理解力培養(yǎng)與高中數學變式教學的有效性

陶述兵

摘 要： 學生在數學課堂上的學習效果很大程度上取決于學生在課堂上思維參與的深度與廣度，取決于他們對數學概念、數學問題理解的程度.如何幫助學生理解、鞏固教學內容？如何培養(yǎng)學生的理解力？問題是通向理解之路，好的問題是數學知識體系的生長點，也是課堂教學的生長點，而問題變式正是生產好問題的“法寶”.變式教學是課堂教學的一種重要的呈現(xiàn)形式，這種教學形式不僅能深刻地揭示教學內容的數學本質，而且能使數學課堂變得豐富而又精彩，有效調動學生思維的積極性.

關鍵詞： 變式 以人為本 再創(chuàng)造

1.有效的變式問題必須有明確的目標取向

變式問題要在學生已有的認知基礎之上，并且要結合教學的內容、目的和要求，要有助于學生對本節(jié)課學習內容的深層理解和掌握.

【例1】（高二第二學期課本P45橢圓的標準方程例2）已知定點F（-4，0），F(xiàn)（-4，0）和動點M（x，y），求滿足條件|MF| + |MF|=10的點M的軌跡方程.

變式1：已知定點F（-4，0），F(xiàn)（4，0）和動點M（x，y），求滿足條件|MF|+|MF=8的點M的軌跡方程.

變式2：已知定點F（-4，0），F(xiàn)（4，0）和動點M（x，y），求滿足條件|MF|+|MF|=2a（a>0）的點M的軌跡方程.

變式3：已知定點F（-4，0），F(xiàn)（4，0）和動點M（x，y），求使得△FFM的周長為18的點M的軌跡方程.

變式4：已知焦點F（-4，0），F(xiàn)（4，0），且經過A（3，12/5）的橢圓的標準方程.

變式5：已知橢圓的兩個焦點都在坐標軸上，且關于原點對稱，焦距為8，且經過A（0，5），求它的標準方程.

變式1和變式2是為了展現(xiàn)橢圓概念的內涵和外延，提示橢圓概念的本質而設置的；變式3和變式4是為了讓學生有目的地開展思維活動；變式5不僅將課本中的例題3融入其中，而且體現(xiàn)了橢圓標準方程的靈活應用.這樣的變式處理能在不知不覺中喚起學生的學習熱情，有效地在短暫的時間內提高學生運用知識的能力和分析問題的能力，避免了計算的重復和浪費，更有利于學生對概念的深層理解.

【例2】（高一第一學期課本P38其它不等式的解法例1）解不等式>2.

變式1：解不等式（x-1）（3x-2）（x+2）≤0.

變式2：解不等式≤0.

變式3：解不等式≤0.

變式4：解關于x的不等式>2（a∈R）.

課堂教學中設置變式1是為了引進解答分式不等式的一般方法——標根法；變式2與變式3是同一問題在不同角度、不同層面上的展現(xiàn)，考慮到學生在問題解決過程中可能產生的錯誤，設置了“陷阱”；變式4引入參數增加了問題的難度，滲透了分類討論的思想.這樣的變式教學可使問題由淺入深，步步為營，達到一定的難度，而又不至于讓學生在學習時感到跨度太大，并可以有效發(fā)展學生思維的深度和廣度，培養(yǎng)學生思維的嚴密性，在教學過程中有利于師生互動，容易駕馭課堂.

2.有效的變式問題的設計要適時適量

變式問題式是對教材理解的合理補充和拓展，變式應在學生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”，符合學生的認知規(guī)律和心理特征，有效的變式問題應考慮不同學段的呈現(xiàn)形式.

例3.（高一第一學期課本P63函數的運算例2）設f（x）=x，g（x）=，p（x）=f（x）+g（x），求p（x），并利用y=f（x）及y=g（x）的圖像作出y=p（x）的圖像.

變式1：判斷函數y=x+的奇偶性，并寫出它的單調區(qū)間.

變式2：如果函數f（x）=x+，（m>0）在區(qū)間（0，2]上單調遞減，在區(qū)間[2，+∞）上單調遞增，求m的值.

變式3：求函數f（x）=x+，（m>0）在（0，+∞）上的最小值.

變式4：已知不等式x-mx+4≥0在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范圍.

變式5：設常數m∈[1，4]，求函數f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值.

變式6：當n是正整數時，研究函數g（x）=x+（m>0）的單調性，并說明理由.

