例說直線與圓位置關(guān)系的解題思路

劉美剛

【摘要】近年來，解析幾何在數(shù)學(xué)高考卷中一直占據(jù)較高的分值比重，特別是直線與圓的位置關(guān)系是長期以來的重點(diǎn)考點(diǎn)。作為考生而言，必須充分理解它們間的關(guān)系和解答思路，不管題型如何變，無非考察的就是這三種關(guān)系——相交、相離、相切。直線與圓的位置關(guān)系除考查位置關(guān)系之外，還考查軌跡問題和與圓有關(guān)的最值問題。本文將從直線與圓的幾種位置關(guān)系進(jìn)行分析介紹，再對幾種常見題型的的解題思路進(jìn)行分析，為各學(xué)校教師提供點(diǎn)參考意見。

【關(guān)鍵詞】直線 圓 位置關(guān)系 典型例題 解題思路

1.直線與圓的位置關(guān)系主要研究方法

方法一：幾何法，從幾何角度對直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行研究，從形上看，直線與圓的位置關(guān)系就只存在三種情況：第一種是相離，直線和圓沒有交點(diǎn)，如圖1-1所示；第二種是相切，直線和圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖1-2所示；第三種是相交，直線和圓有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖1-3所示。

方法二：代數(shù)法，通過解析幾何這一載體把幾何問題代數(shù)化，用數(shù)學(xué)運(yùn)算的方法進(jìn)行研究。典型的有兩種方法：

（1）從一元二次方程實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)進(jìn)行研究

把直線與圓方程聯(lián)立，化簡得到關(guān)于x或y的一元二次方程，將交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為求方程實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)問題，這一方法求解思路清晰，容易領(lǐng)會。當(dāng) ，方程無實(shí)數(shù)解，則直線與圓相離無交點(diǎn)；當(dāng) ，方程有一實(shí)數(shù)解，則直線與圓相切有一交點(diǎn)；當(dāng) ，方程有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則直線與圓相交有兩交點(diǎn)。

（2）從圓心到直線的距離d和半徑r的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究

圓心到直線的距離d和半徑r的數(shù)量關(guān)系與直線和圓的位置關(guān)系是對應(yīng)與等價(jià)的，位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化。所以直線和圓的位置關(guān)系可以根據(jù)點(diǎn)到直線的距離來確定。用代數(shù)法研究直線和圓的位置關(guān)系可以概括如表1-4所示。

直線和圓的位置關(guān)系的確定，目前主要的方法就是代數(shù)法，幾何法。幾何法強(qiáng)調(diào)對形的認(rèn)識，代數(shù)法強(qiáng)調(diào)對數(shù)的運(yùn)算和理解，幾何法指明了方向，代數(shù)法體現(xiàn)了研究問題的手段方法，中間還需借用其它工具，如不等式，數(shù)形結(jié)合是解決直線與圓位置關(guān)系問題的重要思想方法，體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)的層次和要求。

2.直線與圓的位置關(guān)系典型問題

下面將介紹幾個(gè)直線與圓的位置關(guān)系典型問題：

問題1.已知直線和圓，求直線和圓的位置關(guān)系。

問題2.已知點(diǎn)和圓，求直線方程。

這種題型是起初最普通、最常見的設(shè)問方向，此考點(diǎn)的難點(diǎn)和誤區(qū)就是要考慮斜率存不存在的情況。所以，在面對這種考點(diǎn)時(shí)，一般解題步驟是：第一步，先分析斜率不存在時(shí)的直線方程是否滿足，即平行于Y軸的直線方程；第二步，求斜率存在時(shí)的直線方程；第三步，綜合前面兩種情況，寫出滿足要求的直線方程。此類問題已經(jīng)進(jìn)行了轉(zhuǎn)變，例如引入?yún)⒆兞?，在分類討論的同時(shí)，可以靈活多變的在直線和圓之間進(jìn)行問題切換。

問題3.已知圓和直線方程，求點(diǎn)。

這種題型主要是變相的考察點(diǎn)到直線的距離以及直線和圓的位置關(guān)系。這種題型無非也就三種大情況，相交、相切、相離時(shí)，求到直線的距離的點(diǎn)的坐標(biāo)。第一種是在相離時(shí)，求圓上的點(diǎn)到直線的距離，且滿足要求的點(diǎn)的坐標(biāo)個(gè)數(shù)可能存在0個(gè)點(diǎn)，1個(gè)，2個(gè)點(diǎn)，還有一種變式是求最大距離或最小距離的點(diǎn)的坐標(biāo)。第二種是相切時(shí)，求圓上的點(diǎn)到直線的距離，且滿足要求的點(diǎn)的坐標(biāo)個(gè)數(shù)可能存在1個(gè)，2個(gè)。第三種是相交的情況下，求圓上的點(diǎn)到直線的距離，且滿足要求的點(diǎn)的坐標(biāo)個(gè)數(shù)可能存在1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)。解決此類問題首先要明確直線與圓的位置關(guān)系，然后根據(jù)題設(shè)分析滿足要求的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。

問題4.已知圓和直線方程，求弦長。

4.總結(jié)與寄語

無論考題怎么變，萬變不離其宗，考點(diǎn)就是這些。直線與圓的位置關(guān)系，在每年高考中，分值占據(jù)比較穩(wěn)定。目前和今后的考試趨勢是解析幾何的全面融合作為考題，直線與圓的位置關(guān)系的考點(diǎn)就涵括在綜合考題之內(nèi)，和不等式，函數(shù)等知識交叉。直線與圓的三種位置關(guān)系，對于考生而言必須熟練掌握解題技巧，強(qiáng)化運(yùn)算能力，還要有足夠的轉(zhuǎn)換意識，用好數(shù)和形兩種分析工具，充分利用圓是中心對稱和軸對稱圖形這一幾何特性，優(yōu)先思考直線和圓位置關(guān)系，找準(zhǔn)問題切入點(diǎn)，簡化答題策略，少走彎路。對于數(shù)學(xué)教師而言，要多引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，不能就題解題，而應(yīng)該了解掌握解題的理念，培養(yǎng)一種新穎靈活的解題意識。

【參考文獻(xiàn)】

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