運(yùn)用建模思想解決數(shù)學(xué)難題

張成

《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出發(fā)展模型思想也是小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)目標(biāo)之一，教師要注重學(xué)生運(yùn)用自己已有的經(jīng)驗(yàn)來(lái)抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并建立數(shù)學(xué)模型，嘗試通過(guò)數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。在數(shù)學(xué)課程中，模型思想已經(jīng)成了學(xué)生必須掌握的一種思想，教師在教學(xué)中要注意在潛移默化中讓學(xué)生運(yùn)用建模思想解決各種數(shù)學(xué)難題。

一、建立模型，提取共性

專家劉振航在《數(shù)學(xué)模型》中提出數(shù)學(xué)建模就是從生活中各種雜亂無(wú)章的現(xiàn)象里抽象出一定的數(shù)學(xué)關(guān)系，組建成一個(gè)數(shù)學(xué)模型，也就是說(shuō)，建立模型必須要在各種生活現(xiàn)象中抽取出共性來(lái)。教師在教學(xué)的過(guò)程中可以組織學(xué)生圍繞各種生活現(xiàn)象和問(wèn)題情境抽象出一定共性，并嘗試建立模型。

例如在指導(dǎo)學(xué)生掌握平行的幾何概念的時(shí)候，教師就可以讓學(xué)生先從生活中觀察到的現(xiàn)象中抽象出平行的概念，讓學(xué)生通過(guò)感知火車鐵軌、雙杠、五線譜等事物，在觀察中感知平行的概念。但是只是單純觀察還無(wú)法讓學(xué)生從中抽取共性，建立模型，教師還要給學(xué)生一些啟發(fā)，讓學(xué)生提高認(rèn)知，將關(guān)注的焦點(diǎn)從單純的兩條直線上升到注意兩條直線之間的距離。教師可以讓學(xué)生嘗試建立模型，并圍繞模型思索一些問(wèn)題，如兩條直線在什么時(shí)候永遠(yuǎn)不會(huì)相交，嘗試量一下兩條平行線之間的距離，觀察一下這些垂線之間有什么關(guān)系。同時(shí)再將問(wèn)題回歸到社會(huì)生活中，讓學(xué)生思考，如在生活中，鐵軌是平行的，那么人們又是通過(guò)什么方法確保鐵軌之間一定是平行的呢？在思考這些問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生所建立的數(shù)學(xué)模型會(huì)越來(lái)越清晰，他們可以從模型中提取共性，那就是當(dāng)兩條直線沒(méi)有任何公共點(diǎn)的時(shí)候，它們是平行的，在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。

小學(xué)低年級(jí)學(xué)生接觸的數(shù)學(xué)模型是類似線段圖這樣的直觀模型，而高年級(jí)之后也會(huì)接觸符號(hào)類的抽象數(shù)學(xué)模型，教師不僅要指導(dǎo)學(xué)生如何提取共性，建立模型，還要培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成建模的習(xí)慣，深度地提高數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知。

二、調(diào)整模型，嘗試推理

學(xué)者史寧中認(rèn)為數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中所依賴的本質(zhì)有三個(gè)，那就是抽象、推理和模型。在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用建模思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，僅建立模型是不夠的，教師還要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在推理的過(guò)程中調(diào)整模型，提高他們的合情推理能力。

