一道競賽題引發(fā)的探究

藍(lán)云波

(廣東省興寧市第一中學(xué)，514500)

○數(shù)學(xué)探究○

一道競賽題引發(fā)的探究

藍(lán)云波

(廣東省興寧市第一中學(xué)，514500)

試題(2014年廣東省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分別在AD,BC上,且AE=1,BF=3.將四邊形AEFB沿EF折起,使點B在平面CDEF上的射影H在直線DE上，求二面角A-DE-F的大小(如圖1、2).

在筆者所在學(xué)校近期組織的一次數(shù)學(xué)競賽活動中,選用了上面這道題.從學(xué)生的作答反饋來看,正確做對的學(xué)生寥若星辰，大都無從下手.這是因為該題無法直接建立空間直角坐標(biāo)系,較難利用坐標(biāo)法解答,而利用傳統(tǒng)法,則對空間想象能力要求較高,且需作學(xué)生比較畏懼的輔助線.在競賽后的評講中,筆者先按照下面的解法1(原參考解答)，給學(xué)生進(jìn)行了講解.

如圖4,設(shè)BH與EF交于點P，則

上述解法從純歐氏幾何角度出發(fā)進(jìn)行論證，其中涉及學(xué)生較少接觸的位似知識,還有較為復(fù)雜的輔助線的作法,不少學(xué)生似懂非懂地聽了我的講解,普遍較難接受.筆者也切身感覺到了學(xué)生感受,結(jié)合向量知識，于是想從其他角度出發(fā),設(shè)法探究出一種學(xué)生比較容易接受的解法,經(jīng)過探究,筆者得到了下面的解法.

整理得x+6y-4z=0.

①

=-x-2y=0,

即x+2y=0.

②

令y=1,則由①②可得x=-2,z=1.所以

因為二面角A-DE-F為鈍角,所以二面角A-DE-F的大小為135°.

此法利用了空間向量基底法,使問題能化難為易,整個解答過程的思路非常順暢,只要按部就班計算即可得出最終的答案,無疑是一種理想的解法.當(dāng)筆者把此解法與學(xué)生分享時,他們都驚呼:原來不用坐標(biāo)法,且?guī)缀醪蛔鬏o助線就能使問題得到解決!

解決完問題后,筆者對此進(jìn)行了反思,為何一說到空間向量方法解答立體幾何問題,大家都不約而同地選擇坐標(biāo)法呢?這是因為教師在教學(xué)中過于強調(diào)題型套路,不重視或缺少對最基本的數(shù)學(xué)思想的灌輸,以致在禁錮了學(xué)生思維的同時也禁錮了自己.筆者又通過查閱大量資料,發(fā)現(xiàn)也甚少有人使用空間向量基底方法解答立體幾何問題，教師普遍也甚少講解這種方法.造成這種現(xiàn)象的原因,筆者認(rèn)為其中最根本的原因是缺少對最本質(zhì)的空間向量基本定理的理解,因為中學(xué)階段空間向量的坐標(biāo)只是在單位正交基的基礎(chǔ)上引入的，如果追根溯源,空間向量基本定理是解決問題的真正源泉.而空間向量基本定理的基向量只要求不共面即可,并沒有過多的要求,因此只要合理選取基底,就能解決建系困難的問題.基于此,筆者通過探索,發(fā)現(xiàn)空間向量基底法也是解決立體幾何問題的一大利器,而這種方法往往普遍被人忽視!這種方法對很多建系較為困難的立體幾何問題尤其適合,且具有其一定的優(yōu)越性.下面再舉三例.

例1(2015年安徽高考題)如圖5,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.

(1)求三棱錐P-ABC的體積；

解(1)略.

評注此題是探索性問題,可用傳統(tǒng)法和空間向量坐標(biāo)法解答,但是較為繁瑣.而利用空間向量基底法,整個過程非常簡潔,具有運算量低,思維含量低的特點,是一種好的方法.

(1)證明:DE⊥平面ACD;

(2)求二面角B-AD-E的大小.

解(1)略.

評注此題原參考解答給出的兩種解法都較為繁瑣,運算量過大,其中傳統(tǒng)方法作的輔助線較多,且有關(guān)長度的計算比較復(fù)雜,多次使用余弦定理才使問題得到解決.而利用空間向量坐標(biāo)法要求解兩個平面的法向量,對學(xué)生而言運算量過大；利用空間向量基底法,其優(yōu)越性不言而喻,甚至口算都能得出答案.

(1)若SF∥面AEC,求證:CE⊥平面ABE;

(2)在(1)的條件下,求BC與平面CDE所成角的余弦值.

解(1)略.

令y=1,則x=3,z=-1，

=3+0-1=2.

評注此題第(2)問的“在(1)的條件下”其實是多余的,因為平面SCD即為平面CDE,與點E的位置無關(guān).此題也是建系較為困難,而利用空間向量基底法的難點在于平面SCD的法向量的基底表示.這個問題可通過類比空間向量坐標(biāo)法的法向量的求法得到.

上面幾道試題,我們解決了立體幾何中的垂直、二面角、直線與平面所成的角問題.事實上,對異面直線所成的角、平行、距離、體積等其他問題,空間向量基底法也同樣可以解決,限于篇幅,這里不再贅述.而且通過分析,我們發(fā)現(xiàn),利用空間向量基底法解立體幾何問題,首當(dāng)其沖的問題是如何選擇基向量,一般而言,我們要盡量選取具有垂直關(guān)系的三個不共面的向量作為基向量.如果沒有,只要選取的三個不共面的向量中任意兩個向量的長度和夾角均已知也是可以的.其次,是把所要解決的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題,通過向量的運算,解決向量問題.最后,再把向量關(guān)系翻譯成幾何關(guān)系,使問題得到最終的解決.讀者可通過相關(guān)的練習(xí),嘗試?yán)每臻g向量基底法解決立體幾何問題,相信會對這種方法有更深的體會與認(rèn)識.