利用參數t的幾何意義巧解距離問題

董海濤

(安徽省阜陽市第三中學，236000)

利用參數t的幾何意義巧解距離問題

董海濤

(安徽省阜陽市第三中學，236000)

其中參數t的幾何意義是:|t|表示直線上的動點M(x,y)到定點M0(x0,y0)的距離,若t>0,則動點M在定點M0的上方;若t<0,則動點M在定點M0的下方;若t=0,則動點M與定點M0重合.

下面結合具體實例,體會利用直線參數方程中參數t的幾何意義,簡潔快速地求解與距離有關的問題.

例1已知過點M(-1,2)且斜率為-1的直線l與拋物線y=x2交于A,B兩點.(1) 求|MA||MB|的值；(2) 求|AB|的值.

解直線的參數方程為

|MA||MB|=|t1||t2|=2,

評注如果按照常規(guī)方法聯立直線與拋物線方程,求出交點A,B的坐標,再求線段AB的長和點M到A,B兩點距離之積,顯然運算量較大,而利用直線參數方程中參數t的幾何意義,問題的求解則變得十分簡潔.

變式1已知過點M(-1,2)且斜率為2

|MA||MB|=|t1||t2|=5,

|AB|=|t1-t2|

=10.

變式2已知直線l的參數方程為

點M(-1,2),直線l與拋物線y=x2交于A,B兩點.(1) 求|MA||MB|的值；(2) 求|AB|的值.

解把直線的參數方程

改寫為“標準形式”

(其中m為參數).

代入拋物線方程,得

根據韋達定理,得

由參數m的幾何意義，得

|AB|=|m1-m2|

評注把直線參數方程的非標準形式化為標準形式很關鍵,這樣才能體現參數t的幾何意義.

變式3已知過點M(-1,2)且斜率為-1的直線l與拋物線y=x2交于A,B兩點,C為線段AB的中點,求|MC|的值.

變式4已知過點M(-1,2)且斜率為-1的直線l與拋物線y=x2交于A,B兩點,C在線段AB上,且|AC|=2|CB|,求|MC|的值.

根據參數t的幾何意義，可知

|AB|=|t1-t2|

根據AB⊥DE,可得

例3長度為l(l>4)的線段AB的兩端在拋物線y2=4x上移動,(1)求線段AB的中點M的軌跡方程,(2)求線段AB的中點M到y軸的距離的最小值.

解(1)設M(x0,y0),則直線AB的參數方程為

①

因為線段AB的長度為l(l>4),即

l=|t1-t2|,

所以l2=(t1+t2)2-4t1t2

②

(4x-y2)(4+y2)=l2.

(2)由(1)知

評注本題中點M雖然不是定點,但由參數t的幾何意義以及“線段AB的中點M”仍然可知t1+t2=0,這是本題解決的關鍵所在.掌握參數t的幾何意義的本質,輔以根與系數的關系,為我們的解題帶來了耳目一新的感覺,提供了無窮的思維想象空間和廣闊的解題思路,這是傳統的解法無法比擬的.

熟練運用參數t的幾何意義解與距離有關的問題,可以減少運算,提高解題速度,并且可以將解出的代數結果進行幾何解釋,體現了數形結合的思想.