教材安排原題的目的是為了讓學生理解兩個函數和的意義，體會用函數圖像疊加的方法作函數圖像的過程.如果我們在課堂上應用上述變式問題顯然是不適時的，但如果我們在完成函數的基本性質的教學任務后，將這組變式問題中的變式1到變式3安排在復習課或習題課上，這不僅給學生提供了問題研究的方向，而且讓學生充分體會了函數y=ax+（a，b∈R）的基本性質的研究過程.由于學生在高一第一學期處于初、高中的過渡階段，同一問題的變式不宜過難、過量，故上述問題的另外三個變式可安排在高三復習課中實施.

3.有效的變式教學應在問題解決的過程中激活數學思想方法

數學問題的解決過程實際上就是在數學思想的指導下，運用合理的數學方法探求問題答案的過程.在教學過程中，我們常常會碰到這樣的情況：學生不僅具備了解決問題所需要的全部知識，而且知道了相應的解題方法，但仍然苦思不得其解，但經提示點撥后又恍然大悟，這說明學生對數學概念的理解停留在記憶和機械操作的層面，只知其一，不知其二，稍有變化，就不知所云.合理使用變式教學，可以啟迪學生思維，開拓解題思路，激活數學思想方法.

例5.求函數y=2sin（2x-）的最大值，并指出函數取最大值時x的集合.

變式1：求函數y=sin2x-cos2x的最大值，并指出函數取最大值時x的集合.

變式2：求函數y=2sinxcosx-2cosx+的最大值，并指出函數取最大值時x的集合.

變式3：求函數y=2sin（2x-），x∈0，的最大值，并指出函數取最大值時x的集合.

本題涉及正弦函數的有界性，兩倍角公式和輔助角公式.變式1和變式2的問題解決過程中均隱含了化歸思想；對變式的教學可滲透換元法和數形結合的思想.

例6.1993年高考數學試題（理工農醫(yī)類）的第18題：已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點，則過P點且與a，b所成的角都是30°的直線有且僅有（ ）

（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條

變式1：已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點，則過P點且與a，b所成的角都是25°的直線有且僅有（ ）

（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條

變式2：已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點，則過P點且與a，b所成的角都是65°的直線有且僅有（ ）

（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條

變式3：已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點，則過P點且與所成的角都是75°的直線有且僅有（ ）

（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條

變式4：已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一點，則過P點且與a，b所成的角α（0°≤a≤90°）都是的直線有且僅有？搖 ？搖？搖？搖條.

變式5：已知異面直線a與b所成的角為θ（0<θ<■），P為空間一點，則過P點且與a，b所成的角都是α（0°≤a≤90°）的直線有且僅有？搖？搖？搖 ？搖條.

這是一道源于課本又高于課本，既考查基礎知識又考查能力的好題，解決問題的方法是緊扣兩條異面直線所成角的定義，通過平移把問題轉化為過點的三條直線的位置關系的討論.教學中把它應用于課堂，進行變式訓練，可使學生經歷由特殊到一般的思維過程，學會“數學的思維”.

4.有效的變式教學應關注學生的參與度

要突出以“教師為主導，學生為主體”的新課程理念，強化課堂教學效果很大程度上取決于學生的參與情況，這就首先要求學生有參與意識.如何加強學生在課堂教學中的參與意識，使學生真正成為課堂教學的主人.一個理想、有效的變式問題，一組切實可行的變式題組，可體現(xiàn)課堂教學對象中各層次的現(xiàn)實需求，這是教科書無法達到的.

例7.（高一第一學期課本P70函數的基本性質例7（1））求二次函數y=2x-3x+1的最小值.

變式1：求函數y=2x-3x+1，x∈[-1，1]的最小值.

變式2：求函數y=-2x-3x+1，x∈[-1，1]的最小值.

變式3：求函數y=2x-3x+1，x∈[-1，a]（a>-1）的最小值.

變式4：求函數y=2x-ax+1，x∈[-1，1]的最小值.

變式5：已知函數y=2x-ax+1，x∈[-1，1]的最小值為3，求a的值.

變式6：已知不等式2x-ax+1≥3，x∈[-1，1]在上恒成立，求a的取值范圍.

本題采用了由特殊到一般，由具體到抽象的動態(tài)變式方法，由淺入深，設置了一連串的變式問題，不僅把二次函數在給定區(qū)間上的最大值與最小值的各種情況得以展現(xiàn)，突破了二次函數相關問題的教學難點，而且保證了不同層次學生的需求.這樣的變式教學可使不同層次學生的理解力得以相應提高，真正體現(xiàn)了“以人為本”的關懷取向.

進入終身學習的時代，學習能力更突出地成為人才的核心素質，理解力是學習能力的最關鍵的指標.優(yōu)質的變式問題，鮮活的課堂變式教學正是對學生理解力培養(yǎng)的有效途徑.讓我們共同努力，使變式教學成為數學的學術形態(tài)轉變?yōu)榻虒W形態(tài)的自然通道，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程.

參考文獻：

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