高中數(shù)學(xué)發(fā)散性習(xí)題教學(xué)思路探析

呂從利

[摘 要] 習(xí)題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn). 習(xí)題教學(xué)要遵循傳統(tǒng)與現(xiàn)代教學(xué)的原則，發(fā)散性習(xí)題教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生解題能力、提高學(xué)生數(shù)學(xué)理解能力，以及提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)方面有不可替代的作用，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中必須堅(jiān)持. 當(dāng)然，其也需要與現(xiàn)代學(xué)習(xí)方式相結(jié)合.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；習(xí)題教學(xué)；發(fā)散性習(xí)題教學(xué)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中通過習(xí)題來強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是一條基本且被證實(shí)有效的教學(xué)途徑. 面對新的教學(xué)要求，面對新時(shí)期下學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的需要，習(xí)題教學(xué)如何在傳統(tǒng)與創(chuàng)新之間尋求一種有效的結(jié)合，成為當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教師必須面對的重要課題. 筆者以為解決這一課題，需要建立基本的認(rèn)知指向：一方面不能忽視傳統(tǒng)，不能用空洞的所謂創(chuàng)新來否定傳統(tǒng)習(xí)題教學(xué)中的有效做法，畢竟多年來高中數(shù)學(xué)教學(xué)中積淀下來的許多做法對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是非常有效的；另一方面又不能囿于傳統(tǒng)，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教育尤其是應(yīng)試狀態(tài)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，確實(shí)存在著許多機(jī)械、重復(fù)、灌輸?shù)谋锥?，這是在習(xí)題教學(xué)研究中需要規(guī)避的. 筆者以為，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中有一種方法值得傳承，那就是發(fā)散性的教學(xué)思路，但同時(shí)其又要與現(xiàn)代教學(xué)理念與教學(xué)方式結(jié)合起來，這樣才能在新的教學(xué)背景下發(fā)揮其新的魅力. 本文嘗試對此做出闡述.

[?] 高中數(shù)學(xué)發(fā)散性教學(xué)思路簡析

習(xí)題教學(xué)最直接的指向就是數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用，在這里需要闡述的一個(gè)觀點(diǎn)是：當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)有研究新題的習(xí)慣，這是一件好事，因?yàn)樾骂}往往能夠用新的背景去較好地考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握情況. 但是需要強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)不能一味求新，尤其是在鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)知識初步應(yīng)用的時(shí)候，一味地追求形式新穎，往往容易讓學(xué)生忽視數(shù)學(xué)本義. 而筆者的這一觀點(diǎn)在多個(gè)場合闡述的時(shí)候，也得到了不少一線教師的贊同. 實(shí)際上大家對當(dāng)前的數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)存在一個(gè)擔(dān)心，那就是一味地追求形式新穎，很可能會讓學(xué)生在數(shù)學(xué)知識理解的過程中，有意無意地忽視了對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解.

如“最值問題”是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要類型，通過不同條件的提供，讓學(xué)生基于數(shù)學(xué)規(guī)律（一般是通過公式來進(jìn)行分析），確定一個(gè)最值. 經(jīng)驗(yàn)證明，這種類型的數(shù)學(xué)題，由于思維過程的開放性，由于對數(shù)學(xué)工具選擇的未知性，因而對學(xué)生的思維是非常具有挑戰(zhàn)作用的，進(jìn)而就能夠很好地激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 但是近年來的一些最值問題常常通過一些看似華麗其實(shí)無效的信息包裝，這樣學(xué)生解題時(shí)的注意力會更多地集中在那些無效信息上，對于最值問題的求解思路反而倒忽視了，這也造成相當(dāng)一部分學(xué)生在遇到最值問題的時(shí)候，把握不住重點(diǎn).

基于這一現(xiàn)狀，筆者以為類似于這些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本解題能力的培養(yǎng)，一定要返璞歸真，一定要通過“原味”的數(shù)學(xué)習(xí)題，并借助于發(fā)散性思路來真正提升學(xué)生的解題能力.

