一類緊支撐正交多小波的顯式構(gòu)造

張建基,雷巧莉,關(guān)惠惠,張　靜

(1.新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊　830054;2.西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西 西安　710014)

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一類緊支撐正交多小波的顯式構(gòu)造

張建基1,雷巧莉2,關(guān)惠惠1,張靜1

(1.新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊830054;2.西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院,陜西 西安710014)

摘要以所構(gòu)造的正定矩陣為基礎(chǔ),給出了2尺度緊支撐正交多小波的構(gòu)造方法,證明了當(dāng)2尺度r重緊支撐正交多尺度函數(shù)的系數(shù)矩陣Pi是r×r階可逆矩陣,存在正交矩陣A,使與diag(λi,1,λi,2,…,λi,r)合同。算例的結(jié)果說(shuō)明,當(dāng)-1PiPiTA是對(duì)角的正定矩陣時(shí),可構(gòu)造出2重緊支撐正交多小波函數(shù)。

關(guān)鍵詞緊支撐正交多小波;對(duì)稱正定矩陣;對(duì)角矩陣

多小波的理論和應(yīng)用研究已經(jīng)引起了廣泛的關(guān)注[1-4],目前多小波的構(gòu)造方法有:一是仿酉矩陣的擴(kuò)充,而矩陣擴(kuò)充過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜;二是在文獻(xiàn)[5-8]中所應(yīng)用的構(gòu)造多小波的方法。

1預(yù)備知識(shí)

設(shè)Φ(x)=[φ1(x),φ2(x),…,φr(x)]T是一個(gè)具有r重緊支撐正交多尺度函數(shù)向量。有

Vj=closL2(R)〈φi(2jx-k)∶1≤i≤r,k∈Z〉,j∈Z

(1)…?Vj-1?Vj?Vj+1?…,?j∈Z;

(3)f(x)∈Vj?f(2x)∈Vj+1,j∈Z；

(4)函數(shù)族{Φ(·-k):k∈Z}構(gòu)成V0的一個(gè)Re siz基,則稱此多重多分辨分析有Φ(x)生成。

多尺度函數(shù)向量Φ(x)的兩尺度方程為

(1)

設(shè)Wj是Vj在Vj+1中的正交補(bǔ),即Vj+1=Wj⊕Vj。若Ψ(x)=[ψ1(x),ψ2(x),…,ψr(x)]T的平移{Φ(·-k):k∈Z}構(gòu)成W0的正交基,則稱Ψ(x)為對(duì)應(yīng)于正交多尺度函數(shù)Φ(x)的正交多小波。有

(2)

對(duì)式(1)、式(2)做Fourier變換,有

(3)

(4)

若Φ(x)與Ψ(x)為正交函數(shù)向量,則有

P(ω)P*(ω)+P(ω+π)P*(ω+π)=Ir×r,

(5)

P(ω)Q*(ω)+P(ω+π)Q*(ω+π)=Or×r,

(5)

Q(ω)Q*(ω)+Q(ω+π)Q*(ω+π)=Ir×r,

(7)

可等價(jià)于

(8)

(9)

(10)

22尺度r重緊支撐正交多小波

證明Pi是可逆矩陣,則存在正交矩陣A和B有

ATPiB=diag(σi,1,σi,2,…,σi,r)。

則有

由于B是正交矩陣,所以有

diag(λi,1,λi,2,…,λi,r)。

證畢。

則

證畢。

對(duì)角矩陣在求逆時(shí)計(jì)算量很少,只需將對(duì)角線上的元素取倒數(shù),并且對(duì)角矩陣與對(duì)角矩陣在相乘時(shí)可以交換,基于對(duì)角矩陣的這兩個(gè)良好性質(zhì),我們將在引理2中給出如何構(gòu)造出對(duì)角的正定矩陣。

是對(duì)角的正定矩陣。

證明由引理1知,存在正交矩陣A,有

(11)

又有

(12)

(13)

證畢。

推論2若2尺度r重緊支撐多尺度函數(shù)Φ(x)的系數(shù)矩陣P0,P1,…,PL中Pm和Pn(0≤m,n≤L)是可逆矩陣,A是正交矩陣且

其中:0<λj<2(0≤j≤r),則

是對(duì)角的正定矩陣。

定理1設(shè)Φ(x)是二系數(shù)的2尺度r重緊支撐正交多尺度函數(shù),滿足兩尺度方程

Φ(x)=P0Φ(2x)+P1Φ(2x),

其中:P0,P1是r×r階矩陣,選取可逆矩陣Pi(0≤i≤1),存在正交矩陣A有

令

(14)

則可構(gòu)造

(15)

其中:K-1表示K的逆矩陣,則ψ(x)加細(xì)方程

Ψ(x)=Q0Ψ(2x)+Q1Ψ(2x)

(16)

是對(duì)應(yīng)于Φ(x)的2尺度r重緊支撐正交的多小波函數(shù)。

證明只要滿足下列的等式,原命題就成立,即

P0(Q2)T=0,

(17)

P2(Q0)T=0,

(18)

Q0(Q2)T=0,

(19)

P0(Q0)T+P1(Q1)T+P2(Q2)T=0,

(20)

Q0(Q0)T+Q1(Q1)T+Q2(Q2)T=2I。

(21)

由于Φ(x)是二系數(shù)的2尺度r重緊支撐正交多尺度函數(shù),所以P2=0且Q2=0,則有P0P2=0和P2P0=0。式(17)～式(19)的證法相似,只需證明式(19),設(shè)i=0,即選取的是P0,有

