基于Taylor-Edgeworth級數(shù)的結(jié)構(gòu)可靠性分析*

孟廣偉　馮昕宇　周立明　李鋒

(吉林大學 機械科學與工程學院， 吉林 長春 130025)

基于Taylor-Edgeworth級數(shù)的結(jié)構(gòu)可靠性分析*

孟廣偉馮昕宇周立明李鋒?

(吉林大學 機械科學與工程學院， 吉林 長春 130025)

摘要:為了解決工程實際中高維非線性或功能函數(shù)為隱式的情況給結(jié)構(gòu)數(shù)值分析帶來的困難，文中提出了一種新型結(jié)構(gòu)可靠性直接分析方法.首先利用降維算法將維函數(shù)展開為個一維函數(shù)的形式，再將各一維函數(shù)中的變量運用變量轉(zhuǎn)換方法進行變換，并結(jié)合Gauss-Hermite數(shù)值積分方法，計算得到個一維函數(shù)的原點矩及中心矩，將所得矩信息與Taylor展開計算出的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的中心矩結(jié)合，再借助Edgeworth級數(shù)法推導出結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的累積分布函數(shù)表達式，并運用結(jié)構(gòu)可靠性理論計算得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的失效概率.該方法在計算過程中無需進行多重積分計算功能函數(shù)的統(tǒng)計矩.數(shù)值算例結(jié)果表明該方法正確可行.

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)可靠性；降維算法；Taylor展開；Edgeworth級數(shù)；矩方法

目前工程結(jié)構(gòu)可靠性分析[1- 3]大多數(shù)采用概率統(tǒng)計理論進行研究，且研究的主要內(nèi)容之一是求解結(jié)構(gòu)的失效概率，但在多數(shù)工程實際問題中無法明確獲得顯式結(jié)構(gòu)功能函數(shù)或所得功能函數(shù)的非線性程度較高.通常情況下運用數(shù)值計算方法來計算結(jié)構(gòu)的響應,但在具體求解過程中時會遇到各種困難.例如，梯度計算的可靠性分析方法，傳統(tǒng)的一次二階矩法[4]和二次二階矩法[5]，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為隱式或在驗算點附近的非線性程度較高，很難獲得梯度函數(shù)而難以實施；對于基于數(shù)字模擬的可靠性分析方法，如蒙特卡洛法[6- 7]等，由于其不斷模擬結(jié)構(gòu)響應的工作量太大使得其在工程實際中的應用范圍受到一定的限制；對于基于構(gòu)建擬合真實函數(shù)的可靠性方法，如響應面法[8- 9]和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[10- 11]等，前者受到函數(shù)形式和抽樣點位置的限制，后者受到參數(shù)選擇、局部最優(yōu)、拓撲結(jié)構(gòu)等因素的限制.

有鑒于此，文中結(jié)合降維算法、變量轉(zhuǎn)換法、Gauss-Hermite數(shù)值積分、Taylor展開及Edgeworth級數(shù)[12- 13]進行結(jié)構(gòu)的可靠性分析.采用降維算法，將n維函數(shù)展開為n個一維函數(shù)，利用變量轉(zhuǎn)換法與Gauss-Hermite數(shù)值積分計算得到n個一維函數(shù)的原點矩及其相應的中心矩，且由Taylor展開計算得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的統(tǒng)計矩信息，再將所得的前4階中心矩作為系數(shù)代入到Edgeworth級數(shù)展開式中，從而計算得到結(jié)構(gòu)的失效概率.最終，利用算例驗證了文中方法的正確性與合理性.

1降維算法

g12…n(x1,x2,…,xn)

(1)

式中，g0為常量，gi(xi)僅為變量xi對函數(shù)的一階表達，gi1i2(xi1,xi2)為變量xi1和xi2兩者共同對函數(shù)作用的二階表達，gi1i2…ik(xi1,xi2,…,xik)為前k階項共同對函數(shù)作用的表達，g12…n(x1,x2,…,xn)為所有變量共同對函數(shù)作用的表達.

