柯西不等式在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

王含陽　徐璐路　俞曉英

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)13級(jí)2班,225002)

柯西不等式在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

王含陽徐璐路俞曉英

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)13級(jí)2班,225002)

眾所周知,不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),也是高中數(shù)學(xué)課程中的重點(diǎn)和難點(diǎn),它不僅滲透到了中學(xué)數(shù)學(xué)課本的各個(gè)章節(jié),而且在實(shí)際問題中被廣泛應(yīng)用．其中,柯西不等式作為重要的不等式之一,其形式豐富多樣,應(yīng)用靈活廣泛．

柯西不等式的一般形式為

柯西不等式在證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等方面得到應(yīng)用．若能巧妙應(yīng)用柯西不等式,掌握其思想方法,則許多復(fù)雜問題會(huì)簡(jiǎn)單化,同時(shí)又能拓寬解題思路,提高學(xué)習(xí)效率．分類舉例說明如下:

一、柯西不等式在代數(shù)中的應(yīng)用

1. 求最值

例1已知a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16，求e的最大值與最小值．

2. 證明不等式

例2設(shè)a，b，c，d是正數(shù),a+b+c+d=1,求證:

3. 解方程(方程組)

例3解方程：

解首先要使式子有意義,則

其次由柯西不等式,得

二、柯西不等式在幾何中的應(yīng)用

1. 推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式

證明設(shè)P1(x1,y1)是直線l上的任意一點(diǎn),P(x0,y0)是坐標(biāo)平面上的任意一點(diǎn),那么

l:Ax1+By1+C=0,

①

②

|PP1|的最小值就是點(diǎn)P到直線l的距離.由柯西不等式，有

≥|A(x0-x1)+B(y0-y1)|

=|Ax0+By0+C-(Ax1+By1+C)|.

由①、②兩式，得

③

2. 推導(dǎo)點(diǎn)到面的距離公式

證明設(shè)Q(x,y,z)是平面π上的任意點(diǎn),則Ax+By+Cz=-D且A2+B2+C2>0，

由柯西不等式，得

(A2+B2+C2)[(x-x0)2+(y-y0)2

+(z-z0)2]

≥[A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)]2

=[(Ax+By+Cz)

-(Ax0+By0+Cz0)]2

=[-D-(Ax0+By0+Cz0)]2

=(Ax0+By0+Cz0+D)2.

于是有

由垂線段最短，得

(本文系2015年揚(yáng)州大學(xué)大學(xué)生科創(chuàng)項(xiàng)目研究成果之一，指導(dǎo)老師朱家生)