讓探究性問題串引領(lǐng)數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建
——函數(shù)概念的課堂教學(xué)設(shè)計

陳海波

(江蘇省盱眙中學(xué)，211700)

○教學(xué)研究○

讓探究性問題串引領(lǐng)數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建

——函數(shù)概念的課堂教學(xué)設(shè)計

陳海波

(江蘇省盱眙中學(xué)，211700)

函數(shù)的概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本概念.高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系,同時還用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù).在本文中,筆者在高中函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計中引入探究式教學(xué)模式,嘗試用探究性問題串引領(lǐng)數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建.

一、問題的提出

新課程標準強調(diào)探究性教學(xué)要讓學(xué)生像科學(xué)家從事科學(xué)研究那樣來學(xué)習(xí)科學(xué),領(lǐng)悟科學(xué)研究的真諦.但是在我們目前的中小學(xué)教學(xué)中,現(xiàn)狀往往是另外一種景象,照本宣科壓抑了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣;缺乏問題意識不利于創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng);不重視基本概念、核心數(shù)學(xué)思想的教學(xué)不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.因此在我們的教學(xué)中應(yīng)不斷改進教學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).實踐證明探究和問題串教學(xué)是一種行之有效的教學(xué)方式.

1. 探究性教學(xué)

數(shù)學(xué)教育對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力肩負著特殊的責任. 近年來，人們越來越關(guān)注探究性教學(xué)，認為離開探究性教學(xué)就沒有思維的廣闊空間，就沒有鮮活的思維火花，就不可能有創(chuàng)造能力的培養(yǎng)和提升.在概念的教學(xué)中，如何產(chǎn)生概念的過程就是一種探究過程.這樣的探究過程不僅能促進學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，而且能很好地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對學(xué)生發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)造能力培養(yǎng)是十分有益的.

2. 問題串教學(xué)

問題是數(shù)學(xué)思維活動的載體，而課堂的重要構(gòu)成因素就是問題.孤立的問題對思維發(fā)展幾乎沒有什么作用，只有讓問題以問題串的形式出現(xiàn)，在問題串的引領(lǐng)下，讓學(xué)生進行系統(tǒng)的連續(xù)的思維活動，學(xué)生的思維才能不斷攀升到新的高度.所以問題串不是幾個問題的簡單組合，而是指在一定的學(xué)習(xí)范圍和主題之內(nèi)， 按學(xué)情、教學(xué)目標、對一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容或主題，設(shè)計一組具有較強邏輯關(guān)聯(lián)的問題，問題串的教學(xué)是一種符合當前新課程改革要求的教學(xué)模式.

二、教學(xué)設(shè)計

1. 教材分析

本節(jié)課是蘇教版必修1第二章第一節(jié)內(nèi)容.數(shù)學(xué)課程標準對函數(shù)概念教學(xué)的要求是:通過豐富的實例,進一步體會函數(shù)是描述變量之間依賴關(guān)系的重要模型,在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合和對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù).其核心內(nèi)涵為非空數(shù)集到非空數(shù)集的一個單值對應(yīng),它不僅對前面學(xué)習(xí)的集合作了鞏固和發(fā)展，而且它是學(xué)好后繼知識的基礎(chǔ)和工具.

2. 學(xué)情分析

學(xué)生在初中初步探討了函數(shù)的相關(guān)知識的基礎(chǔ)上,通過必修1第一章“集合”的學(xué)習(xí),對集合思想的認識也日漸提高,為重新定義函數(shù),從根本上揭示函數(shù)的本質(zhì)提供了知識保證.通過以前的學(xué)習(xí),學(xué)生已有一定的分析、推理和概括能力,初步具備了學(xué)習(xí)函數(shù)概念的基本能力.

3. 目標分析

(1)知識與技能:體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,理解函數(shù)的概念.

(2)過程與方法:讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程,函數(shù)的辨析過程,函數(shù)定義域的求解過程以及求函數(shù)值的過程，滲透歸納推理、發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力.

(3)情感態(tài)度價值觀:通過經(jīng)歷以上過程,讓學(xué)生體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.在此基礎(chǔ)上學(xué)會用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù),體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用;體驗函數(shù)思想;通過師生互動、生生互動，讓學(xué)生在民主、和諧的課堂氛圍中感受數(shù)學(xué)的抽象性和簡潔美.

4.教學(xué)過程設(shè)計

(1) 問題情境

事物都是運動變化著的，我們可以感受到它們的變化.

早晨太陽從東方冉冉升起;

氣溫隨著時間在悄悄地改變;

隨著二氧化碳的大量排放地球正在逐漸變暖;

中國的國內(nèi)生產(chǎn)總值在逐年增長;

……

問題1你能仿照上面的句子仿寫幾句話嗎?

設(shè)計意圖讓學(xué)生舉例使其感受到現(xiàn)實生活中存在大量的變化關(guān)系從而為研究這類問題的重要性和必要性提供鋪墊，這符合學(xué)生的認識規(guī)律.

在這些變化著的現(xiàn)象中，都存在兩個變量.當一個變量變化時，另一個變量隨之發(fā)生變化.

●怎樣用數(shù)學(xué)模型刻畫兩個變量之間的關(guān)系?

●這樣的數(shù)學(xué)模型具有怎樣的特征?

●如何借助這樣的模型來進一步描述和解釋我們周圍的世界呢?

追問請舉出初中學(xué)過的一些函數(shù).

初中函數(shù)的定義是什么?

y=0(x∈R)是函數(shù)嗎?