為不失一般性，任取空間中的任意一個參考點c={c1,c2,…,cn}，而僅考慮式(1)的一階項，則所得函數(shù)可由下式表達為

gi(xi)=gi-g(c)

(2)

式中，gi=g(c1,c2,…,ci-1,xi,ci+1,…,cn).文獻[16]中指出參考點c的最優(yōu)點值為各變量的均值，則式(2)中的g(c)，μxi為xi的均值.gi可分別改寫為g(c)=g(μx1,μx2,…,μxn)、gi=g(μx1,μx2,…,μxi-1,μxi,μxi+1,…,μxn).

由此知n維函數(shù)g(X)的單變量(降維)表達形式也可由n個一維函數(shù)g(xi)來表達，可寫為

(3)

式中：g(xi)=g(μx1,…,μxi-1,xi,μxi+1,…,μxn)，為一維函數(shù)；g(x0)=g(μx1,μx2,…,μxi,…,μxn)，為常數(shù)項.

2一維函數(shù)的統(tǒng)計矩

由式(3)得到功能函數(shù)的單變量近似表達，可通過傳統(tǒng)的直接高斯積分方法求解一維函數(shù)g(xi)的統(tǒng)計矩信息，但在計算過程中會帶來較大的誤差.

不失一般性地任意選取一組相互獨立且分布類型不限的向量X=[X1,X2,…,Xn]T轉(zhuǎn)換成一組服從正態(tài)分布且獨立的向量U=[u1,u2,…,un]T.經(jīng)轉(zhuǎn)換后可得

(4)

式中,Φ-1[*]為標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)的逆函數(shù)，變量Xi的累積分布函數(shù)為FXi(Xi).經(jīng)轉(zhuǎn)換后的概率密度函數(shù)fUi(ui)和累積分布函數(shù)FUi(ui)可分別表達為

(5)

(6)

(7)

式中，ωi為高斯權(quán)重，f(xi)為xi的概率密度函數(shù)，k為矩的階數(shù).

因而，文中在計算一維函數(shù)g(xi)的統(tǒng)計矩時，首先將變量均轉(zhuǎn)換為服從N(0,0.5)的變量，即可不受到變量分布類型的限制，再選用Gauss-Hermite數(shù)值積分方法推導出式(7)，避免了傳統(tǒng)的高斯積分的指數(shù)項帶來的計算誤差.

由式(7)計算得到一維函數(shù)的各階原點矩，借助于中心矩與原點矩間關(guān)系式，可得一維函數(shù)前四階中心矩表達式為

(8)

(9)

(10)

3功能函數(shù)的統(tǒng)計矩

在得到各一維函數(shù)的統(tǒng)計矩后，文中借助于Taylor展開，并且僅展開其至1階項，其他階次項所帶來的誤差暫且不計，可得n維函數(shù)Z=g(X)的前四中心階矩表達式.

一階矩(均值)表達式為

(11)

式中,E[·]為期望算子.

二階中心矩(方差)表達式為

(12)

三階中心矩(偏度)表達式為

(13)

四階中心矩(峰度)表達式為

(14)

4Edgeworth級數(shù)

由式(11)-(14)得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的前四階中心矩后，Edgeworth級數(shù)可以任意精確地逼近隨機變量的真實分布，且通常取其前4項便可獲得較好的精度，將四階矩作為Edgeworth級數(shù)展開式中的系數(shù)來擬合功能函數(shù)相應的累積分布函數(shù)F(g)及其概率密度函數(shù)f(g).

由Edgeworth級數(shù)展開法知，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的概率密度函數(shù)f(g)和累積分布函數(shù)F(g)可分別表達為

(15)

結(jié)合矩方法與Edgeworth級數(shù)展開式來擬合功能函數(shù)相應的累積分布函數(shù)，簡化了求解的復雜程度.

