙關(guān)節(jié)機(jī)械手中的應(yīng)用

劉中冬,林佳佳

(青島科技大學(xué) 自動化與電子工程學(xué)院,山東 青島266061)

摘要首先對雙關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型并對此系統(tǒng)在平衡點處進(jìn)行線性化處理,進(jìn)而使用線性二次型最優(yōu)控制的控制策略對雙關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)進(jìn)行控制,最后使用Matlab進(jìn)行仿真以檢驗該控制系統(tǒng)的控制性能。階躍輸入下,系統(tǒng)能夠在0.13 s完全跟蹤。仿真結(jié)果表明其具有很好的響應(yīng)能力及跟蹤能力。

關(guān)鍵詞雙關(guān)節(jié)機(jī)械手；線性二次型最優(yōu)控制；Matlab

雙關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)[1-3]具有多變量、非線性[4,5]、強(qiáng)耦合、不確定等特性,由于其動態(tài)模型的復(fù)雜性,控制雙關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)是一項艱難的任務(wù),人們多采用現(xiàn)代控制理論的方法進(jìn)行控制[6]。

現(xiàn)代理論中的線性二次型最優(yōu)控制理論對系統(tǒng)的不確定性具有很好的穩(wěn)定性和魯棒性,但是線性二次型最優(yōu)控制的被控對象是線性系統(tǒng),為了將雙關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)與線性二次型最優(yōu)控制有效地結(jié)合,需要對非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理。

運(yùn)用線性二次型最優(yōu)控制理論對雙關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)的LQR方法進(jìn)行了研究,提出的方法具有很好的跟蹤能力及控制性能,最后通過仿真進(jìn)行驗證。

1雙關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)建模

雙關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)如圖1所示。

雙關(guān)節(jié)機(jī)械手的動力學(xué)方程的封閉形式為

(1)

所以

其中:

Δ=d22d11-d122;

d12=m2(lc22+l1lc2cosθ2)+I2;

d22=m2lc22+I2;

d11=m1lc12+m2(l12+lc22+2l1l2cosθ2)+

I1+I2;

φ1=(m1lc1+m2l1)gcosθ1+m2lc2gcos (θ1+θ2);

φ2=m2lc2gcos (θ1+θ2)。

d22(τ1-φ1)-d12(τ2-φ2)=0,

d11(τ2-φ2)-d12(τ1-φ1)=0。

2線性二次型最優(yōu)控制

最優(yōu)控制器的實質(zhì)是確定一個最優(yōu)控制u(t),使得系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)時能夠使得性能指標(biāo)J為極大值或者極小值。此時的u(t)稱為最優(yōu)控制作用,所得的x(t)稱為最優(yōu)狀態(tài)軌線,J稱為最優(yōu)性能指標(biāo)。

線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示為

(2)

其中:A,B,C,D為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣[7],線性二次型性能指標(biāo)為

(3)

其中:Q為半正定對稱時變加權(quán)矩陣;R為正定對稱時變加權(quán)矩陣。Riccati方程為

ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0,

(4)

u=-Kx,

(5)

(6)

假設(shè)(Q,A)完全能觀測,(A,B)完全能控,則存在著最優(yōu)反饋增益矩陣使得性能指標(biāo)最小,有

K=R-1BTP。

(4)

其中:P為Riccati方程的唯一正定解。

3線性二次型最優(yōu)控制的應(yīng)用

對雙關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)中的變量進(jìn)行重新定義:

所以

其中:

在平衡點處進(jìn)行線性化處理:

φ1=(m1lc1+m1l1)gcos θ1+

m2lc2gcos (θ1+θ2)=τ10;

φ2=m2lc2gcos (θ1+θ2)=τ20。

所以

4仿真驗證

我們?nèi)?/p>

m1=1.900 8 kg；m2=0.717 5 kg；

l1=l2=0.2 m；lc1=0.185 22 m；

lc2=0.062 052 m；

I1=0.004 339 9 kg·m2；

I2=0.005 228 5 kg·m2。

每個關(guān)節(jié)選9個平衡點并進(jìn)行線性化處理,i=1,2,…,9,且

(8)

式(8)轉(zhuǎn)化到線性二次型最優(yōu)控制中的矩陣形式為

我們讓每一個關(guān)節(jié)的角度跟蹤以下的參考軌跡,進(jìn)而來檢驗該控制方法應(yīng)用的跟蹤能力和控制性能:

(9)

