基于相空間重構和RELM的短時交通流量預測*

商強　楊兆升,2,3?　李志林　李霖　曲鑫

(1.吉林大學 交通學院， 吉林 長春 130022； 2.吉林大學 汽車仿真與控制國家重點實驗室， 吉林 長春 130022；

3.吉林大學 吉林省道路交通重點實驗室， 吉林 長春 130022)

基于相空間重構和RELM的短時交通流量預測*

商強1楊兆升1,2,3?李志林1李霖1曲鑫1

(1.吉林大學 交通學院， 吉林 長春 130022； 2.吉林大學 汽車仿真與控制國家重點實驗室， 吉林 長春 130022；

3.吉林大學 吉林省道路交通重點實驗室， 吉林 長春 130022)

摘要:為了提高短時交通流量預測的精度，構建了基于相空間重構和正則化極端學習機的短時交通流量預測模型.首先采用C-C算法求解交通流量時間序列的最佳時間延遲和嵌入維數(shù)，進行相空間重構；然后選用G-P算法計算序列關聯(lián)維數(shù)，判斷出短時交通流量序列具有混沌特性.在此基礎上，將重構數(shù)據(jù)作為正則化極端學習機的輸入和輸出來訓練模型，并采用網(wǎng)格搜索法優(yōu)化模型參數(shù).最后以實測數(shù)據(jù)為基礎，對模型的預測效果進行對比分析.結果表明，新構建模型的預測效果良好，能夠有效提高短時交通流量預測精度.

關鍵詞：交通工程；短時交通預測；相空間方法；極端學習機

實時準確的交通流量預測是智能交通控制和誘導的前提.交通控制的最大周期一般為2.5～3.0 min,交通誘導的周期一般為5 min，因此，5 min內(nèi)的短時交通流預測已成為研究熱點.短時交通流量預測模型和方法大致分為3類：①經(jīng)典數(shù)理方法模型，如卡爾曼濾波、非參數(shù)回歸模型[1- 3]；②人工智能模型，如神經(jīng)網(wǎng)絡、支持向量機[4- 6]；③非線性系統(tǒng)理論方法，如小波分析、混沌理論[7- 8].其中，混沌理論、神經(jīng)網(wǎng)絡和支持向量機在分析復雜的、不確定的非線性系統(tǒng)方面有較大優(yōu)勢.然而傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡模型采用梯度下降學習算法，存在學習速度慢、易陷入局部最優(yōu)的問題.極端學習機(ELM)是一種新發(fā)展的神經(jīng)網(wǎng)絡學習方法，能夠克服傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡的缺陷，提升訓練速度[9- 10].為改善ELM 的泛化能力，減少過擬合現(xiàn)象，與支持向量機類似，借鑒統(tǒng)計學習理論中的結構風險最小化原理，提出了正則化極端學習機(RELM)，并且在預測和模式識別中得到應用[11- 12].短時交通流自身的非線性、隨機性和不確定性等特征，在很大程度上增加了預測的難度.經(jīng)典數(shù)理方法模型通常預先給定模型結構和諸多假設(如殘差服從正態(tài)分布、交通流時間序列平穩(wěn))，難以取得滿意的預測效果.RELM模型沒有預先給定模型結構，而是以實際數(shù)據(jù)為驅(qū)動，并且具有較高的訓練速度和良好的泛化能力.

有鑒于此，文中提出一種將混沌理論中的相空間重構(PSR)與RELM相結合的短時交通流量預測模型(PSR-RELM)，并通過實測數(shù)據(jù)對模型預測效果進行了對比驗證.

1相空間重構

相空間重構是分析混沌時間序列的前提和基礎，能夠?qū)⒁痪S時間序列轉(zhuǎn)化到多維相空間，把混沌時間序列預測問題轉(zhuǎn)化為相空間的短期演化問題，從而合理地確定模型的輸入和輸出，有利于提高模型預測的精度.根據(jù)Takens嵌入延時定理[13]，如果嵌入維數(shù)m和時間延遲選擇恰當，則重構相空間與原系統(tǒng)等價，具有相同的拓撲結構.

