“利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)取值范圍”一題引發(fā)的思考

王中其

一天兩位學(xué)生問了我一道題目：若函數(shù)在上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（）。

A.[-1，0]B.C.[0，3]D.

學(xué)生甲解法：

解：由條件可知在上恒成立，

即在上恒成立，則當(dāng)，

又時，，

函數(shù)在上為減函數(shù)，，所以。

學(xué)生已解法：

解：∵因為函數(shù)在上是增函數(shù)

∴函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，則，

∵，，解得：

作為老師我們當(dāng)然知道甲的解法是正確的，乙的解法高中階段存在理論上的支持問題，但關(guān)于乙解法中存在的問題，我們該如何給甲解釋呢？

我問乙：（1）由函數(shù)在上是增函數(shù)得出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上恒成立的理論依據(jù)是什么？（2）由解出的a的值是否滿足對任意的都使得函數(shù)在上是增函數(shù)呢？

乙回答：（1）數(shù)學(xué)選修教材2-2P23頁關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。（2）我們可以多帶幾個數(shù)字進(jìn)行檢驗，應(yīng)該沒有問題的。

我提示：改為：其他條件不變，請用你的方法分別計算出結(jié)果。

過程摘錄如下：

（1），則，解得：

（2），因為，所以只需滿足時，從而解得：。到此我們發(fā)現(xiàn)兩種方法的答案任然是一樣的，那么是不是這兩種解法是通用的呢？

我問道：在什么情況下，命題“在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減”的逆命題是成立呢？事實上，關(guān)于這個問題學(xué)生目前無法回答，但是我們有很多題目如果直接套用這個結(jié)論會簡化計算，給解題帶來很多方便。

選修2-2P23頁圖1.3-2中有反函數(shù)的圖像教材要求同學(xué)們“觀察下面一些函數(shù)的圖像，討論函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)關(guān)系。

我們知道反比例函數(shù)在定義域上

不是減函數(shù)，即他在上

不具有單調(diào)性。所以對于區(qū)間

即使函數(shù)滿足，他仍然在這個區(qū)間內(nèi)不滿足單調(diào)遞減。為什么呢？我們仔細(xì)觀察，當(dāng)自變量x分別從x軸正、負(fù)半軸趨近原點時，因變量y的取值是不相等的。我們把這種使得函數(shù)無定義或者在此不連續(xù)的點稱為間斷點，顯然一個函數(shù)有了間斷點他在這個區(qū)間上就無法求導(dǎo)或者不是連續(xù)（當(dāng)自變量x從x軸負(fù)半軸趨近0時，因變量y取值越來越小;當(dāng)x從x軸正半軸趨近0時，y取值越來越大，兩者不相等）。進(jìn)而我們可以得出結(jié)論：

如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，則命題“如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減”的逆命題也成立。那么以后我們遇到連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù)便可以借用此結(jié)論解題了。

所謂“一題多解”即同一數(shù)學(xué)問題用不同的數(shù)學(xué)方法來解答。其特點就是對同一個問題從不同的角度、不同的結(jié)構(gòu)形式、不同的相互關(guān)系通過不同的思路去解答同一個問題。一題多解能快速整合所學(xué)知識，重要的是能培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致的觀察力、豐富的聯(lián)想力和創(chuàng)造性的思維能力。蘇東坡的《題西林壁》“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”其中強調(diào)“橫看”、“側(cè)看”、“遠(yuǎn)看”、“近看”、“高看”、“低看”形象的給我們展示了“一題多解”的精髓。那么“一題多解”有哪些妙用呢？

我以為一能提高學(xué)生分析、解決問題的能力，能夠使學(xué)生開闊思路，把學(xué)過的知識和方法融會貫通，使用自如。如本篇這道題目兩種解法各有千秋，解法一讓人一目了然，可以培養(yǎng)學(xué)生處理問題的掌控能力，鼓勵學(xué)生在處理問題時要全面分析，把握各個要素，理清各自關(guān)系，按部就班，步步為營，各個擊破。解法二是在對基礎(chǔ)知識的熟知之上，運用對知識深刻理解后的“結(jié)論”處理各要素關(guān)系，進(jìn)而使問題迎刃而解，是一種簡便快捷而有效的方法。通過對這種一題兩解的培養(yǎng)，可以鍛煉學(xué)生在對基礎(chǔ)知識和方法的掌握之后進(jìn)行融會貫通，靈活運用。二是能提高多角度分析問題的能力，可以培養(yǎng)學(xué)生靈活、敏捷的思維能力，讓學(xué)生學(xué)會對問題進(jìn)行多角度、多層次的分析，達(dá)到對問題的全面理解，進(jìn)而迅速準(zhǔn)確的解決問題。三是可以培養(yǎng)發(fā)散思維及聯(lián)想能力。 通過一題多解的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維及聯(lián)想能力，學(xué)會用不同的知識解決同一個問題，達(dá)到對多種知識的融會貫通。這種多知識點的解法，讓學(xué)生真正體會到了數(shù)學(xué)的魅力，更深刻的理解了“條條大路通羅馬”的寓意，對培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力起到了積極的影響作用。

總之，學(xué)生的思維需要我們?nèi)ラ_發(fā)，我們?nèi)绻軓囊坏李}目入手，從一個概念入手，從一個探究入手，從我們的一個問題入手，讓思維的啟發(fā)無處不在，讓學(xué)生的成長無處不在，我們的教育就是成功的。