單螺母滾珠絲杠副靜剛度可靠性及靈敏度分析

張義民， 石晏霖， 李常有， 鄧　強(qiáng)

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 沈陽 110819)

單螺母滾珠絲杠副靜剛度可靠性及靈敏度分析

張義民， 石晏霖， 李常有， 鄧強(qiáng)

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 沈陽 110819)

摘要:為提高數(shù)控機(jī)床整機(jī)可靠度，基于赫茲接觸理論，對單螺母滾珠絲杠副靜剛度可靠性及靈敏度進(jìn)行研究，利用單螺母滾珠絲杠副的導(dǎo)程、接觸角、絲杠公稱直徑、滾道曲率比、工作載荷等技術(shù)參數(shù)建立了軸向接觸變形的理論模型. 根據(jù)滾珠絲杠副的軸向接觸變形小于加工精度的原則，建立滾珠絲杠副可靠性模型. 利用改進(jìn)一次二階矩法分析和計(jì)算單螺母滾珠絲杠副的可靠度和靈敏度。結(jié)果表明: 適當(dāng)增大滾珠絲杠副的導(dǎo)程以及減小滾道曲率比可提高滾珠絲杠副的剛度，減小工作載荷可以降低滾珠絲杠副的軸向接觸變形，提高滾珠絲杠副的可靠度.

關(guān)鍵詞:滾珠絲杠副；剛度；赫茲接觸；可靠度；靈敏度

單螺母滾珠絲杠副廣泛應(yīng)用于機(jī)械產(chǎn)品的進(jìn)給系統(tǒng)，尤其是數(shù)控機(jī)床的進(jìn)給系統(tǒng). 單螺母滾珠絲杠副的軸向接觸剛度是數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)中剛度最為薄弱的環(huán)節(jié). 為提高數(shù)控機(jī)床的加工精度，就需要對單螺母滾珠絲杠副靜剛度的可靠性及靈敏度進(jìn)行深入的研究，并對相應(yīng)的技術(shù)參數(shù)加以改進(jìn). 目前，對于滾珠絲杠副的剛度問題研究報(bào)道文獻(xiàn)較多. Nakashima等[1]和Takafuji等[2]給出了單螺母滾珠絲杠副接觸變形的理論模型；Mei等[3]分析并優(yōu)化了滾珠絲杠副幾何誤差對滾珠受載的影響. 吉林大學(xué)譚慶昌教授等[4]對機(jī)床傳動(dòng)的絲杠進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，建立了滾珠絲杠副傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程. 南京理工大學(xué)的馮虎田教授等[5]分析研究了滾珠絲杠副的載荷對滾珠絲杠副剛度的影響情況，并對滾珠絲杠滾道誤差進(jìn)行了測量和分析. 雖然單螺母滾珠絲杠副靜剛度的研究已經(jīng)取得了較多的成果，但對于單螺母滾珠絲杠副靜剛度的可靠性及靈敏度分析還鮮有報(bào)道，而單螺母滾珠絲杠副靜剛度的研究對于進(jìn)給系統(tǒng)可靠性和數(shù)控機(jī)床精度的提升具有重要的作用. 為此，本文開展了單螺母滾珠絲杠副靜剛度的可靠性及可靠性靈敏度研究.

本文基于赫茲接觸理論建立單螺母滾珠絲杠副軸向接觸變形與滾珠絲杠副技術(shù)參數(shù)的理論模型，利用改進(jìn)一次二階矩法計(jì)算單螺母滾珠絲杠副的可靠度并求解可靠性靈敏度[6-8]. 通過計(jì)算靈敏度，能夠分析滾珠絲杠副各技術(shù)參數(shù)對滾珠絲杠副可靠性的影響.

1軸向接觸變形模型

單螺母滾珠絲杠副主要由絲杠、螺母、滾珠、滾珠循環(huán)返回裝置組成[9]. 滾珠絲杠副的技術(shù)參數(shù)較多，這些參數(shù)影響了滾珠絲杠副的可靠度. 其中λ為滾珠絲杠副螺旋角，z為工作滾珠數(shù)，β為接觸角，d0為公稱直徑，db為滾珠直徑，E′為當(dāng)量彈性模量，F(xiàn)為工作載荷，ρsp為滾珠與絲杠滾道面接觸點(diǎn)處主曲率和，ρnp為滾珠與螺母滾道面接觸點(diǎn)處主曲率和，esp,masp為赫茲理論求解中與ρsp相關(guān)的系數(shù)，enp,manp為赫茲理論求解中與ρnp相關(guān)的系數(shù)，K(enp)為與橢圓偏心率enp有關(guān)的第一類完全橢圓積分，K(esp)為與橢圓偏心率esp有關(guān)的第一類完全橢圓積分. 單螺母滾珠絲杠副的受力簡圖如圖1所示.