設長度為N的一維交通流量時間序列為：x={xi|i=1,2,…,N}，那么重構后的相空間為

(1)

其中，M=N-(m-1)為相點數(shù).在重構相空間中，每個相點包括m個元素，每兩個相鄰元素的間隔為.

嵌入維數(shù)m和時間延遲的選取決定了相空間重構的質(zhì)量.傳統(tǒng)觀點認為m和是相互獨立的，需要單獨或依次求解，近年研究表明m和有著密切關系，可通過延遲時間窗w=(m-1)建立兩參數(shù)之間的關系.C-C算法[14]使用關聯(lián)積分構成統(tǒng)計量，通過統(tǒng)計量和時間延遲的關系同時求得和w，進而得到嵌入維數(shù)，關聯(lián)積分定義如下：

(2)

式中：M為相點數(shù)；r為鄰域半徑；dij為相空間中兩點間的歐氏距離，dij=‖Xi-Xj‖；H(z)為Heaviside階躍函數(shù)，其定義為

(3)

將時間序列{x(t),t=1,2,…,N}劃分為t個不相交的子序列.對于每個子序列，有

(4)

對全部S(m,N,r,t)取平均值：

(5)

式中，M為嵌入維數(shù)，J為r的數(shù)目.定義ΔS(m,t)為關于r的最大偏差，則

ΔS(m,t)=max{S(m,rj,t)}-min{S(m,rj,t)}

(6)

根據(jù)文獻[15]中有關幾種重要漸進分布的統(tǒng)計結論，在實際中常取m=2,3,4,5，ri=iσ/2,i=1,2,3,4,其中σ為序列的標準差.分別計算以下3個統(tǒng)計量：

(7)

(8)

(9)

2交通流混沌特性分析

交通流量時間序列具有混沌特性，是采用相空間重構方法構建預測模型的前提.吸引子關聯(lián)維數(shù)是判斷序列是否具有混沌特性的重要指標.對于隨機序列，關聯(lián)維數(shù)隨著嵌入維數(shù)的增加而增大，不會達到飽和；而對于混沌序列，關聯(lián)維數(shù)隨著嵌入維數(shù)的增加而逐漸趨于飽和.G-P算法是計算關聯(lián)維數(shù)的常用方法，其計算步驟如下[16]：

(10)

對所有的Xi(i=1,2,…,p)重復這一過程，得到關聯(lián)積分函數(shù):

(11)

式中,θ(u)={1,u≥0;或0,u<0}，r為無標度觀測尺度.當r充分小時,式(11)逼近下式：

lnCm(r)=lnC+D(m)lnr

(12)

則相空間Rm中奇異吸引子的關聯(lián)維數(shù)D可表示為

(13)

3基于RELM的預測模型

3.1RELM基本原理

RELM基本原理如下：對于時間序列集合:G={(x1,t1),…,(xi,ti),…,(xN,tN)}.其中，xi=[xi1,…,xin]∈Rn，ti=[ti1,ti2,…,tim]∈Rm，i=1,2,…,n，隱含層節(jié)點數(shù)為L，激勵函數(shù)為g(x)的RELM回歸模型為

(14)

Hβ=T

(15)

式中，H為隱含層輸入矩陣，具體形式為

RELM模型求解優(yōu)化問題如下：

(16)

s.t.

(17)

譯文： Third，starting from childhood means that children need to start with themselves，and make every possible effort to cultivate good morality．“A young idler，an old beggar．” and “A journey of one thousand miles begins with the first step．”[1]203

(18)

式中，ω=[ω1,ω2,…,ωN]，表示Lagrange乘子.分別求參數(shù)偏導，令Lagrange函數(shù)偏導數(shù)為0，解得

(19)

式中，I為單位矩陣.最后得到RELM預測模型為

(20)

3.2RELM模型輸入和輸出

為了提高RELM模型的預測精度，將模型設計為單步預測模型，即模型的輸入為重構相空間的一個相點：Xi=[xi,xi+,…,xi+(m-1)]T，i=1,2,…,M,模型輸出為下一時刻i+(m-1)+1的交通流量xi+(m-1)+1.

