學(xué)習(xí)情境：數(shù)學(xué)建構(gòu)的重要基礎(chǔ)

紀(jì)榮

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，情境不應(yīng)當(dāng)成為新知引入的點(diǎn)綴，而應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)理解過(guò)程中的學(xué)習(xí)思維加工的對(duì)象. 學(xué)習(xí)情境應(yīng)當(dāng)給學(xué)生的數(shù)學(xué)構(gòu)建提供形象性認(rèn)識(shí)作用，數(shù)學(xué)構(gòu)建的過(guò)程是在思維加工的形象對(duì)象與抽象對(duì)象之間轉(zhuǎn)換的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程的轉(zhuǎn)換與轉(zhuǎn)化越順利，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就越順利.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；學(xué)習(xí)情境；數(shù)學(xué)建構(gòu)；學(xué)習(xí)思維

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論是課程改革的重要支柱性理論之一，根據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，學(xué)生的知識(shí)不是教師教出來(lái)的，而是學(xué)生自主構(gòu)建出來(lái)的，在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，知識(shí)的生成主要靠學(xué)生的自主構(gòu)建，而教師只是在其中發(fā)揮一些輔助性的、指導(dǎo)性的、幫助性的作用. 真正從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看待這一過(guò)程，筆者感覺(jué)這一理論對(duì)課程改革以及對(duì)于實(shí)際的高中數(shù)學(xué)教學(xué)有著明確的指導(dǎo)意義. 眾所周知，高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，就是一個(gè)數(shù)學(xué)建構(gòu)的過(guò)程，即將形象的生活知識(shí)數(shù)學(xué)化為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，或者在原有抽象知識(shí)的基礎(chǔ)上依據(jù)數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系，建構(gòu)更為復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程.實(shí)際教學(xué)中的挑戰(zhàn)，在于如何讓學(xué)生的數(shù)學(xué)建構(gòu)過(guò)程更為有效，研究表明，情境創(chuàng)設(shè)在其中起著非常重要的基礎(chǔ)性作用.

學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)，貴在為數(shù)學(xué)建構(gòu)奠定基礎(chǔ)

學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)自課改以來(lái)就日益受到重視，但實(shí)際教學(xué)中存在著相對(duì)普遍的為情境而情境的情形，這樣的教學(xué)行為顯然是忽視了情境發(fā)揮作用機(jī)制的產(chǎn)物. 研究表明，情境創(chuàng)設(shè)的最大價(jià)值，就在于為學(xué)生的數(shù)學(xué)建構(gòu)提供可能.

以“任意角的三角函數(shù)”（蘇教版高中數(shù)學(xué)必修4，第一章）的教學(xué)為例，教材中在建立任意角的三角函數(shù)的概念與定義的時(shí)候，是在復(fù)習(xí)初中階段利用直角三角形定義銳角三角函數(shù)的方式來(lái)進(jìn)行的. 在此基礎(chǔ)上提出了問(wèn)題：如何將銳角的三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)？這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)的好處在于能夠在學(xué)生原有知識(shí)的基礎(chǔ)上去構(gòu)建新的認(rèn)識(shí)，缺點(diǎn)在于如果學(xué)生對(duì)利用直角三角形定義銳角三角函數(shù)的知識(shí)不熟練，那就有可能此處再煮“夾生飯”. 那么，有沒(méi)有可能為絕大多數(shù)學(xué)生（面向全體的原則）創(chuàng)設(shè)一個(gè)利于他們進(jìn)行數(shù)學(xué)構(gòu)建的情境呢？對(duì)此，筆者進(jìn)行了嘗試.

分析教材中的設(shè)計(jì)，可以發(fā)現(xiàn)其也可算一個(gè)情境，只不過(guò)這個(gè)情境由原有的知識(shí)來(lái)構(gòu)成，缺少形象性，學(xué)生不容易在這個(gè)情境中真正調(diào)動(dòng)思維. 相應(yīng)的，本知識(shí)學(xué)習(xí)的情境化設(shè)計(jì)就可以走形象化之路，通過(guò)情境的促進(jìn)作用，促使學(xué)生的思維積極主動(dòng)起來(lái)，以讓學(xué)生有效地建構(gòu)新學(xué)知識(shí). 筆者的設(shè)計(jì)是這樣的：有一個(gè)摩天輪，其中心距離地面的高度為H，其半徑為r. 現(xiàn)讓其逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要6分鐘的時(shí)間，如果你從與圓心同一水平面的A位置（位于圓心右邊）出發(fā)，那30秒后你所處的位置可以怎樣描述？