圖1　滾珠絲杠副受力

滾珠絲杠副中滾珠的受力變形如圖2所示. 其中1為滾珠受力前的形狀，2為滾珠受力后的形狀. 陰影部分表示在法向力P的作用下，滾珠與絲杠滾道面、螺母滾道面接觸點(diǎn)所產(chǎn)生的接觸變形分別為δsp和δnp，則螺母滾道面與絲杠滾道面間由于法向彈性接觸變形所產(chǎn)生的法向彈性位移量δn為

螺母滾道面與絲杠滾道面間的法向彈性位移，會(huì)在軸線方向上相對于絲杠產(chǎn)生軸向彈性變形量，設(shè)其值為δa. 根據(jù)圖1所示幾何關(guān)系得

由滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，滾珠中心點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為螺旋線，利用微分幾何中的Frenet標(biāo)架可最終求得N、S點(diǎn)的主曲率和分別是

(1)

(2)

圖2　滾珠受力變形

根據(jù)滾珠絲杠副的基本結(jié)構(gòu)可得出

為簡化方程，設(shè)

由赫茲接觸理論和單螺母滾珠絲杠副的受力情況[10]可知，在彈性范圍內(nèi)滾珠絲杠副的軸向接觸變形量δa與其基本參數(shù)的關(guān)系為

(3)

式(3)為求解單螺母滾珠絲杠副軸向接觸剛度的理論模型. 由式(3)可知,滾珠絲杠副在工作載荷的作用下，滾珠與絲杠滾道面之間、滾珠與螺母滾道面之間會(huì)產(chǎn)生一定的彈性接觸變形量.

2可靠性分析

2.1單螺母滾珠絲副可靠度分析

設(shè)在數(shù)控機(jī)床加工滿足精度要求的條件下，滾珠絲杠副的允許軸向接觸變形量為δ，則功能函數(shù)Z的表達(dá)式為

(4)

其中X為導(dǎo)程Ph、接觸角β、工作載荷F、絲杠公稱直徑d0以及滾道曲率比t組成的隨機(jī)向量.

(5)

在點(diǎn)x*處將式(4)按Taylor級數(shù)展開并取至一次項(xiàng)，則功能函數(shù)Z的近似表達(dá)式ZL為

假設(shè)X的元素為相互獨(dú)立的正態(tài)分布[11]，則單螺母滾珠絲杠副的可靠性指標(biāo)為

(6)

其中μZL和σZL分別為ZL的均值和標(biāo)準(zhǔn)差. 根據(jù)式(3)、(4)和(6)，可得

為簡化方程，除了求t偏導(dǎo)數(shù)外，設(shè)

對載荷F求偏導(dǎo)數(shù)為

對滾道曲率比t求偏導(dǎo)數(shù)為

對絲杠公稱直徑d0求偏導(dǎo)數(shù)為

對接觸角β求偏導(dǎo)數(shù)為

當(dāng)求導(dǎo)程Ph偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，可在式(5)基礎(chǔ)上設(shè)

則其偏導(dǎo)數(shù)為

2.2單螺母滾珠絲杠副可靠性靈敏度分析

由于極限狀態(tài)方程的非線性程度較低，所以采用改進(jìn)一次二階矩方法計(jì)算滾珠絲杠各參數(shù)的可靠性靈敏度[12]，能夠得到近似程度很高的結(jié)果. 其中單螺母滾珠絲杠副的可靠度為R，?R/?uxi為隨機(jī)參數(shù)的均值靈敏度，?R/?σxi為隨機(jī)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差靈敏度.

根據(jù)可靠性的靈敏度定義和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可得基本變量相互獨(dú)立情況下失效概率對基本變量的可靠性靈敏度為

為求得滾珠絲杠副各參數(shù)的靈敏度，可進(jìn)行如下運(yùn)算. 對絲杠公稱直徑d0求靈敏度為

(7)

(8)

對導(dǎo)程Ph求靈敏度為

(9)

(10)

對滾道曲率比t求靈敏度為

(11)

(12)

對接觸角β求靈敏度為

(13)

(14)

對工作載荷F求靈敏度為

(15)

(16)