為了消除原始數(shù)據(jù)形式不同帶來的影響，提升模型訓練速度和預測性能，在模型訓練和測試前，需要將輸入和輸出樣本歸一化到區(qū)間[0,1]，其公式為

(21)

式中，xi為原始數(shù)據(jù)，yi為歸一化數(shù)據(jù)，xmax為原始數(shù)據(jù)的最大值，xmin為原始數(shù)據(jù)的最小值.

4實際應用

實驗數(shù)據(jù)來源于上?？焖俾凡荚O的感應線圈檢測器，能夠記錄經(jīng)過檢測器的車輛數(shù)，每20 s輸出一次統(tǒng)計結果.考慮到交通控制周期和交通誘導周期的需求，將20 s間隔交通流量合成為2 min間隔的交通流量.選取連續(xù)5個工作日(2008年9月8日至9月12日)6:00-18:00時段內(nèi)的2 min交通流量序列作為分析對象.所得交通流量時間序列如圖1所示，由圖可知交通流量變化復雜，表現(xiàn)出非線性、時變性和不確定性.將前4天交通流量數(shù)據(jù)作為訓練集，構建預測模型；將第5天交通流量數(shù)據(jù)作為測試集，對比分析模型的預測效果.

圖1　5天交通流量時間序列

4.1相空間重構

使用C-C算法計算交通流量時間序列的最佳嵌入維數(shù)m和最佳時間延遲.(t)與t、Scor(t)與t的關系曲線如圖2所示.當t=6時(圖中箭頭標注位置)，(t)取得第1個極小值，即最佳時間延遲=6.當t=52時(圖中箭頭標注位置)，Scor(t)取得最小值，即延遲時間窗w=52，從而求得最佳嵌入維數(shù)m=10.

4.2交通流混沌特性分析

通過G-P算法求解交通流量序列的飽和關聯(lián)維數(shù)，lnC(r)-lnr關系曲線如圖3所示.由圖可見，lnC(r)-lnr曲線隨嵌入維數(shù)m增大逐漸平行，即關聯(lián)維數(shù)逐漸達到飽和.擬合m=15時，lnC(r)-lnr關系曲線的近似直線部分.所得擬合直線斜率為2.807 2，可認為交通流量序列的吸引子飽和關聯(lián)維數(shù)D=2.807 2.隨著嵌入維數(shù)的增加，關聯(lián)維數(shù)逐漸趨于飽和.這一現(xiàn)象說明2 min采樣間隔的交通流量時間序列具有混沌特性.

圖3　交通流量時間序列的ln C(r)-ln r曲線

4.3模型訓練和參數(shù)優(yōu)化

前4個工作日的交通流量時間序列包括1 440個數(shù)據(jù)，其重構相空間為

(22)

圖4　網(wǎng)格搜索RELM的最優(yōu)參數(shù)組合

4.4模型預測性能分析

為了更加精確地評價各模型預測效果，除了式(22)給出的MSE指標，再引入平均絕對誤差(MAE)、平均絕對百分比誤差(MAPE)和均等系數(shù)(EC)3個評價指標，評價各個模型的預測效果.

(1)平均絕對誤差(MAE)

(23)

(2)平均相對百分比誤差(MAPE)

(24)

(3)均等系數(shù)(EC)

(25)

使用第5天交通流量(包括360個2 min交通流量數(shù)據(jù))構建測試集.圖5為各模型交通流量預測值和實際值的對比曲線.表1為各模型預測的4個指標值.由圖5可知，PSR-RELM模型預測流量與實際流量的擬合效果最好.從6:20至7:30，交通流量在波動中迅速增加，早高峰出現(xiàn).交通流量的急劇變化增大了預測難度.從圖5給出的各模型預測效果曲線可以看出，在該時段內(nèi)PSR-RELM模型擬合效果同樣超過其他預測模型.由表1可知，PSR-RELM模型EC值為0.932，比其他模型EC值更加接近1，也說明該模型預測值與實際值擬合最佳.在3個誤差指標(MAE、MAPE和MSE)方面，PSR-RELM模型預測誤差均低于其他模型，表明該模型具有更高的預測精度.其中，未經(jīng)相空間重構的RELM模型預測效果最差(EC值低于0.9，3項誤差指標均大于其他預測模型)，說明合理的相空間重構能夠有效提高交通流量混沌時間序列的預測精度.綜上所述，文中構建的短時交通流量預測模型(PSR-RLEM)預測效果良好，能夠進一步提高短時交通流量預測精度.