這是一個(gè)非常形象的問(wèn)題，學(xué)生面臨的不再是一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)圖形，而是一個(gè)具體的、有形的甚至是親身體驗(yàn)過(guò)的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生思維加工的對(duì)象首先是這些具體的事物. 同時(shí)這個(gè)情境中學(xué)生思維的對(duì)象（摩天輪）又可以通過(guò)學(xué)生的思維轉(zhuǎn)換，變成數(shù)學(xué)上常常用來(lái)分析的圓，這就是人們常說(shuō)的數(shù)學(xué)抽象，這個(gè)過(guò)程顯然是屬于思維過(guò)程的. 再具體一點(diǎn)，摩天輪上A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，則可以轉(zhuǎn)換為A點(diǎn)在圓上的勻速圓周運(yùn)動(dòng). 而確定30秒后A點(diǎn)的位置，也就可以轉(zhuǎn)換成確定A點(diǎn)在圓上的位置.只不過(guò)問(wèn)題強(qiáng)調(diào)的是對(duì)后來(lái)A點(diǎn)位置的描述，這就需要學(xué)生在發(fā)散思維的過(guò)程中尋找到一個(gè)自己熟悉的描述方式.

有此基礎(chǔ)，后面的數(shù)學(xué)建構(gòu)過(guò)程會(huì)十分順利.

數(shù)學(xué)建構(gòu)的過(guò)程，需要與學(xué)習(xí)情境前后呼應(yīng)

學(xué)習(xí)情境不能只成為知識(shí)引入時(shí)的配角，而應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中的主角. 事實(shí)證明，只有學(xué)習(xí)情境滿足了這種知識(shí)引入與知識(shí)建構(gòu)時(shí)的呼應(yīng)關(guān)系，高中數(shù)學(xué)教學(xué)才能更有效地進(jìn)行.

事實(shí)上在上面“任意角的三角函數(shù)”知識(shí)構(gòu)建中，學(xué)習(xí)情境就發(fā)揮了這樣的作用. 具體地說(shuō)，任意角三角函數(shù)的最終指向是正弦、余弦、正切的定義，關(guān)鍵的則是定義中的比值的確定，為什么是、、，而不是其他，這應(yīng)當(dāng)是優(yōu)選的結(jié)果，而優(yōu)選的過(guò)程，也正是任意角三角函數(shù)概念從初中理解走向高中理解的過(guò)程，從淺層化走向深刻化的過(guò)程. 因?yàn)閷W(xué)生在思維的過(guò)程中一般需要解決這樣的幾個(gè)問(wèn)題：將摩天輪轉(zhuǎn)換成坐標(biāo)系上的圓具有什么樣的一般意義？以、、代替初中階段的理解有什么樣的好處？這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的什么特點(diǎn)？

這些問(wèn)題的解決，在學(xué)生思維中具體的建構(gòu)過(guò)程是怎么樣的呢？根據(jù)筆者在教學(xué)中的了解，學(xué)生的思維過(guò)程大概是這樣的：對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，一個(gè)具體的事物（如本題中的摩天輪）與數(shù)學(xué)模型之間存在著的關(guān)系，決定了學(xué)生思維的迅捷程度，當(dāng)學(xué)生思維比較迅速、大腦中數(shù)學(xué)模型比較多的時(shí)候，就可以迅速地將具體事物抽象成數(shù)學(xué)模型；而對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題的分析，關(guān)鍵則在于構(gòu)建過(guò)程中，通過(guò)數(shù)學(xué)模型的比較進(jìn)行優(yōu)化，這個(gè)選擇的過(guò)程實(shí)際上是深化之前所建起的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，學(xué)生的思維在這個(gè)過(guò)程中往往會(huì)經(jīng)過(guò)隱性的、緘默的成長(zhǎng)，而數(shù)學(xué)構(gòu)建的能力也就由此形成. 至于第三個(gè)問(wèn)題，筆者設(shè)計(jì)的意圖更多的是讓學(xué)生從數(shù)學(xué)課程的角度思考具體的學(xué)習(xí)過(guò)程，對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，這樣的高度還是必要的，因?yàn)橹挥袕恼n程的角度理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，才能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程具有一種方向性，從而化解具體數(shù)學(xué)難題解決過(guò)程中遇到的困難心理，并且可以提升數(shù)學(xué)構(gòu)建能力，提升構(gòu)建品質(zhì).

