一道習題的思考

安徽省潁上縣第一中學　　程曉燁　　(郵編：236200)

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一道習題的思考

安徽省潁上縣第一中學程曉燁(郵編：236200)

在數(shù)學教學中，立體幾何部分往往成為學生學習的難點.在立體幾何中,經(jīng)常通過平面幾何的相關(guān)知識、方法來解決有關(guān)問題.下面以一道習題來探究平面幾何和立體幾何之間的聯(lián)系：

圖1

1問題的提出

如圖1,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2a,∠DAB=600,E是AB的中點,將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起,使A、B點重合,求形成的三棱錐的內(nèi)切球和外接球的體積.

2問題的解決

分析由已知條件知,平面圖形中,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=a，所以折疊后得到一個正四面體.

我們先來思考：在平面中,若正三角形ABC邊長為a,如何求它的內(nèi)切圓和外接圓面積呢?

圖2

在正三角形中,我們可以通過等面積法求出其內(nèi)切圓半徑,再根據(jù)其內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑之和等于正三角形的高,求出其外接圓半徑.那么推廣到正四面體能不能用類似的方法解決其內(nèi)切球半徑和外接球半徑問題呢?

圖3

例題中將等腰梯形如圖折疊就可以得到棱長為a的正四面體,下面我們來求它的內(nèi)切球半徑和外接球半徑.

設(shè)正四面體內(nèi)切球半徑為R,球心O把正四面體分成四個三棱錐O-ADC、O-ADE、O-AEC、O-DEC,它們體積相等,均等于

由等體積法得正四面體A-DEC體積等于四個三棱錐體積之和.即

3問題的再思考

接下來再來求其外接球半徑R′.

解法1正四面體內(nèi)切球球心與外接球球心重合,內(nèi)切球半徑和外接球半徑之和等于正四面體的高.

總結(jié)正三角形內(nèi)切圓的圓心與外接圓的圓心重合,半徑之比為1∶2,面積之比為1∶4,正四面體內(nèi)切球的球心與外接球的球心重合,半徑之比為1∶3,體積之比為1∶8.

由正三角形的內(nèi)切圓、外接圓半徑的求法推廣到正四面體內(nèi)切球、外接球半徑的求法,讓學生體會平面幾何和立體幾何之間的聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)平面幾何中的很多性質(zhì)可以類比推廣到立體幾何中.立體幾何在考查學生觀察能力、思維能力和空間想象能力方面有重要作用,而由平面幾何的知識、方法入手去分析不失為一種好的解題思路.

參考文獻

1弼盛.同步導學案.濟南：濟南出版社,2008

2李鳳華.正四面體外接球和內(nèi)切球半徑的求法.中學數(shù)學雜志,2008(1)

(收稿日期：2016-03-12)