圖5　不同模型預測結果

Table 1Comparison of prediction results based on multiple evaluation indexes

模型MAEMAPEMSEECPSR-RELM7.178.34%71.550.932PSR-ELM8.2610.23%87.050.918RELM13.1814.65%227.830.821PSR-SVR10.1111.76%136.890.915

5結論

文中提出了一種基于相空間重構和RELM的短時交通流量預測模型(PSR-RELM).將交通流量時間序列進行相空間重構，并通過關聯(lián)維數(shù)逐漸趨于飽和，判定原序列具有混沌特性；根據(jù)重構相空間的相點確定RELM輸入-輸出，采用網(wǎng)格搜索法優(yōu)化模型參數(shù)，完成模型的構建.基于相同的實測數(shù)據(jù)，將新建模型與PSR-ELM模型、RELM模型、PSR-SVR模型的預測效果進行多指標對比，得出以下結論：

(1)基于相空間重構與正則化極端學習機的預測模型(PSR-RELM)具有最佳的預測效果，預測精度優(yōu)于基于相空間重構與極端學習機的預測模型(PSR-ELM)、基于相空間重構和支持向量回歸的預測模型(PSR-SVR)、未經(jīng)相空間重構的正則化極端學習機預測模型(RELM).

2)未經(jīng)相空間重構的極端學習機模型(RELM)預測性能均低于其他經(jīng)過相空間重構的預測模型(PSR-RELM、PSR-ELM、PSR-SVR)，說明相空間重構能夠提高混沌交通流量時間序列的預測精度.

參考文獻：

[1]WANG Y,PAPAGEORGIOU M.Real-time freeway traffic state estimation based on extended Kalman filter:a gene-ral approach [J].Transportation Research Part B:Metho-dological,2005,39(2):141- 167.

[2]趙建東,王浩,劉文輝.高速公路旅行時間的自適應插值卡爾曼濾波預測 [J].華南理工大學學報(自然科學版),2014,42(2):109- 115.

ZHAO Jian-dong,WANG Hao,LIU Wen-hui.Prediction of expressway travel time based on adaptive interpolation kalman filtering [J].Journal of South China University of Technology(Natural Science Edition),2014,42(2):109- 115.[3]張曉利，陸化普.非參數(shù)回歸方法在短時交通流預測中的應用 [J]．清華大學學報(自然科學版)，2009,49(9):1471- 1475.

ZHANG Xiao-li,LU Hua-pu.Non-parametric regression and application for short-term traffic flow forecasting [J].Journal of Tsinghua University(Science and Technology),2009,49(9):1471- 1475.

[4]HONG W C,DONG Y C,ZHENG F F,et al.Forecasting urban traffic flow by SVR with continuous ACO [J].Applied Mathematical Modelling,2011,35(3):1282- 1291.

[5]楊兆升,王媛,管青.基于支持向量機方法的短時交通流量預測方法 [J].吉林大學學報(工學版),2006,36(6):881- 884.

YANG Zhao-sheng,WANG Yuan,GUAN Qing.Short-time traffic prediction method based on SVM [J].Journal of Jilin University(Engineering and Technology Edition),2006,36(6):881- 884.

[6]傅貴,韓國強,逯峰,等.基于支持向量機回歸的短時交通流預測模型 [J].華南理工大學學報(自然科學版),2013,41(9):71- 76.

FU Gui,HAN Guo-qiang,LU Feng,et al.Short-term traffic flow forecasting model based on support vector machine regression [J].Journal of South China University of Technology(Natural Science Edition),2013,41(9):71- 76.

[7]張玉梅，曲仕茹，溫凱歌．交通流量的混沌特性分析及預測模型研究 [J].土木工程學報，2009，42(1):119- 123.

ZHANG Yu-mei,QU Shi-ru,WEN Kai-ge.Chaotic pro-perty analysis and prediction model study for traffic flow time series [J].China Civil Engineering Journal,2009,42(1):119- 123.