所謂發(fā)散性習(xí)題教學(xué)，就是給學(xué)生提供一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)試題，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識及其之前的解題經(jīng)驗(yàn)，從解題思路、發(fā)散思路、試題變式、試題立意等多個(gè)方面展開思考，以對這一類習(xí)題構(gòu)建一個(gè)立體的認(rèn)識. 事實(shí)證明，發(fā)散性習(xí)題教學(xué)相對于一般的習(xí)題教學(xué)方式而言，其不僅能夠提升學(xué)生的解題能力，還能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)習(xí)題的理解，可以讓學(xué)生站在一個(gè)更高的高度，可以讓學(xué)生從多重角度去理解數(shù)學(xué)試題的價(jià)值. 筆者的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)還表明，發(fā)散性習(xí)題教學(xué)如果選擇以一些經(jīng)典、簡潔的試題為“母題”，然后進(jìn)行多重角度的發(fā)散，往往能夠收到更佳的教學(xué)效果.

基于新的學(xué)習(xí)方式的發(fā)散教學(xué)

課程改革的背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)追求教學(xué)方式的多樣化，筆者所在的地區(qū)是教育強(qiáng)省，對于學(xué)生自主、合作、探究式的教學(xué)方式尤為重視，多年來在課程改革的春風(fēng)吹拂下，一些課改理念已經(jīng)成為課堂上的教學(xué)自覺. 即使在課程改革進(jìn)入深水區(qū)的今天，雖然課改概念不再滿天飛，但一些被證實(shí)為行之有效的教學(xué)方式，卻真正成為課堂的常態(tài). 在發(fā)散性習(xí)題教學(xué)的課堂上，這些新的教學(xué)方式也有所體現(xiàn). 下面就選擇一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)試題為母題，闡述筆者發(fā)散性的教學(xué)思路.

例：給你五根長度分別為2、3、4、5、6厘米的細(xì)棒，你能圍出最大面積為多少平方厘米的三角形？（要求：細(xì)棒可以連接，但不可以折斷.）

從題干描述來看，本題極為簡潔，沒有任何華麗修飾，但其在學(xué)生的思維中卻可以迅速生成數(shù)學(xué)表象——學(xué)生會在思維中通過想象構(gòu)建出三角形. 而面向三角形面積所提出的最值問題，就使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維會被迅速激活——他們會思考三角形面積求解過程中，有什么途徑可以用來求最值.

也正是因?yàn)閷W(xué)生的這一直覺反應(yīng)，所以發(fā)散性習(xí)題教學(xué)的第一個(gè)步驟是面向解題思路的. 筆者的課堂上，學(xué)生的解題思路基本上是這樣的：

思路一：構(gòu)建三角形. 顯然在構(gòu)建的過程中，如果一條邊的邊長確定好了，那在另外兩邊之和為定值的情況下，三角形的面積就有可能出現(xiàn)最值. 這也是教學(xué)過程中學(xué)生的第一思路. 事實(shí)證明，這種思路所用到的數(shù)學(xué)思維是一種“連續(xù)思維”，也就是說盡管題目提供的是5根不同長度的細(xì)棒——具有“間斷性”，但在學(xué)生構(gòu)建思維表象或者說在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的時(shí)候，卻在無意當(dāng)中形成一種連續(xù)思維. 而也正是這種連續(xù)思維，使得有學(xué)生將此問題與橢圓問題聯(lián)系了起來：畢竟橢圓的基本理解是到兩定點(diǎn)連線為定值（大于兩點(diǎn)距離）的點(diǎn)的集合. 如果視確定了一邊的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，則剩下來的細(xì)棒長度之和就是一個(gè)定值，那么根據(jù)橢圓的模型，就可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)三角形為等腰三角形的時(shí)候面積是最大的. 于是問題的解決就轉(zhuǎn)換成這5根細(xì)棒可以圍成哪些等腰三角形，問題解決的思路也就清晰了. 應(yīng)當(dāng)說，這樣的不同知識點(diǎn)之間的聯(lián)系，尤其是借助于一個(gè)數(shù)學(xué)知識為另一個(gè)數(shù)學(xué)知識的解決建立模型，本身是本題培養(yǎng)學(xué)生思維的重要突破點(diǎn).

