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    高三數(shù)學(xué)綜合測試

    2016-07-07 07:45:48
    高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2016年13期
    關(guān)鍵詞:加工費水筆三棱錐

    高三數(shù)學(xué)綜合測試

    一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

    1.已知集合A={x|-1

    2.若復(fù)數(shù)z滿足iz=1+i(i為虛數(shù)單位),則z=______.

    3.命題“?x∈R,x2+x+1=0”的否定是______.

    5.下面是一個算法的偽代碼.如果輸出的y值是20,則輸入的x值是______.

    6.在區(qū)間[-1,2]內(nèi)隨機選取一個實數(shù),則該數(shù)為正數(shù)的概率是______.

    7.在三棱錐P-ABC中,PA、PB、PC兩兩垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,則三棱錐P-ABC的體積為______.

    8.已知tanα=2且α為銳角,則cosα=______.

    9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,如果直線l將圓x2+y2-4x-2y=0平分,且不經(jīng)過第四象限,那么l的斜率的取值范圍是______.

    12.設(shè)函數(shù)

    若關(guān)于x的方程f2(x)-af(x)=0恰有三個不同的實數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是______.

    二、解答題(本大題共6小題,計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

    (1)求ω的值;

    (2)當(dāng)-1≤x≤1時,求函數(shù)f(x)的最值.

    16.(本小題滿分14分)在三棱錐P-SBC中,A,D分別為邊SB,SC的中點,且AB=3,BC=8,CD=5.PA⊥BC.

    (1)求證:平面PSB⊥平面ABCD;

    (2)若平面PAD∩平面PBC=l,求證:l∥BC.

    17.(本小題滿分14分)某工廠生產(chǎn)某種黑色水筆,每百支水筆的成本為30元,并且每百支水筆的加工費為m元(其中m為常數(shù),且3≤m≤6).設(shè)該工廠黑色水筆的出廠價為x元/百支(35≤x≤40),根據(jù)市場調(diào)查,日銷售量與ex成反比例,當(dāng)每百支水筆的出廠價為40元時,日銷售量為10萬支.

    (1)當(dāng)每百支水筆的日售價為多少元時,該工廠的利潤y最大,并求y的最大值;

    (2)已知工廠日利潤達到1 000元才能保證工廠的盈利.若該工廠在出廠價規(guī)定的范圍內(nèi),總能盈利,則每百支水筆的加工費m最多為多少元?(精確到0.1元)

    (1)求證:線段AB的長是一定值;

    (2)若點N是點M關(guān)于原點的對稱點,一過原點O且與直線AB平行的直線與橢圓交于P、Q兩點(如圖),求四邊形MPNQ面積的最大值,并求出此時直線MN的斜率.

    19.(本小題滿分16分)數(shù)列{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,它的前n項和記為An,數(shù)列{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列,它的前n項和記為Bn.若a1=b1≠0,且存在不小于3的正整數(shù)k,m,使ak=bm.

    (1)若a1=1,d=2,q=3,m=4,求Ak;

    (2)若a1=1,d=2,試比較A2k與B2m的大小,并說明理由;

    (3)若q=2,是否存在整數(shù)m,k,使Ak=86Bm,若存在,求出m,k的值;若不存在,說明理由.

    20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)

    (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

    (2)當(dāng)x∈[1,2]時,f(x)的最小值是0,求實數(shù)a的值;

    (2)試問過點P(0,2)可作多少條直線與曲線y=f(x)相切?并說明理由.

    參考答案

    一、填空題

    1.{0,1};2.1-i;

    二、解答題

    15.(1)f(x)=(a+b)·(a-b)

    =a2-b2

    =-cos(ωx+2φ).

    16.(1)∵A,D分別為邊SB,SC的中點,且BC=8,∴AD∥BC,且AD=4.

    ∵AB=SA=3,CD=SD=5,

    ∴SA2+AD2=SD2,

    ∴∠SAD=90°,即SA⊥AD,

    ∴BC⊥SB.

    ∵PA⊥BC,PA∩SB=A,PA、SB?平面PSB,

    ∴BC⊥平面PSB.

    ∵BC?平面ABCD,

    ∴平面PSB⊥平面ABCD.

    (2)∵AD∥BC,AD?平面PAD,BC?平面PAD,∴BC∥平面PAD.

    ∵BC?平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l,

    ∴l(xiāng)∥BC.

    令y′=0,得x=31+m.

    ①當(dāng)3≤m<4時,34≤31+m<35,

    ∴當(dāng)35≤x≤40時,y′≤0.

    ∴當(dāng)x=35時,y取最大值,最大值為1 000(5-m)e5.

    ②當(dāng)4≤m≤6時,35≤31+m≤37,函數(shù)y在[35,31+m]上單調(diào)遞增,在[31+m,40]上單調(diào)遞減,∴當(dāng)x=31+m時,y取最大值1 000e9-m.

    ∴當(dāng)3≤m<4,x=35時,日利潤最大值為1 000(5-m)e5元,

    當(dāng)4≤m≤6,x=31+m時,日利潤最大值為1 000e9-m元.

    則h(x)在[35,40]上單調(diào)增,則

    ∴每百支水筆的加工費m最多約為4.9元,

    答:每百支水筆的加工費m最多約為4.9元.

    ∴AB=3為定值.

    (2)設(shè)P(x1,y1),∵AB∥PQ,

    點M到直線PQ:2y0x+x0y=0的距離

    ∴S四邊形MPNQ=2S?MPQ

    令t=3y20+1,t≥1,則

    19.(1)ak=b4=33=27,即

    2k-1=27,k=14,A14=196.

    (2)依題意,A2k=4k2,且

    qm-1=2k-1,顯然q>1.

    所以當(dāng)x>1時,f(x)>f(1)>0,即B2m-A2k>0,所以A2k

    (3)依題意,ak=bm=a1·2m-1.

    由Ak=86Bm,得

    因為29=512,故m-1≤9,且516=4×129=4×3×43,且2m-1+1為奇數(shù),

    故m-1=7,m=8且k=340.

    當(dāng)a≤0時,f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞);

    ②a≥1,f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增,∴f(x)min=f(1)=1≠0,無解;

    (3)當(dāng)a≤0時,有1條切線;當(dāng)a>0時,有2條切線.

    設(shè)切點坐標(biāo)是(x0,f(x0)),依題意,

    故函數(shù)F(x)在(0,+∞)上零點個數(shù),即是曲線切線的條數(shù).

    故F(x)在(1,+e)上有且只有一個零點,

    即當(dāng)a<0時,F(xiàn)(x)在(0,+∞)上恰有一個零點.

    故F(x)在(0,+∞)上至多有兩個零點,且F(1)=2-2-a=-a<0.

    又函數(shù)y=lnx在(1,+∞)單調(diào)遞增,且值域是(0,+∞),

    -2-a

    若a∈[2,+∞),構(gòu)建函數(shù)

    φ(x)在[2,+∞)為增函數(shù),

    =a2+2a+3+(a2+2a+5)

    >a2+2a+3,

    ∴當(dāng)a>0時,F(xiàn)(x)在(0,+∞)上有兩個零點.

    綜上,a≤0時,有1條切線;a>0時,有2條切線.

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