[8]楊立才,賈磊,孔慶杰,等.粗正交小波網(wǎng)絡及其在交通流預測中的應用 [J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2005,25(8):124- 129.

YANG Li-cai,JIA Lei,KONG Qing-jie,et al.Rough orthogonal wavelet network and its applications to the traffic flow forecast [J].Systems Engineering-Theory & Practice,2005,25(8):124- 129.

[9]HUANG G B,ZHU Q Y,SIEW C K.Extreme learning machine:theory and applications [J].Neurocomputing,2006,70(1):489- 501.

[10]SINGH R,BALASUNDARAM S.Application of extreme learning machine method for time series analysis [J].International Journal of Intelligent Technology,2007,2(4):256- 262.

[11]鄧萬宇，鄭慶華，陳琳，等．神經(jīng)網(wǎng)絡極速學習方法研究 [J].計算機學報，2010,33(2):279- 287.

DENG Wan-yu,ZHENG Qing-hua,CHEN Lin,et al.Research on extreme learning of neural networks [J].Chinese Journal of Computers,2010,33(2):279- 287.

[12]ZHENG W,QIAN Y,LU H.Text categorization based on regularization extreme learning machine [J].Neural Computing and Applications,2013,22(3/4):447- 456.

[13]TAKENS F.On the numerical determination of the dimension of an attractor [M].Berlin:Spring-Verlag,1985:366- 381.

[14]KIM H S,EYKHOLT R,SALAS J D.Nonlinear dynamics,delay times,and embedding windows [J].Physica D:Nonlinear Phenomena,1999,127(1):48- 60.

[15]BROCK W A,HSIEH D A,LEBARON B D.Nonlinear dynamics,chaos,and instability:statistical theory and economic evidence [M].Cambridge:MIT press,1991.

[16]GRASSBERGER P,PROCACCIA I.Characterization of strange attractors [J].Physical Review Letters,1983,50(5):346.

Short-Term Traffic Flow Prediction Based on Phase Space Reconstruction and RELM

SHANGQiang1YANGZhao-sheng1,2,3LIZhi-lin1LILin1QUXin1

(1.College of Transportation,Jilin University,Changchun 130022, Jilin, China;2.State Key Laboratory of Automobile Simulation and Control, Jilin University,Changchun 130022,Jilin,China;3.Jilin Province Key Laboratory of Road Traffic,Jilin University, Changchun 130022,Jilin,China)

Abstract:In order to increase the accuracy of short-time traffic flow prediction, a flow prediction model based on the phase space reconstruction and the regularized extreme learning machine is put forward. In this method, the C-C method is used to calculate the best time delay and embedding dimension of traffic flow time series for phase space reconstruction,and the G-P algorithm is used to calculate the correlative dimension of the seriesthat is an important judgment index ofthe chaotic characteristics of traffic flow series. Then, the reconstructed phase point data are taken as the inputs and outputsto trainthe regularized extreme learning machine model, and the main parameters of the model are determined by means of grid searching. Finally, a comparative analysis is carried out based on the actual measured traffic flow data. The results show that the proposed model possesses high performance and is effective in improving the accuracy of short-time traffic flow prediction.

Key words:trafficengineering; short-term traffic prediction; phase space method; extreme learning machine

收稿日期:2015- 06- 17

*基金項目:國家科技支撐計劃項目(2014BAG03B03)；國家自然科學基金資助項目(51308249,51308248,51408257)；山東省省管企業(yè)科技創(chuàng)新項目(20122150251- 5)

Foundation items: Supported by the National Key Technology Reserch and Development Program the Ministry of Science and Technology of China(2014BAG03B03) and the National Natural Science Foundation of China(51308249,51308248,51408257)

作者簡介:商強(1987-)，男，博士生，主要從事智能交通信息處理與應用研究.E-mail:shangqiang14@mails.jlu.edu.cn ?通信作者: 楊兆升(1938-)，男，教授，博士生導師，主要從事智能交通系統(tǒng)關鍵理論與技術研究.E-mail:yangzs@jlu.edu.cn

文章編號:1000- 565X(2016)04- 0109- 06

中圖分類號：U 491

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2016.04.016