從平衡的角度認(rèn)識分式

張丹

摘 要：分式的認(rèn)識和運算在初中數(shù)學(xué)課程中占有重要的地位，以平衡這一概念為邏輯起點，可以更為方便有效地促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的改善與提升。從分式的約分、公分、加減乘除四則運算等角度進(jìn)行分析，探究以平衡為基本概念的學(xué)習(xí)方法和技巧。希望通過這一嘗試和探究，為相關(guān)的教學(xué)活動提供一定的參考和借鑒。

關(guān)鍵詞：分式；平衡；學(xué)習(xí)方法；數(shù)學(xué)運算

從某種角度分析，分式是高等數(shù)學(xué)運算的重要基礎(chǔ)。如何有效地將分式的概念和運算規(guī)則等介紹給學(xué)生，是教學(xué)過程中最為本質(zhì)的問題。面對繁復(fù)多樣的分式，許多學(xué)生感到眼花繚亂，不知從何入手進(jìn)行分解和計算。實際上，從平衡的角度出發(fā)，許多看似復(fù)雜紛亂的分式，都可以迎刃而解。

一、借助平衡概念去分析約分過程

在了解分式的基本概念之后，對分式進(jìn)行約分成為一項基本的鍛煉。實際上約分的本質(zhì)過程就是將分子與分母之間的相同因數(shù)相除，精簡分式的表現(xiàn)形式。而其中最為根本的原則就是保持分式的值沒有發(fā)生改變，也就是始終保持了平衡，分子與分母之間的比例關(guān)系恒定。所謂“萬變不離其宗”，不管如何復(fù)雜的分式，在進(jìn)行約分的過程中，只要盡可能地去尋找分子與分母之間的相同因數(shù)，并同時除去，則約分一定會徹底完成。針對約分過程中出現(xiàn)的幾種基本類型，教師可以與學(xué)生共同歸納，將“單項式/單項式、單項式/多項式、多項式/單項式、多項式/多項式”幾種類型進(jìn)行逐一分析，可以保證分式的“值”不變，也就是保證了“分?jǐn)?shù)線的平衡”。比如，針對分式，教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行約分時，需要從“字母”“常數(shù)”“因式”“指數(shù)”“正負(fù)數(shù)”等幾個維度進(jìn)行綜合考慮，每一項都要兼顧到，每一項都完成對應(yīng)的分析與運算，則仍然保證分式的平衡。對于多項式而言，也同樣適用，通過化繁為簡的方式，利用“括號”的方式，將每個具有相同因數(shù)的項進(jìn)行分解，然后通過平衡的概念進(jìn)行相應(yīng)的運算，結(jié)果自然會得出。

二、通過平衡概念去處理加減運算

相對應(yīng)約分而言，通過平衡概念實現(xiàn)通分活動，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行加減運算，則顯得更為復(fù)雜，當(dāng)然也相對更為有趣。在處理通分的過程中，實際上對于學(xué)生而言最困難的仍然時“平衡”概念的掌握。分母不同的兩個分式之間，如果需要進(jìn)行加減運算，則必須經(jīng)過通分，保證分母相同。通過計算最小公分母，完成分式中相應(yīng)分子的變化過程。在這里需要突出強(qiáng)調(diào)的就是“每一個分子的變化與其分母都是同步，同值的”，也就是說仍然要保證通分之后，每個分式的值始終不變。這也就是強(qiáng)調(diào)“平衡”這一根本概念。比如在計算的過程中，需要完成通分的首要步驟就是尋找最小公分母，由于兩個分式的分母沒有任何相同因式，則只能進(jìn)行分母相乘，完成通分。而這個過程中最重要的就是保證分子也同時乘與分母相同的因數(shù)，仍然保證分式的值沒有發(fā)生任何變化。換個角度分析，兩個獨立的分式無論如何變化，始終不變的是分子與分母的比值。掌握這一平衡概念，則只需要按照四則運算的法則，逐步計算就可以了。平衡概念非常容易理解，但是在實際應(yīng)用中，卻經(jīng)常為學(xué)生所忽略，因此，教師在日常教學(xué)活動中，應(yīng)當(dāng)有意識地進(jìn)行滲透和強(qiáng)化，使其在每個環(huán)節(jié)和步驟都牢記平衡的概念。

三、依托平衡概念去解決指數(shù)問題

分式的乘除運算相對來講更為復(fù)雜，但是從平衡的概念出發(fā)，仍然不過是改變了運算的方法罷了，每個分式在參與運算之前，無論經(jīng)過何種形式變換，其值始終不變。比如對進(jìn)行運算的過程中，教師同樣需要引導(dǎo)學(xué)生從平衡的角度去考慮解決問題的方法與路徑。類似這樣的運算實際上最主要的運算過程在于指數(shù)的變化。每一次指數(shù)的變化一定要保持平衡，分子與分母同時增加或消減相應(yīng)的指數(shù)。該題中，分子與分母本身就是x、y，那么運算時，將x、y看作常數(shù)，無需考慮，而指數(shù)則進(jìn)行加減乘除活動。最終的計算變?yōu)榉肿优c分母指數(shù)的加減活動，可以順利得出結(jié)果。平衡概念在分式的乘除運算中除了簡單的單項式中字母指數(shù)的加減乘除外，對于更為復(fù)雜的多項式也同樣適用，不過是將作為除數(shù)的多項式分子與分母位置對調(diào)，最后與作為被除數(shù)的分式進(jìn)行分子與分子相乘，分母與分母相乘的結(jié)果，最終再通過約分，獲得最簡值的結(jié)果。

在初中的分式學(xué)習(xí)過程中，平衡是一個最為基本也最為重要的概念，教師需要在教學(xué)過程中堅持這一原則，并反復(fù)向?qū)W生強(qiáng)化這種概念，在堅持這一概念的基礎(chǔ)上，剩余的運算活動就會變得非常初級和簡單。在進(jìn)行平衡概念的宣傳與介紹過程中，教師應(yīng)盡量避免簡單枯燥的連續(xù)重復(fù)，而應(yīng)根據(jù)不同的情況靈活介紹給學(xué)生，力求使學(xué)生在輕松愉快的氛圍內(nèi)掌握這一概念。

參考文獻(xiàn)：

曹瑩瑩.參與意識在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的培養(yǎng)[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2013（15）.

編輯 姚曉媛