同時(shí)我們認(rèn)為，這三個(gè)問(wèn)題是一體的，但又確實(shí)有分開(kāi)提的必要，因?yàn)閷?duì)于這個(gè)學(xué)段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，通過(guò)基于變式思想的提問(wèn)，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)同一問(wèn)題的深刻理解. 學(xué)生理解的過(guò)程當(dāng)然也是完成數(shù)學(xué)構(gòu)建的過(guò)程，筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)生在面對(duì)這三個(gè)問(wèn)題的時(shí)候會(huì)有這樣的心理活動(dòng)：從生活中的摩天輪向坐標(biāo)上圓的轉(zhuǎn)換過(guò)程，實(shí)際上是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述生活的一種方式（學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)之后，教師可以提供類(lèi)似于此的別的事例來(lái)加深學(xué)生的認(rèn)識(shí)，如教材上所給出的相關(guān)例子等），于是數(shù)學(xué)構(gòu)建的過(guò)程就成為現(xiàn)實(shí)；當(dāng)然這還不夠，在這個(gè)過(guò)程中還會(huì)有學(xué)生依賴(lài)情境去構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，比如說(shuō)A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)處于不同象限之內(nèi)（時(shí)間不同），這個(gè)時(shí)候?qū)W生思維加工的對(duì)象還會(huì)從已經(jīng)抽象的坐標(biāo)上的圓，回到更為形象的摩天輪上去，但同時(shí)學(xué)生的思維并沒(méi)有忽視坐標(biāo)上的圓這一抽象對(duì)象的存在. 也就是說(shuō)，對(duì)于大部分學(xué)生而言，此時(shí)思維加工的對(duì)象是在形象與抽象之間不停地轉(zhuǎn)換，而這與數(shù)學(xué)構(gòu)建的過(guò)程恰恰是一致的，因?yàn)閿?shù)學(xué)構(gòu)建的過(guò)程，就是從形象到抽象，當(dāng)抽象出現(xiàn)困難時(shí)又轉(zhuǎn)到形象上的過(guò)程.

基于情境的建構(gòu)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思路

基于以上的分析可以看出，基于情境去完成數(shù)學(xué)構(gòu)建，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要思路，是從學(xué)習(xí)思維角度關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的重要途徑.

有學(xué)者指出，學(xué)生基于情境進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，就是基于學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，發(fā)展學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，從而建立新舊知識(shí)之間非人為的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，以經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”并學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”的過(guò)程. 筆者以為，對(duì)這段話的理解應(yīng)當(dāng)是：高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)的過(guò)程中，需要精心地創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情境，利用情境去促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，可以讓學(xué)生在思維加工的形象對(duì)象與抽象對(duì)象之間有效地轉(zhuǎn)換，從而使得思維不至于因?yàn)榧庸?duì)象的模糊而斷開(kāi).

這里尤其需要重視的就是學(xué)生的思維對(duì)象清晰與否的問(wèn)題，因?yàn)槠渲苯雨P(guān)系到學(xué)生的思維加工對(duì)象是否可靠，關(guān)系到構(gòu)建過(guò)程是否順利. 因此，研究學(xué)生的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”就成為一個(gè)很重要的內(nèi)容，事實(shí)上建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀點(diǎn)對(duì)“現(xiàn)實(shí)”也是極為重視的，認(rèn)為其是學(xué)生有效構(gòu)建得以發(fā)生的第一個(gè)重要基礎(chǔ)，實(shí)際教學(xué)中的挑戰(zhàn)在于，數(shù)學(xué)教師如何才能準(zhǔn)確地把握學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，因?yàn)閿?shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)更多的是主觀建構(gòu)的結(jié)果，并非一種外在的物化體現(xiàn). 傳統(tǒng)教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的作業(yè)與考試情況可以判斷出學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，新課程下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要延續(xù)這一傳統(tǒng)，還需要更多的教師與學(xué)生之間的直接交流，以更準(zhǔn)確地把握學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程. 應(yīng)當(dāng)說(shuō)，在較大的應(yīng)試壓力之下，要真正做到這一點(diǎn)，還是存在不少困難的.但從學(xué)生有效建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的角度來(lái)看，這一努力又是必需的. 同時(shí)，相關(guān)的課題研究也是必要的，筆者曾經(jīng)就“學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建過(guò)程細(xì)化研究”做過(guò)系列思考，發(fā)現(xiàn)這樣的研究思路可以促進(jìn)自身系統(tǒng)而持續(xù)地關(guān)注某一個(gè)話題，從而也就讓自身對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的理解，尤其是對(duì)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程的理解變得更加深刻.

也因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)于情境的認(rèn)識(shí)，要從新課引入時(shí)借助教學(xué)手段而實(shí)現(xiàn)的技術(shù)性認(rèn)識(shí)，轉(zhuǎn)移到基于學(xué)生的學(xué)習(xí)思維來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)理解的學(xué)術(shù)性認(rèn)識(shí)上來(lái). 如此，有效教學(xué)才有可能真正實(shí)現(xiàn)！