3滾珠絲杠副數(shù)值計(jì)算

3.1滾珠絲杠副在車削條件下可靠度計(jì)算

滾珠絲杠副的螺旋角、接觸角、滾珠直徑、滾道曲率比、工作載荷等技術(shù)參數(shù)均服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差取均值的0.5%. 各隨機(jī)參數(shù)變量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表1所示. 滾珠絲杠副的滾珠數(shù)z=100，滾珠直徑db=3.175 mm，當(dāng)量彈性模量E′=2.1×1011Pa，取系數(shù)K1=0.642 8，K2=0.625 4. 將各參數(shù)代入式(1)和式(2)可得取系數(shù)

表1　絲杠各參數(shù)的均值與方差

根據(jù)數(shù)控車床的加工精度可知，數(shù)控車床可加工IT7級精度的試件. 對于基本尺寸<3.000mm的試件標(biāo)準(zhǔn)公差數(shù)值為10μm，因此允許的偏差量為公差值的一半，即為δ=5 μm. 將絲杠各參數(shù)值代入式(6)，利用改進(jìn)一次二階矩的方法進(jìn)行迭代運(yùn)算，可最終求得可靠度指標(biāo)β為

β=5.161.

根據(jù)可靠度指標(biāo)β可以得可靠度R為

R=0.999 999 8.

3.2滾珠絲杠副在車削條件下可靠性靈敏度計(jì)算

利用表1所示的各參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，以及式(7)～(16)，即可求得單螺母滾珠絲杠副各參數(shù)的靈敏度指標(biāo)為

(17)

(18)

從可靠度對隨機(jī)參數(shù)均值靈敏度矩陣式(17)可以看出，導(dǎo)程Ph、接觸角β、絲杠公稱直徑d0的增加會(huì)導(dǎo)致單螺母滾珠絲杠趨于更可靠；滾道曲率比t，工作載荷F數(shù)值的增加則導(dǎo)致單螺母滾珠絲杠副趨于不可靠. 其中接觸角β的增加對提高可靠度影響最大.

從可靠度對隨機(jī)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的靈敏度矩陣式(18)可以看出，所有隨機(jī)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的增加可導(dǎo)致單螺母滾珠絲杠副趨于不可靠.

4結(jié)論

1)在滿足工藝條件和控制成本的前提下，結(jié)合工廠機(jī)床加工精度水平，增加導(dǎo)程Ph、接觸角β和絲杠公稱直徑d0設(shè)計(jì)值，降低滾道曲率比t的設(shè)計(jì)值，并減小各參數(shù)的公差值，從而提高單螺母滾珠絲杠副的可靠性. 其中，接觸角β的設(shè)計(jì)值和公差值對單螺母滾珠絲杠副的可靠性影響最大，應(yīng)首先考慮增加其設(shè)計(jì)值并降低其公差值.

2) 利用改進(jìn)一次二階矩法求解單螺母滾珠絲杠副的可靠度并求解各隨機(jī)參數(shù)的可靠性靈敏度. 說明了各尺寸參數(shù)變化對于滾珠絲杠副可靠度的影響程度.

3)本文通過理論分析和實(shí)際計(jì)算得出了單螺母滾珠絲杠副的可靠度及可靠性靈敏度，為單螺母滾珠絲杠副的可靠性設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù).

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(編輯楊波)

Reliability and sensitivity of static stiffness of single nut ball screw pair

ZHANG Yimin, SHI Yanlin, LI Changyou, DENG Qiang

(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Abstract:To improve the reliability of numerical-controlled machine tool, the reliability and sensitivity of static stiffness of single nut ball screw pair were studied. Based on the Hertz Contact Theory, a model of axial contact deformation was established using the lead, contact angle, nominal diameter of ball screw, raceway curvature ratio, working load and other technical parameters of single nut ball screw pair. According to the principle that the inaccuracy of axial contact deformation for nut ball screw pair is less than the machining accuracy, a nut ball screw pair reliability model was established. The reliability and sensitivity of single nut ball screw pair were analyzed and calculated using the modified first order second moment method. The results show that the static stiffness of nut ball screw pair can be improved by increasing the lead of nut ball screw and decreasing the raceway curvature ratio appropriately, and the reliability of nut ball screw pair can be improved by decreasing the working load to reduce axial contact deformation of nut ball screw pair.

Keywords:ball screw pair; stiffness; Hertz contact; reliability; sensitivity

doi：10.11918/j.issn.0367-6234.2016.07.023

收稿日期:2015-06-30

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金(51135003)；

作者簡介:張義民(1958—)，男，博士生導(dǎo)師，長江學(xué)者特聘教授

通信作者:張義民，ymzhang@mail.neu.edu.com

中圖分類號:TH132.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:0367-6234(2016)07-0140-05

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃項(xiàng)目(2014CB046303)；

教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(NCET-12-0105)