第二個關(guān)節(jié)角對參考軌跡θr2的響應(yīng)曲線如圖3所示。

根據(jù)響應(yīng)曲線可以看出雙關(guān)節(jié)機(jī)械手的關(guān)節(jié)角度對于其對應(yīng)的參考軌跡具有非常快的響應(yīng)能力以及非常強(qiáng)的跟蹤能力。

為了進(jìn)一步檢測該控制方法的控制性能,我們讓θ1、θ2跟隨階躍輸入,觀察雙關(guān)節(jié)機(jī)械手關(guān)節(jié)角度的響應(yīng)能力。第一個關(guān)節(jié)角對階躍信號的響應(yīng)曲線如圖4所示。

第二個關(guān)節(jié)角對階躍信號的響應(yīng)曲線如圖5所示。

仿真結(jié)果表明,θ1,θ2對于階躍輸入具有很好的跟蹤能力且該系統(tǒng)能夠迅速響應(yīng),大約0.13 s就能夠達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),具有響應(yīng)速度快,跟蹤能力高,控制性能好的優(yōu)點。

5結(jié)語

首先對雙關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型,為將線性二次型最優(yōu)控制與雙關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)有機(jī)結(jié)合,采用了在系統(tǒng)平衡點處進(jìn)行線性化處理的方法,最后利用Matlab進(jìn)行系統(tǒng)仿真。仿真發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)對給定的參考軌跡以及階躍輸入信號能夠迅速響應(yīng)。對于參考軌跡,第二個關(guān)節(jié)角幾乎從一開始就能夠?qū)崿F(xiàn)完全跟蹤；對于階躍輸入信號,兩個關(guān)節(jié)角在大約0.13 s就能夠?qū)崿F(xiàn)完全跟蹤。仿真表明這種控制策略具有很好的響應(yīng)能力、跟蹤能力以及控制性能。

參考文獻(xiàn):

[1]林瑞麟,郭新躍,蔣少茵.機(jī)器人的動態(tài)特性試驗研究[J].華僑大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,1995,15(4):424-427.

[2]嚴(yán)學(xué)高.機(jī)器人原理[M].南京:東南大學(xué)出版社,1996.

[3]霍偉.機(jī)器人動力學(xué)與控制[M].北京:高等教育出版社,2005.

[4]程代展.非線性系統(tǒng)的幾何理論[M].北京:科學(xué)出版社,1988.

[5]Tarn T J,Bejczy A K.Effect of Motor Dynamics on Nonlinear Feedback in Robot Arm Control,Proc[C]//23rd IEEE Conf.Robotics and Automation,1991.[6]Hisa T C.Adaptive Control of Robot of Manipulators[C]//A Review Proc of the IEEE Conf on Robotics and Automation,1986.[7]張福恩.狀態(tài)反饋極點配置的直接方法[J].自動化學(xué)報,1986,12(2):162-167.

[8]趙廣元.MATLAB與控制系統(tǒng)仿真實踐[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2012.

[9]薛定宇,陳陽泉.基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2002.

Application of Optimum Control of Linear Quadratic Type on Two-joint Manipulator

Liu Zhongdong,Lin Jiajia

(College of Automation and Electronic Engineering,Qingdao University of Science and Technology,Qingdao 266061,China)

Key wordsTwo-joint manipulator;Optimum control of linear quadratic type;Matlab

AbstractFirst,the thesis introduces math model systematically built by two-joint manipulator and linear processing conducted on the equilibrium point by the system.Then,the thesis introduces systematical controls to two-joint manipulator conducted by using optimum control strategies of linear quadratic type.At last,the thesis introduces control performance of the control system examined by using Matlab to conduct simulation.After step-input,the system can achieve full tracking in 0.13s.The simulation results indicate that it has good responsiveness and tracking ability.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.03.007.

收稿日期:2015-08-17;修回日期:2015-09-28.

作者簡介:劉中冬(1962-),男,山東青島人,教授,博士,研究方向為機(jī)電一體化、測量及自動控制技術(shù).E-mail:269529351@qq.com.

中圖分類號:TP241

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1004-0366(2016)03-0031-04

引用格式:Liu Zhongdong,Lin Jiajia.Application of Optimum Control of Linear Quadratic Type on Two-joint Manipulator[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(3):31-34.[劉中冬,林佳佳.線性二次型最優(yōu)控制在雙關(guān)節(jié)機(jī)械手中的應(yīng)用[J].甘肅科學(xué)學(xué)報,2016,28(3):31-34.]