談?wù)労瘮?shù)能力型問題的類型及其解題策略

史立霞　秦　振

(山東省棗莊市第三中學西校，277100)

談?wù)労瘮?shù)能力型問題的類型及其解題策略

史立霞秦振

(山東省棗莊市第三中學西校，277100)

本文介紹的函數(shù)能力型問題是指與解決實際問題的能力和數(shù)學創(chuàng)新能力的有關(guān)數(shù)學問題，這些問題能體現(xiàn)我們對問題的領(lǐng)悟過程．下面分類例說函數(shù)能力型問題常見題型及解題策略．

一、學習能力問題

學習新的數(shù)學知識的能力是指通過閱讀、理解以前沒有學過的新的數(shù)學知識,包括新的概念、定理、公式、法則和方法,并能應(yīng)用它們作進一步的運算和推理,解決有關(guān)問題的能力．這類問題的解題策略是先閱讀題目,理解所給的新定義、新概念、新運算,在新的情景中的意義,然后類比所學知識,轉(zhuǎn)化為熟悉的知識解決．

例1對于定義域為D的函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間[m,n]?D,同時滿足:①f(x)在區(qū)間[m,n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②x∈[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n]，則稱[m,n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．

(2)已知函數(shù)

(a∈R,a≠0)有“和諧區(qū)間”[m,n],當a變化時,求出n-m的最大值;

二、探究能力問題

這里的探究問題,是指命題中缺少一定的條件或未給出明確的結(jié)論,需要經(jīng)過推斷、補充并加以證明的問題．由于這類問題的知識覆蓋面大,綜合性強,方法靈活,再加上題意新穎,要求考生具有扎實的基礎(chǔ)知識和較高的數(shù)學能力．解決這類問題需要運用學過的知識,通過觀察、試驗、聯(lián)想、類比、演繹、歸納、分析、綜合、猜想等手段,對問題進行探索和研究．

例2對于函數(shù)f1(x),f2(x),h(x),如果存在實數(shù)a,b,使得h(x)=a·f1(x)+b·f2(x),那么稱h(x)為f1(x),f2(x)的生成函數(shù)．

(1)下面給出兩組函數(shù),h(x)是否為f1(x),f2(x)的生成函數(shù)?并說明理由.

第二組:f1(x)=x2+x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1.

該方程組無解,故h(x)不是f1(x),f2(x)的生成函數(shù)．

設(shè)s=log2x,則s∈[1,2]．易知y=-3s2-2s,在s=1時取最大值-5,所以實數(shù)t的取值范圍是t∈(-∞,-5)．

假設(shè)存在最大的常數(shù)m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立．設(shè)u=h(x1)h(x2),則

令t=x1x2,則

評注數(shù)學探究題涉及的數(shù)學知識較多,解題過程較復(fù)雜,技巧性強,因此,要求我們要合情合理地分析,把直覺發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相結(jié)合,更應(yīng)該注重數(shù)學思想方法的綜合運用．解此類問題的方法是:分析問題的特征——假設(shè)存在——演繹推理——得出結(jié)論．

三、應(yīng)用能力問題

設(shè)用x單位量的水清洗一次以后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留農(nóng)藥量之比為函數(shù)f(x)．

(1)試規(guī)定f(0)的值,并解釋其實際意義;

(2)試根據(jù)實驗寫出的函數(shù)f(x)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì);

解(1)根據(jù)題意,規(guī)定f(0)=1表示沒有用水清洗時,蔬菜上的農(nóng)藥量將保持原樣．

(3)設(shè)僅清洗一次,殘留的農(nóng)藥量為

清洗兩次后,殘留的農(nóng)藥量為

于是有如下三種情形：

在情形① 時,清洗兩次后殘留的農(nóng)藥量較少;情形② 時兩種清洗方法具有相同的效果;情形③ 時,一次清洗殘留的農(nóng)藥量較少．

評注用數(shù)學知識解決實際問題,在數(shù)學學習中越來越體現(xiàn)出其重要地位,因此，要通過練習逐步掌握用所學數(shù)學知識解決生活中遇到的問題的方法,提高生活質(zhì)量和數(shù)學素養(yǎng)．

四、創(chuàng)新能力問題

(2)設(shè)0

評注問題(3)推廣時，對n奇偶性應(yīng)該考慮問題的不同之處,由“不同之處”適當“修正”對應(yīng)的結(jié)果．利用類比推理可以推測未知,發(fā)現(xiàn)新結(jié)論,尋找解決問題的思路和方法．

能力型問題旨在考察學生的閱讀、分析、歸納、概括和自學能力．因此在解題時,必須注意:閱讀定義、定理和公式時要理解其中的因果關(guān)系;閱讀解題過程時,在看懂過程的同時要注重內(nèi)蘊的數(shù)學思想方法;在方法模擬問題中,要注意遷移發(fā)展,探索創(chuàng)新．