設(shè)計意圖通過回憶初中的函數(shù)及函數(shù)的定義,為三個實例的出現(xiàn)作好鋪墊.由于受認知能力的影響,利用初中所學(xué)函數(shù)知識很難回答這些問題,形成認知沖突,讓學(xué)生帶著懸念、帶著認知沖突學(xué)習(xí)后面的知識,這樣有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.

(2) 實例分析

現(xiàn)實生活中我們可能會遇到下列問題：

估計人口數(shù)量變化趨勢是我們制定一系列相關(guān)政策的依據(jù).從人口統(tǒng)計年鑒中，查得我國從1949年至1999年的數(shù)據(jù)資料如下表所示，你能根據(jù)這個表說出我國人口變化情況嗎?

年份19491954195919601969人口數(shù)542603672705807年份197419791984198919941999人口數(shù)9099751035110711771246

問題2如果用x表示年份，y表示人口數(shù)，兩個量x,y能構(gòu)成函數(shù)嗎?x和y的變化范圍分別是什么?

追問如圖1，如果把x的取值范圍看成集合A，y的取值范圍看成集合B，集合A中元素x與集合B中的元素有什么關(guān)系?

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生用集合與對應(yīng)的語言來刻畫上述實例.通過語言之間的轉(zhuǎn)換,換一種說法,引出對應(yīng)這一說法,為用對應(yīng)描述變量之間的依賴關(guān)系奠定基礎(chǔ),同時培養(yǎng)學(xué)生分析問題和提取信息的能力.

在物理中我們還會遇到下面的問題：

一物體從靜止開始下落，下落的距離y(m)與下落的時間x(s)之間近似地滿足關(guān)系y=4.9x2.若一物體下落2s，你能求出它下落的距離嗎?

問題3這里的變量x,y之間是否是函數(shù)關(guān)系？它們各自的變化范圍是什么?試用集A,B表示(圖2).

追問集合A中元素x與集合B中的元素有什么關(guān)系?

圖3為某市24小時內(nèi)的氣溫變化圖.

(i)上午6時的氣溫約是多少?

全天的最高最低氣溫分別是多少?

(ii)在什么時刻氣溫為0℃?

(iii)什么時段內(nèi)，氣溫在0℃以上?

問題4如果用x表示時間，y表示溫度，兩個量x,y構(gòu)成函數(shù)嗎?x和y的變化范圍用集合A,B分別是什么?(圖4)

追問集合A中元素x與集合B中的元素有什么關(guān)系?

(3) 構(gòu)建數(shù)學(xué)

問題5以上三個實例有什么共同特點?

設(shè)計意圖由前面三個實例, 借助三個集合單值對應(yīng)關(guān)系圖,抽象出函數(shù)概念的本質(zhì),這樣處理有利于形成知識的正遷移.通過學(xué)生的“觀察→分析→比較→歸納→概括”培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的能力,同時也培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識.

追問1你能用集合的觀點給函數(shù)重新下個定義嗎?

函數(shù)的概念:設(shè)A,B是非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù)，通常記為y=f(x),x∈A.其中集合A叫做函y=f(x)的定義域.

追問2概念中哪些地方要加強理解，請簡要說明?

設(shè)計意圖教師給出了概念,并不等于學(xué)生認識了概念,需要從不同的側(cè)面,不同的角度去挖掘它,深化對概念的理解.一般來說先有理解再有認識,理解是過程,認識是結(jié)果.概念的認識應(yīng)該從重要詞句上剖析,找出其內(nèi)涵和外延.

問題6如何理解符號f(1),f(f(1)),f(x)的含義?

設(shè)計意圖加強理解用來表示對應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)符號,制造了強烈的認知沖突,提出高認知水平的問題,引發(fā)學(xué)生的思考,激發(fā)學(xué)習(xí)動機與探究欲望.

追問我們把全體y值組成的集合稱為函數(shù)的值域.函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則、值域統(tǒng)稱為函數(shù)的三要素. 函數(shù)的值域與定義中的集合B關(guān)系如何?

(4) 理論應(yīng)用

例1已知函數(shù)

(i)求函數(shù)的定義域;

(iii)當a>0時,求f(a),f(a-1)的值.

(5)鞏固練習(xí)

(ii)已知函數(shù)f(x)=3x3+2x,求f(2)+f(-a)的值.

設(shè)計意圖在學(xué)習(xí)新知識的基礎(chǔ)上,進行強化訓(xùn)練,使學(xué)生熟練掌握函數(shù)的概念,在強化的同時利用習(xí)題讓學(xué)生很直觀、形象地了解函數(shù)的三要素并理解函數(shù)的三要素.

(6) 小結(jié)及作業(yè)(略)

你還有哪些地方有疑問或不理解?你有哪些收獲?

設(shè)計意圖回顧在獲得概念的艱苦曲折的歷程中所用的認知思想,概括方法.體會數(shù)學(xué)總是從大量的具體實例出發(fā),通過辨別,抽象,分化,提出假設(shè),檢驗假設(shè),再用符號語言規(guī)范化表達認知過程.

在數(shù)學(xué)課堂中,利用問題串進行探究減少了教師對知識的直接講解,更多的是鼓勵學(xué)生對問題進行深入思考;減少教師直接給出答案,更多的是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題.因此,這樣的課堂中,學(xué)生的主體地位得以保證,大大激發(fā)了學(xué)生參與課堂的熱情,學(xué)生得到了深刻的體驗和感悟.最終,學(xué)生獲得的不僅僅是數(shù)學(xué)知識,更不僅僅是會多做一些數(shù)學(xué)題目,更重要的是在這種過程中培養(yǎng)出來的數(shù)學(xué)興趣和數(shù)學(xué)能力.