Q0(Q2)T=-K-1ATP0(0)T=0,

Q0(Q0)T+Q1(Q1)T=(-K-1ATP0)(-K-1ATP0)T+KATP1(KATP1)T=

證畢。

定理2設(shè)Φ(x)是三系數(shù)的2尺度r重緊支撐正交多尺度函數(shù),滿足兩尺度方程

Φ(x)=P0Φ(2x)+P1Φ(2x)+P2Φ(2x),

其中:P0,P1,P2是r×r階矩陣,選取其中一個(gè)可逆矩陣Pi,存在正交矩陣A有

令

(22)

則可構(gòu)造

Qj=KATPj,j≠i,j=0,1,2

Qj=-K-1ATPj,j=i,j=0,1,2

(23)

其中:K-1表示K的逆矩陣,則ψ(x)加細(xì)方程

Ψ(x)=Q0Ψ(2x)+Q1Ψ(2x)+Q2Ψ(2x)

(14)

是對(duì)應(yīng)于Φ(x)的2尺度r重緊支撐正交多小波函數(shù)。

證明只要滿足下列的等式,原命題就成立,即

P0(Q2)T=0,

(25)

P2(Q0)T=0,

(26)

Q0(Q2)T=0,

(27)

P0(Q0)T+P1(Q1)T+P2(Q2)T=0,

(28)

Q0(Q0)T+Q1(Q1)T+Q2(Q2)T=2I。

(29)

由于Φ(x)是2尺度r重緊支撐正交多尺度函數(shù),有P0P2=0和P2P0=0。式(25)～式(27)的證法相似,只需證明式(27)。設(shè)i=0,即

Q0(Q2)T=-K-1ATP0(KATP2)T=

式(18)、式(19)的證法同定理1中式(20)、式(21)的證明方法。

證畢。

定理3設(shè)Φ(x)是四系數(shù)的2尺度r重緊支撐正交多尺度函數(shù),滿足兩尺度方程

Φ(x)=P0Φ(2x)+P1Φ(2x)+P2Φ(2x)+P3Φ(2x),其中:P0,P1,P2,P3是r×r階矩陣,選取可逆矩陣P0和P1,存在正交矩陣A有

(30)

則可構(gòu)造

(31)

其中:K-1表示K的逆矩陣,則Ψ(x)加細(xì)方程

Ψ(x)=Q0Ψ(2x)+Q1Ψ(2x)+

Q2Ψ(2x)+Q3Ψ(2x)

(32)

是對(duì)應(yīng)于Φ(x)的2尺度r重緊支撐正交多小波函數(shù)。

證明只要滿足下列的等式,原命題就成立,即

P0(Q2)T+P1(Q3)T=0,

(33)

P2(Q0)T+P3(Q1)T=0,

(34)

Q0(Q2)T+Q1(Q3)T=0,

(35)

P0(Q0)T+P1(Q1)T+P2(Q2)*+P3(Q3)T=0,

(36)

Q0(Q0)T+Q1(Q1)T+Q2(Q2)*+Q3(Q3)T=2I。

(37)

Q0(Q2)T+Q1(Q3)T=-K-1ATP0(KATP2)T-

K-1ATP1(KATP3)T=

式(36)和式(37)的證法同定理1中式(20)和式(21)的證明方法。

證畢。

注定理3中K2除了可以選取P0和P1,還能選取P2和P3,有兩種選取方法。

3算例

例1Φ(x)是二系數(shù)的2尺度2重緊支撐正交多尺度函數(shù),滿足兩尺度方程

Φ(x)=P0Φ(2x)+P1Φ(2x),

第二步計(jì)算K得

第三步由

則

例2Φ(x)是三系數(shù)的2尺度2重緊支撐正交多尺度函數(shù),滿足兩尺度方程

Φ(x)=P0Φ(2x)+P1Φ(2x)+P2Φ(2x),

其中:

可知P1是可逆的矩陣,則用定理2。

第二步計(jì)算K得

則

第三步由

則

參考文獻(xiàn):

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Explicit Construction of First Class Compact Supported Orthogonal Multi Wavelets

Zhang Jianji1,Lei Qiaoli2,Guan Huihui1,Zhang Jing1

(1.School of Mathematical Science,Xinjiang Normal University,Urumqi 830054,China;2.Xi’an Railway Vocational & Technical Institute,Xi’an 710014,China)

Key wordsCompact supported orthogonal multi wavelets;Symmetric positive definite matrix;Diagonal matrix

AbstractBased on the constructed positive definite matrix,construction method of compact supported orthogonal multi wavelets with dilation factor 3 are presented to prove that coefficient matrix of compact supported orthogonal multi-scaling functions with dilation factor 2 is an invertible matrix with order,and orthogonal matrix exists in making same with.The result of example indicates that 2 compact supported orthogonal multi-wavelet function can be constructed when is diagonal positive definite matrix.

doi:10.16468/j.cnki.issn1004-0366.2016.03.005.

收稿日期:2015-03-10;修回日期:2015-11-27.

作者簡(jiǎn)介:張建基(1989-),男,甘肅武威人,碩士研究生,研究方向?yàn)樾〔ǚ治黾捌鋺?yīng)用.E-mail:1454920447@qq.com.

中圖分類號(hào):O174.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1004-0366(2016)03-0020-06

引用格式:Zhang Jianji,Lei Qiaoli,Guan Huihui,et al.Explicit Construction of First Class Compact Supported Orthogonal Multi Wavelets[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(3):20-25.[張建基,雷巧莉,關(guān)惠惠,等.一類緊支撐正交多小波的顯式構(gòu)造[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2016,28(3):20-25.]