5數(shù)值算例

5.1算例1

考慮一個乘積形式的非線性功能函數(shù)g(x1,x2,x3,x4)，4個隨機變量相互獨立，計算其失效概率.隨機變量統(tǒng)計參數(shù)見表1.功能函數(shù)為在結(jié)構(gòu)可靠度計算中，蒙特卡洛(MCS)被認為是一種準確的計算方法，可將其結(jié)果作為精確解來進行對比，在文中未給出相對誤差比較.文中方法計算的失效概率相對誤差僅為0.56%，與MCS結(jié)果偏差較小.表2中列舉了采用其他幾種計算方法的結(jié)果，通過表2的比較，體現(xiàn)了文中方法的正確性與合理性，在計算精度方面也具有一定的優(yōu)越性.

(17)

表1基本隨機變量統(tǒng)計特征值

Table 1Statistical characteristic values of basic random variables

隨機變量分布類型均值變異系數(shù)偏態(tài)系數(shù)峰度系數(shù)x1正態(tài)1.20.3003x2正態(tài)2.40.0303x3正態(tài)50.00.0603x4正態(tài)25.00.3003

表2　算例1的失效概率結(jié)果

5.2算例2

自行車車架的尺寸和關(guān)鍵點的位置如圖1所示.其中泊松比μ=0.3，彈性模量E=0.7×109Pa，L1桿是車頭前叉位置，3號點是車座位置，4號點是腳踏中軸位置，5號點和6號點是后輪所在位置，它們位于車架對稱面的兩側(cè)，z3=50 mm，由這兩點引出后叉水平桿L5和L6、后叉斜桿L7和L8，各桿件長如圖1所示.利用空間管單元PIPE16，P1=750 N，P2=240 N.在節(jié)點3處施加豎直向下車架載荷P1，節(jié)點4處同時施加豎直向下腳踏載荷P2，參數(shù)統(tǒng)計特征值列于表3.自行車車架的屈服應力為σs,自行車車架的最大Mises應力為σ，可得到功能函數(shù)為

g=σs-σ

(18)

圖1　自行車車架尺寸、關(guān)鍵點和線的布置

Fig.1Dimension of the bicycle and distribution of keypoints and lines

表3自行車車架參數(shù)統(tǒng)計特征值

Table 3Statistical characteristic values of the bicycle frame parameters

隨機變量分布類型均值變異系數(shù)偏態(tài)系數(shù)峰度系數(shù)P1對數(shù)正態(tài)750N0.070.21033.0770P2對數(shù)正態(tài)240N0.060.18133.0603σs正態(tài)235MPa0.0303

文中首先由式(1)可知，n維結(jié)構(gòu)功能函數(shù)g(X)可由單變量降維表達式來近似表達，為計算其統(tǒng)計矩信息，則需結(jié)合變量轉(zhuǎn)換法和Gauss-Hermite數(shù)值積分方法計算一維函數(shù)g(xi)的原點矩及其相應的中心矩信息，調(diào)用自行車車架結(jié)構(gòu)的有限元程序，即獲得自行車車架的最大Mises應力的樣本點，再運用Taylor級數(shù)推導出的式(11)-(14)來計算結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的前四階中心矩，借助Edgeworth級數(shù)展開法將所得的統(tǒng)計矩信息作為系數(shù)代入式(16)，可得自行車車架最大Mises應力(即結(jié)構(gòu)功能函數(shù))的累積分布函數(shù)及結(jié)構(gòu)的失效概率.

由式(18)給出的自行車車架結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)為隱函數(shù)，不能通過基于梯度計算的FORM與SORM來直接計算獲得式(18)的梯度.文中利用ANSYS軟件中的PDS模塊進行有限元分析，采用MCS直接抽樣方法并與之相比較，抽樣次數(shù)為2×105次，所需計算時間為45 950.844 s，而文中方法僅需0.489 7 s,重分析次數(shù)為9；文中方法的失效概率為0.004 8，MCS的失效概率為0.004 9，相對誤差僅為0.184%.圖2為自行車車架實體模型.該算例方法實現(xiàn)簡單，計算功能函數(shù)的前四階中心矩結(jié)果列于表4，圖3為其與MCS法對比的概率密度函數(shù)圖，圖4為其與MCS法對比的累積分布函數(shù)圖,從上圖中可看出文中方法與MCS法的吻合度較好.