在學(xué)習(xí)小數(shù)乘法的問(wèn)題時(shí)，教師可以讓學(xué)生嘗試模擬超市購(gòu)物的真實(shí)場(chǎng)景，在游戲活動(dòng)的過(guò)程中逐漸建立數(shù)學(xué)模型，并在推理中調(diào)整數(shù)學(xué)模型。在活動(dòng)的時(shí)候，學(xué)生可以根據(jù)討論設(shè)定每種商品的價(jià)格和購(gòu)物的總價(jià)，并設(shè)定參與購(gòu)物活動(dòng)的基本規(guī)則，然后便可以在設(shè)立模型的基礎(chǔ)上嘗試參與到這個(gè)活動(dòng)中來(lái)。在進(jìn)行活動(dòng)的過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)發(fā)現(xiàn)自己事先設(shè)定的模型有問(wèn)題，例如在設(shè)定購(gòu)物的總價(jià)時(shí)出現(xiàn)了問(wèn)題，總價(jià)太大，超過(guò)了全部商品價(jià)格的總和。教師要讓學(xué)生在設(shè)立模型的過(guò)程中收集大量的信息，然后根據(jù)具體情況來(lái)刪除一些無(wú)用的信息，并添加一些有用的信息，將數(shù)學(xué)模型進(jìn)行合理調(diào)整，并嘗試運(yùn)用自己設(shè)立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算。這樣的學(xué)習(xí)方式使數(shù)學(xué)模型的設(shè)定外延得以擴(kuò)大，也能讓學(xué)生更好地感受到數(shù)學(xué)模型在生活中的實(shí)際用途，讓學(xué)生養(yǎng)成實(shí)事求是的嚴(yán)肅態(tài)度，同時(shí)也對(duì)學(xué)生發(fā)揚(yáng)創(chuàng)新精神有所促進(jìn)。

教師可以培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成觀察事物的良好習(xí)慣，并嘗試通過(guò)簡(jiǎn)單猜想的方式調(diào)整自己設(shè)定的數(shù)學(xué)模型，從而更好地提高自己的建模能力。

三、應(yīng)用模型，培養(yǎng)能力

學(xué)者吳長(zhǎng)江提出數(shù)學(xué)建模能力是對(duì)各種問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)化，創(chuàng)建相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，并最終解決問(wèn)題的能力，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，就要讓學(xué)生嘗試應(yīng)用模型解決各種難題。小學(xué)生要學(xué)習(xí)如何運(yùn)用公式、圖表、法則等來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，提高自己的數(shù)學(xué)求解能力。

教師要讓學(xué)生明白，建立了數(shù)學(xué)模型之后是要用來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題的，他們要嘗試運(yùn)用各種變式來(lái)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。例如“雞兔同籠”是一個(gè)十分典型的問(wèn)題，很多小學(xué)的應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為“雞兔同籠”類的問(wèn)題，學(xué)生可以嘗試用假設(shè)法、方程法、抬腿法等各種方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，更重要的是要學(xué)會(huì)解決這個(gè)問(wèn)題的基本思路，這樣才能將其抽象為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用其規(guī)律解決現(xiàn)實(shí)生活中的其他數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，教師可以讓學(xué)生嘗試參考“雞兔同籠”的問(wèn)題進(jìn)行其變式的練習(xí)，嘗試解決：“在一個(gè)班級(jí)中，一共有46個(gè)同學(xué)一起去參加游藝場(chǎng)的活動(dòng)，大家選擇了海盜船的游戲，大家一共乘坐12艘海盜船，其中大海盜船每一艘坐5個(gè)人，小海盜船每一艘坐3個(gè)人，問(wèn)大海盜船和小海盜船一共有多少艘？”要解決這個(gè)問(wèn)題就要熟悉數(shù)學(xué)模型，然后嘗試運(yùn)用該數(shù)學(xué)模型解決此問(wèn)題。這樣的練習(xí)對(duì)于提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的能力有很大幫助。

運(yùn)用建立的數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際能力，讓學(xué)生在聯(lián)想、類比等思維活動(dòng)中提高自己的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展自己的邏輯思維能力。

柏拉圖說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是一切知識(shí)中的最高形式?！爆F(xiàn)代數(shù)學(xué)要求人們能夠在實(shí)踐中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，抽象出數(shù)學(xué)模型，并以之來(lái)解決各種現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。在小學(xué)數(shù)學(xué)日常教學(xué)中將這種建模思想滲透進(jìn)去，讓學(xué)生逐步提高自己的推理能力，嘗試用自己學(xué)過(guò)的知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

【作者單位：淮安市徐溜鎮(zhèn)中心小學(xué)江蘇】