思路二：事實(shí)上在上一思路形成的過程中，還有一個(gè)小組的學(xué)生在組內(nèi)合作的過程中，提出了一個(gè)更為“笨拙”的方法，能不能一個(gè)三角形一個(gè)三角形去試，首先看能構(gòu)成哪些三角形，然后看哪個(gè)三角形的面積最大. 在實(shí)際教學(xué)中有一個(gè)有意思的細(xì)節(jié)：當(dāng)這個(gè)小組的學(xué)生代表提出這一思路之后，遭到了別的不少學(xué)生的反對，反對者認(rèn)為這一思路太笨，不足以反映數(shù)學(xué)思維. 但筆者給予了這樣的評價(jià)：這實(shí)際上是一種窮舉思路，其實(shí)也是重要的數(shù)學(xué)思維方式，盡管其缺少規(guī)律性，但在數(shù)學(xué)探究的過程中很多思維的火花也就是在這種笨拙的思路中形成的. 因此，這個(gè)思路并不排斥，只是在運(yùn)用的時(shí)候要注意效率罷了.

思路三：利用“極值定理”中的“和定積最大”. 事實(shí)上在第一個(gè)思路形成的過程中，有少數(shù)學(xué)生的切入點(diǎn)正是這個(gè)，既然給定了三角形的周長，而三角形的面積最終表現(xiàn)為一種乘積關(guān)系，那根據(jù)“和定積最大”的規(guī)則，就肯定存在一個(gè)最大面積. 但是這個(gè)思路中有一個(gè)挑戰(zhàn)，那就是和定積最大的運(yùn)用結(jié)果是三邊相等時(shí)存在最大值，但根據(jù)給出的5個(gè)數(shù)據(jù)，是不可能構(gòu)建出等邊三角形的，那怎么辦呢？當(dāng)筆者向全班學(xué)生提出這一問題之后，沒有急著講思路，而是讓學(xué)生去自主思考，然后合作探究. 最后有學(xué)生提出：做不到等邊三角形，那就去找最像等邊三角形的三角形，那個(gè)就應(yīng)當(dāng)是最大面積. 那哪個(gè)三角形最接近等邊三角形呢？自然是三邊之差最小的，于是最終探究出了三邊分別為6、7（2+5）、7（3+4）的三角形的面積是最大的.

通過這樣的自主合作探究的過程，學(xué)生基本上都是靠自己的思維在解決不斷遇到的問題，由于解題思路的發(fā)散性，因此學(xué)生的知識綜合能力、問題分析與解決能力，以及重要的數(shù)學(xué)建模能力等都得到了培養(yǎng).

發(fā)散性習(xí)題教學(xué)數(shù)學(xué)思維本質(zhì)

在發(fā)散性習(xí)題教學(xué)的過程中，筆者特別重視學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)思維并不是一個(gè)空洞的概念，而應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生對習(xí)題的分析來形成. 在發(fā)散性習(xí)題教學(xué)的過程中，筆者常常跟學(xué)生進(jìn)行習(xí)題立意的研究，因?yàn)檫@樣對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維而言有著明顯的促進(jìn)作用.

習(xí)題立意原本是命題者的事情，但對于解題者來說，如果能夠站到這個(gè)高度，其解題視角與能力提升往往會有更好的效果. 譬如上題，從知識立意的角度來看，可以讓學(xué)生顯性地認(rèn)識到用到了三角形知識、最值知識、極值定理、組合知識、橢圓知識等；從能力立意的角度來看，可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，以及將看似無關(guān)的知識有效聯(lián)系的能力等. 而這些內(nèi)容如果顯性化，就會在學(xué)生后續(xù)的解題中發(fā)揮一種導(dǎo)引作用，也就是說學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的把握不再是內(nèi)隱的，而是顯性的、可以言語的. 這樣的試題立意的教學(xué)，某種程度上講也是傳統(tǒng)習(xí)題教學(xué)方式的發(fā)散，在提升學(xué)生解題能力的同時(shí)，還促進(jìn)了學(xué)生基于數(shù)學(xué)知識進(jìn)行交流、合作的能力，畢竟，學(xué)生言之有物了，而不是只會解題卻無法表達(dá).

綜上所述，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過發(fā)散性的習(xí)題教學(xué)，可以從應(yīng)用的角度對學(xué)生的能力提升有一個(gè)提綱挈領(lǐng)式的把握. 筆者以為，無論教學(xué)方式如何變革，這樣的習(xí)題教學(xué)思路不能丟棄.