圖2　自行車車架實體模型

中心矩MCS文中方法相對誤差/%一階35.096935.09480.006二階170.4425170.44830.003三階-256.4940-253.41931.198四階8.8209×1048.7344×1040.980

圖3　功能函數(shù)的概率密度

文中方法在計算過程中無需進行多重積分的計算，無需求解功能函數(shù)的逆矩陣，無需尋找結(jié)構(gòu)的最可能失效點，說明該方法具有正確性和可行性.

圖4　功能函數(shù)的累積分布

6結(jié)論

文中提出了一種基于降維算法、變量轉(zhuǎn)換法、Gauss-Hermite數(shù)值積分方法、Taylor級數(shù)及Edgeworth級數(shù)展開法的直接結(jié)構(gòu)可靠性分析方法.降維算法變繁為簡,可以降低多重積分的工作量,無需求解功能函數(shù)的逆矩陣;變量轉(zhuǎn)換法、Gauss-Hermite數(shù)值積分方法相結(jié)合保證了一維函數(shù)的統(tǒng)計矩信息的計算精度;利用Taylor級數(shù)推導并簡化了功能函數(shù)統(tǒng)計矩的求解;借助于Edgeworth級數(shù)展開法與所得統(tǒng)計矩信息可推導出結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的累積分布函數(shù).文中方法降低了多重積分的工作量,簡化了結(jié)構(gòu)功能函數(shù)統(tǒng)計矩的求解過程,算法簡單且易于編程.數(shù)值算例結(jié)果表明文中方法具有正確性與合理性.

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Structural Reliability Analysis Based on Taylor-Edgeworth Series

MENGGuang-weiFENGXin-yuZHOULi-mingLIFeng

(School of Mechanical Science and Engineering, Jilin University, Changchun 130025, Jilin, China)

Abstract:In order to overcome the difficulties in structural numerical analysis caused by the high-dimension nonlinearity or the implicit performance functions in engineering practice, a numerical method to directly analyze the structural reliability is proposed. In this method, the n-dimension function is changed into n single-dimension functions via the dimension reduction, and the origin moment and the central moment of each single-dimension function are calculated through the variable transformation of the single-dimension functions and the Gauss-Hermite numerical integration. Then, the moment information is combined with the central moment of the structural performance function obtained by Taylor expansion, the cumulative distribution function of the structural performance function is deduced with the help of Edgeworth series, and the failure probability of the structural performance function is calculated based on the structural reliability theory. The proposed method avoids the multiple integrations for the statistical moment calculation of the performance function. Numerical examples show that this method is correct and feasible.

Key words:structural reliability; dimensionality reduction algorithm; Taylor expansion; Edgeworth series; moment method

收稿日期:2015- 09- 24

*基金項目:吉林省科技廳基金資助項目(201205001,201215048)；國家重大科學儀器設(shè)備開發(fā)專項(2012YQ030075)

Foundation item:Supported by the Jilin Provincial Department of Science and Technology Fund Project(201205001,201215048) and the National Key Scientifc Instrument and Equipment Development Projects(2012YQ030075)

作者簡介:孟廣偉(1959-)，男，博士，教授，主要從事疲勞與斷裂研究.E-mail:mgw@jlu.edu.cn ?通信作者: 李鋒(1977-)，男，博士，副教授，主要從事疲勞與斷裂研究.E-mail:fengli@jlu.edu.cn

文章編號:1000- 565X(2016)04- 0130- 05

中圖分類號：TB 114.3

doi：10.3969/j.issn.1000-565X.2016.04.019